Matematiikan syvin olemus

[QS]

Varoitus: ketjun aloittaja ei ole matematiikan filosofian asiantuntija. Mutta aiheesta on vuosisatoja jaariteltu. Aloitan tämän, jotta joku voi filosofisissa mielentiloissa tai sienipäissään asiasta tai asian vierestä kirjoittaa.

Kevyesti määriteltynä matematiikka on ihmisen päättely- ja sääntöjärjestelmä tai kieli, joka perustuu pohjimmiltaan luonnosta havaittuihin primitiivisiin lainalaisuuksiin. Esimerkkejä ovat kokonaisluvut, tietyt laskutoimitukset, joukot, joukkojen koko, joukon alkioiden ominaisuudet, joukkojen päällekkäisyydet sekä geometriset lainalaisuudet. Näihin lisätty kylläkin ihmisen päättelemiä aksioomia. Mutta aksioomat ovat luonnosta tavalla tai toisella päätelty.

Kieli on osoittautunut äärimmäisen täsmälliseksi ja sisäisesti ristiriidattomaksi. Tämän seurauksena kieltä itseään (keinotekoisesti) tutkimalla on voitu kehittää kieleen itseensä uusia ja uusia kerroksia. Kerrokset toteuttavat edeltävän kerroksen tiukat säännöt, minkä seurauksena valtaviin mittasuhteisiin paisuneesta kielestä paljastuu hämmästyttäviä asioita.

Eräs maaginen piirre on se, että (keinotekoisesti!) jatkokehitetyt ominaisuudet ja säännöt löytyvät yllättäen myös universumista! Aina, kun ihmislaji on oikeasta paikasta etsinyt. Toki etsintä on kesken, mutta koskaan kieli ei ole pettänyt. Tuskin tulevaisuudessakaan.

Aiheen ympärillä esitetään kysymyksiä "Asuuko matematiikka universumissa?" tai "Puhuuko universumi matematiikkaa?" tai "Onko universumi matematiikka?".

Voi todeta, että matematiikka vahvistaa sen, että universumi toimii tiukoilla säännöillä. Ja universumi vahvistaa sen, että matematiikka on oikein laadittu kieli. Tämä ei välttämättä selitä matematiikkaa tai universumia sen enempää.

Helppo vastaus myös se, että vektoreita, integraaleja, matriiseja tai tensoreita ei ole aluskasvillisuuden seasta havaittu, joten kyseessä on ihmisen keksimä päättelyjärjestelmä, jota ei sellaisenaan luonnossa ole. Piste. Case closed.

Mutta jos laajennetaan 'matematiikka'-käsite sisältämään myös ne luonnon säännöt ja lainalaisuudet, jotka ovat matematiikan perustana, niin kysymys ei ole enää triviaali. Varsinkin kun sisällytetään 'matematiikka'-käsitteeseen ne kieltä tutkimalla löydetyt uudet säännöt, jotka pulpahtavat esiin myös universumissa.

Kun ihmislaji aikanaan pyyhkiytyy pois universumista ja 'matematiikka' lakkaa olemasta olemassa, niin kaukainen sivilisaatio väistämättä löytää luonnosta samoja primitiivisiä lainalaisuuksia ja päätyy lopulta rakenteeltaan samankaltaiseen kieleen, vaikka se ei symboleiltaan ja käsitteiltään täysin sama olisikaan. Sääntökokoelma on universumiin taltioitu riippumatta ihmisen olemassa olosta.

Niin. Tässä kohti voi pysähtyä ja miettiä, että onko universumi sittenkin sama asia kuin matematiikka?

Cheers!

[Kvarkkivalo]

Yritän heittää tähän pari analogiaa, jotka mielestäni kuvaavat tai vähintään viistävät samaa asiaa. Kiva että tämä nousi esiin koska tämä näyttää kuohahtelevan serveriltä toiselle, ja olin pohtinut näitä vähän valmiiksi.

Shakki-peli on hyvä "suljettu" esimerkki tällaisesta aukeavasta logiikasta ja systeemistä.
Shakki-peliä ei ole keksitty yhdeltä istumalta kaikkine sääntöineen ja hienouksineen.
Jopa sen jälkeen kun nyky-säännöt on lyöty lukkoon, ovat uudet pelaajat kehittäneet ja löytäneet lukemattomia ilmiötä, lainalaisuuksia ja pelimekaniikkaa, joista pelin kehittäjillä itselläänkään ei ole ollut hajuakaan.
Pelin kehittäjillä oli vain aavistus siitä, että jos luodaan tällainen peli ja säännöstö, siitä näyttäisi löytyvän kokoajan uutta tutkittavaa.

Matikan laita on mielestäni sama. On luotu säännöstö jonka puitteissa toimitaan. Ja vaikka emme tiedä kaikkea, olemme tietoisia siitä, että olemme sellaisen systeemin jäljillä, josta löytyy itsessään kokoajan uutta.

Mitä tulee matemaattiseen ajatteluun ja intuitioon,
kultainen leikkaus lienee klassisimpia esimerkkejä ihmisen matemaattisesta intuitiosta.
Meillä on myös kyky arvioida rakenteita yllättävän tarkasti. Valtaosa ihmisistä onnistuu intuitiivisesti arvioimaan esim. minkälaisen rakenteen päälle uskaltaa nousta. Lujuuslaskelmia ei tarvita.
Toki kaikenlaista tapahtuu, mutta tapahtumien määrän huomioon ottaen harvoin.

Tässä vain pari tällaista rönsyä jotka mielestäni kuvaavat sitä, että logiikka, suureet, määrät, numerot ja suhteet, ovat muutakin kuin pelkkä merkintätapoja ja symboliikkaa. Ne ovat jotain mitä myös havaitaan ja aistitaan.

[Varaktori]

Itse ajattelen että abstraktit objektit, kuten matemaattiset muodot ja ideat, ovat olemassa erillisessä, muuttumattomassa todellisuudessa. Platonismiksi kai tätä mielen nyrjähdystä kutsutaan. Matematiikkaa ei siis keksitä, vaan se löydetään. 

[QS]

Shakki-peli on hyvä "suljettu" esimerkki tällaisesta aukeavasta logiikasta ja systeemistä.
Shakki-peliä ei ole keksitty yhdeltä istumalta kaikkine sääntöineen ja hienouksineen.
Jopa sen jälkeen kun nyky-säännöt on lyöty lukkoon, ovat uudet pelaajat kehittäneet ja löytäneet lukemattomia ilmiötä, lainalaisuuksia ja pelimekaniikkaa, joista pelin kehittäjillä itselläänkään ei ole ollut hajuakaan.
Pelin kehittäjillä oli vain aavistus siitä, että jos luodaan tällainen peli ja säännöstö, siitä näyttäisi löytyvän kokoajan uutta tutkittavaa.

Matikan laita on mielestäni sama. On luotu säännöstö jonka puitteissa toimitaan. Ja vaikka emme tiedä kaikkea, olemme tietoisia siitä, että olemme sellaisen systeemin jäljillä, josta löytyy itsessään kokoajan uutta.

Mitä tulee matemaattiseen ajatteluun ja intuitioon,
kultainen leikkaus lienee klassisimpia esimerkkejä ihmisen matemaattisesta intuitiosta.
Meillä on myös kyky arvioida rakenteita yllättävän tarkasti. Valtaosa ihmisistä onnistuu intuitiivisesti arvioimaan esim. minkälaisen rakenteen päälle uskaltaa nousta. Lujuuslaskelmia ei tarvita.
Toki kaikenlaista tapahtuu, mutta tapahtumien määrän huomioon ottaen harvoin.

Tässä vain pari tällaista rönsyä jotka mielestäni kuvaavat sitä, että logiikka, suureet, määrät, numerot ja suhteet, ovat muutakin kuin pelkkä merkintätapoja ja symboliikkaa. Ne ovat jotain mitä myös havaitaan ja aistitaan.

Ostan tuon shakkivertauksen. Siinä on samoja elementtejä kuin matematiikan ja universumin välisessä suhteessa. Kyllä.

Jaarittelen lisää tätä "laajennettua" matematiikan käsitettä. Nostan esille suuresti ihailemani lintuheimon, haukat. Eräät haukka-suvut ovat mielestäni ulkoavaruudesta peräisin ja kehittyneet pidempään kuin Maa on ollut olemassa (just a joke).

Tämä liippaa matematiikka siten, että haukan aivot käsittelevät avaruutta ja aikaa siten, että kykenevät laatimaan liikerataennusteita käsittämättömällä nopeudella ja tarkkuudella. Ennuste perustuu jonkin ajanhetken liiketilaan, ja siitä muodostuu liikerata, jota seuraamalla tulevalla ajanhetkellä saavutetaan haluttu tila.

Tässä pitää laittaa paljon asioita lainausmerkkeihin, eikä olla liian määritelmänatsi. Haukan toimet tulkittuna "matematiikkana" ovat differentiaaliyhtälöitä ja liikeratojen integrointia. Omasta ja kohteen liikkeestä saadaan alkuarvot, ja "ratkaistaan" aivoissaan "yhtälöt". Kyseessä ei siis ole hetkessä eläminen, vaan ennustuskyky.

Kun tuota miettii "laajennetun" matematiikan käsitteen kautta, niin ihminen ei todellakaan ole ainoa otus, joka on matemaatikko. Muutkin ovat hioutuneet suorittamaan "matematiikka", jota ihminen paperilleen kirjoittaa. Ja myös ihmisen aivot osaavat soveltaa luonnonlakeja ja tehdä liikerataennusteita, ei tosin sillä tarkkuudella kuin haukan aivot.

Tässä ei nyt ole jutun pointtina aivojen vertaaminen tietokoneeseen, vaan geenien ja evoluution luoma ajan ja avaruuden hahmottaminen sekä luonnonlakien soveltamiskyky ilman "symbolista matematiikka". Silti kyseessä on laajasti ajateltuna juurikin matematiikka.

Itse ajattelen että abstraktit objektit, kuten matemaattiset muodot ja ideat, ovat olemassa erillisessä, muuttumattomassa todellisuudessa. Platonismiksi kai tätä mielen nyrjähdystä kutsutaan. Matematiikkaa ei siis keksitä, vaan se löydetään.

Käsittääkseni platonismilla on tänä päivänäkin kannattajakuntansa, joten en lähde näkemystä tuomitsemaankaan.

[Varaktori]

Ainahan sitä voi tietysti kysyä, että miten ihmismieli sitten löytää sitä matematiikkaa jostain rinnakkaisesta todellisuudesta tai miten ihmismieli pystyy olemaan yhteydessä siihen todellisuuteen. Sillä taisi olla oikein nimikin, olisiko ollut epistemologinen ongelma. No filosofia ei oikein ole meikäläisen leipälaji. Pysyn kuitenkin uskossani vahvana. 

[QS]

Ainahan sitä voi tietysti kysyä, että miten ihmismieli sitten löytää sitä matematiikkaa jostain rinnakkaisesta todellisuudesta tai miten ihmismieli pystyy olemaan yhteydessä siihen todellisuuteen. Sillä taisi olla oikein nimikin, olisiko ollut epistemologinen ongelma. No filosofia ei oikein ole meikäläisen leipälaji. Pysyn kuitenkin uskossani vahvana.

Olen myös lähtökohtaisesti pihalla filosofian suuntauksista. Kun itse tuppaan ajattelemaan luontoa tai universumia enemmän kuin ihmisen kulttuurikeksintöjä.

Esimerkiksi filosofian ongelma, että onko olemassa "epätosi"-tietoa, ei mahdu meikäläisen kaaliin lainkaan. Tämä on kertakikkiaan liian ihmiskeskeinen kysymys. Toki matemaattisessa mielesstä tosi vs epätosi on järkevä kysymys, mutta universumissa ei lopulta ole lausekkeita, jotka ovat epätosia.

Sen sijaan, kun universumissa on jotain, niin sitä on. Turha ihmetellä että onko tuo olemassa oleva "epätosi" vai "tosi". Se vaan on. Riippumatta pohtijan viininjuontimäärästä. Että mulla ovat filosofien peruskäsitteetkin hukassa kun en saa niitä mihinkään liimattua.

Sen sijaan on jonkin verran järkeä pohtia vaihtoehtoja "on olemassa" vs "ei ole olemassa". Tämän voin käsittää, ja myös matemaattisessa mielessä.

[Varaktori]

Ainahan sitä voi tietysti kysyä, että miten ihmismieli sitten löytää sitä matematiikkaa jostain rinnakkaisesta todellisuudesta tai miten ihmismieli pystyy olemaan yhteydessä siihen todellisuuteen. Sillä taisi olla oikein nimikin, olisiko ollut epistemologinen ongelma. No filosofia ei oikein ole meikäläisen leipälaji. Pysyn kuitenkin uskossani vahvana.

Olen myös lähtökohtaisesti pihalla filosofian suuntauksista. Kun itse tuppaan ajattelemaan luontoa tai universumia enemmän kuin ihmisen kulttuurikeksintöjä.

Esimerkiksi filosofian ongelma, että onko olemassa "epätosi"-tietoa, ei mahdu meikäläisen kaaliin lainkaan. Tämä on kertakikkiaan liian ihmiskeskeinen kysymys.

Sen sijaan, kun universumissa on jotain, niin sitä on. Turha ihmetellä että onko tuo olemassa oleva "epätosi" vai "tosi". Se vaan on. Riippumatta pohtijan viininjuontimäärästä. Että mulla ovat filosofien peruskäsitteetkin hukassa kun en saa niitä mihinkään liimattua.

Sen sijaan on jonkin verran järkeä pohtia vaihtoehtoja "on olemassa" vs "ei ole olemassa". Tämän voin jotenkin käsittää.

Että ei vain olisi ollut Kurt Gödel joka sanoi että matematiikka annetaan sieltä rinnakkaisesta todellisuudesta samaan tapaan kuin aistit havaitsevat fysikaalisia objekteja. On niin kauan kun näitä on lueskellut, että ei oikein enää muista. No kaveri oli suuri matemaatikko joten hyvässä seurassa olen platonismin kanssa jos nyt muistini pelaa oikein.

Sitten on sellainenkin argumentti joka väittää, että vaikka emme pysty selittämään tarkasti miten yhteys matemaattisiin objekteihin tapahtuu, tämä ei tarkoita, että tällainen yhteys ei voisi olla olemassa. Sehän alkaa jo kuulostamaan lähes uskonnolta.  Olisko tämä ollut kontingentin totuuden argumentti nimeltään.

Kyllä nämä ehkä kannattaa jättää vähän vähemmälle, niin ei pää räjähdä. Toisaalta foorumille ei tekisi pahaa saada tänne muutama filosofi mukaan. 

[Kvarkkivalo]

Itse kuulun filosofisesti koulukuntaan, jossa ei ole mitään virtuaalimaailmoja, ideataivaita tms.
Jos heität pallon seinään osaat arvioida suurinpiirtein mitä tapahtuu. Jos heität ämpärillisen palloja seinään, ennustaminen on jo vaikeampaa.
Jos heität ihmisen kaltaisen ajattelijan elämään maapallolle, seuraukset ovat käsittämättömän monimutkaisia.
Syntyy esim. matematiikan kielen kaltaisia ilmiöitä.
En näe syytä mystifiointiin, pelkästään ilmiön monimutkaisuuden takia.

Tämä ei kuitenkaan tarkoita että tietoisuutemme ilmiötä pitäis väheksyä. Pikemminkin päin vastoin. Pitäisi olla innoissaan sen uskomattomista mahdollisuuksista; suhteessa esim. pallon pomppaamiseen seinästä.

[QS]

Sitten on sellainenkin argumentti joka väittää, että vaikka emme pysty selittämään tarkasti miten yhteys matemaattisiin objekteihin tapahtuu, tämä ei tarkoita, että tällainen yhteys ei voisi olla olemassa. Sehän alkaa jo kuulostamaan lähes uskonnolta. Olisko tämä ollut kontingentin totuuden argumentti nimeltään.

jouduin googlaamaan mainitun argumentin, tuli ylihapokasta filosofian terminologiaa vastaan. Luovutin jo alkumetreille

Itse kuulun filosofisesti koulukuntaan, jossa ei ole mitään virtuaalimaailmoja, ideataivaita tms.
Jos heität pallon seinään osaat arvioida suurinpiirtein mitä tapahtuu. Jos heität ämpärillisen palloja seinään, ennustaminen on jo vaikeampaa.
Jos heität ihmisen kaltaisen ajattelijan elämään maapallolle, seuraukset ovat käsittämättömän monimutkaisia.
Syntyy esim. matematiikan kielen kaltaisia ilmiöitä.
En näe syytä mystifiointiin, pelkästään ilmiön monimutkaisuuden takia.

Tämä ei kuitenkaan tarkoita että tietoisuutemme ilmiötä pitäis väheksyä. Pikemminkin päin vastoin. Pitäisi olla innoissaan sen uskomattomista mahdollisuuksista; suhteessa esim. pallon pomppaamiseen seinästä.

Tästä voisi poimia jotain. Ihmisen matematiikka on suuresta voimastaan huolimatta joskus pandakarhua muistuttavan kömpelö, lähes evoluutiokelvoton. Esimerkkinä three-body-problem. Tiedetään, että luonnossa 3 kappaleen systeemi pyörii helposti ilman prosessorin ylikuumenemista. Mutta ihmisen matematiikka hyytyy jo tässä 3 kappaleen tapauksessa lähes paikalleen.

Tosin ongelma ei ole se, etteikö ihmisen matematiikka voisi tilannetta kuvata (yhtälöt ja lainalaisuudet sellaisenaan), vaan se, että ratkaisun muodostamisen teho on matala. Toisaalta tässä voidaan myös todeta, että ei universumin tarvitse "ratkaista" mitään vaan toimia tietyillä säännöillä. Ratkaisujen tekeminen on otusten tehtävä, ja se ei välttämättä ole minkään sivilisaation symbolisella kielellä triviaali homma. Tämä palautuu jotenkin jälleen "matematiikka"-käsitteen määrittelyyn.

[Eusa]

Tästä voisi poimia jotain. Ihmisen matematiikka on suuresta voimastaan huolimatta joskus pandakarhua muistuttavan kömpelö, lähes evoluutiokelvoton. Esimerkkinä three-body-problem. Tiedetään, että luonnossa 3 kappaleen systeemi pyörii helposti ilman prosessorin ylikuumenemista. Mutta ihmisen matematiikka hyytyy jo tässä 3 kappaleen tapauksessa lähes paikalleen.

Tosin ongelma ei ole se, etteikö ihmisen matematiikka voisi tilannetta kuvata (yhtälöt ja lainalaisuudet sellaisenaan), vaan se, että ratkaisun muodostamisen teho on matala. Toisaalta tässä voidaan myös todeta, että ei universumin tarvitse "ratkaista" mitään vaan toimia tietyillä säännöillä. Ratkaisujen tekeminen on otusten tehtävä, ja se ei välttämättä ole minkään sivilisaation symbolisella kielellä triviaali homma. Tämä palautuu jotenkin jälleen "matematiikka"-käsitteen määrittelyyn.

Kolmen kappaleen ongelma on käsittääkseni siinä, ettei luonto noudata newtonilaista eikä vetovoimana tulkittua einsteinilaistakaan logiikkaa, vaan lainalaisuus on kenttäosien yhteensulautumisessa - kappaleet eivät ole säilyviä massapisteitä vaan muuttuvia kenttiä.