1+1=2

[Varaktori]

\(0\) on luonnollinen luku.
Jokaisella luonnollisella luvulla \(n\) on seuraaja \(S(n)\), joka on myös luonnollinen luku.
Ei ole olemassa luonnollista lukua, jonka seuraaja on \(0\).
Jos kaksi luonnollista lukua \(n\) ja \(m\) ovat sellaiset, että niiden seuraajat ovat yhtäsuuret, niin myös \(n=m\).
Jos joukko \(S\) sisältää \(0:n\) ja \(S(n)∈S\) aina kun \(n∈Sn\), niin \(S\) sisältää kaikki luonnolliset luvut.

Tuosta se suunnilleen alkaa joskin ennen tuota on sellaiset 50 sivua erilaisia asioita käyty läpi ja tuohan jatkuu sitten vielä, mutta en jaksa kirjoitella enempää. On se hassua miten paljon tavaraa tarvitaan siihen, että voidaan todistaa 1+1=2 kun meikäläinen voi ottaa korista ensin yhden omenan ja sitten toisen jonka jälkeen ihan sormilla pystyy laskemaan että niitä on kaksi. Elääkö matemaatikot ihan tässä maailmassa? 

[Disputator]

Aamupäivää,

\(0\) on luonnollinen luku.
Jokaisella luonnollisella luvulla \(n\) on seuraaja \(S(n)\), joka on myös luonnollinen luku.
Ei ole olemassa luonnollista lukua, jonka seuraaja on \(0\).
Jos kaksi luonnollista lukua \(n\) ja \(m\) ovat sellaiset, että niiden seuraajat ovat yhtäsuuret, niin myös \(n=m\).
Jos joukko \(S\) sisältää \(0:n\) ja \(S(n)∈S\) aina kun \(n∈Sn\), niin \(S\) sisältää kaikki luonnolliset luvut.

Tuosta se suunnilleen alkaa joskin ennen tuota on sellaiset 50 sivua erilaisia asioita käyty läpi ja tuohan jatkuu sitten vielä, mutta en jaksa kirjoitella enempää. On se hassua miten paljon tavaraa tarvitaan siihen, että voidaan todistaa 1+1=2 kun meikäläinen voi ottaa korista ensin yhden omenan ja sitten toisen jonka jälkeen ihan sormilla pystyy laskemaan että niitä on kaksi. Elääkö matemaatikot ihan tässä maailmassa?

Sut vaan on peloteltu kaikenlaisilla kauhujutuilla sivumääristä. Tosin siinä on kyllä jotain perääkin, mutta siitä lopussa.

Matematiikka nyt vaan on sellaista, annetaan tietty määrä aksioomia ja sitten todistetaan erilaisia väitteitä ja määritellään uusia käsitteitä edellisten avulla jne. Luonnollisten lukujen Peanon aksioomat ovat juuri tälläisiä. Euklideen geometrialla on omat aksioomansa ja sitten todistetaan erilaisia teoreemoja jne.

Olen itse oppinut luonnolliset luvut Peanon aksioomista algebran kurssilla ja ei siellä kovin montaakaan sivua tarvittu, jotta luonnolliset luvut laskutoimituksineen ovat valmiina käytettäväksi.

Eräs toinen tapa määritellä luonnolliset luvut pluslaskun kanssa on joukko-opillinen ja se vastaa intuitiivista lukumäärän käsitettä. Tämäkään tapa ei kovin montaa sivua tarvinnut, jos vain joukko-opin perusteet ovat hallinnassa.

Kummassakin tavassa on käsittääkseni omat hyvin hienovaraiset hankaluutensa, jotka sitten johtavat sivumäärän räjähdysmäiseen kasvuun. Syynä on ainakin joukko-opin perusteiden täsmällinen mmärittely ja sitten tavallisten logiikkasääntöjen formalisointi.


Monesti sitä oppii asioita oppimatta asioita, heh! Esimerkiksi negatiiviset luvut tai kokonaisluvut \(\mathbb{Z}={..., -3,-2-1,0,1,2,3,...}\) ovat tuttuja useimmille, mutta miten esimerkiksi määritellään täsmällisesti kokonaisluvut, jos on käytettävissä vain luonnolliset luvut \(\mathbb{N}={0,1,2,3,...}\) ja luonnollisten lukujen pluslaskuoperaatio +. Ja miten määritellään kokonaislukujen yhteenlasku?

[Varaktori]

Aamupäivää,

\(0\) on luonnollinen luku.
Jokaisella luonnollisella luvulla \(n\) on seuraaja \(S(n)\), joka on myös luonnollinen luku.
Ei ole olemassa luonnollista lukua, jonka seuraaja on \(0\).
Jos kaksi luonnollista lukua \(n\) ja \(m\) ovat sellaiset, että niiden seuraajat ovat yhtäsuuret, niin myös \(n=m\).
Jos joukko \(S\) sisältää \(0:n\) ja \(S(n)∈S\) aina kun \(n∈Sn\), niin \(S\) sisältää kaikki luonnolliset luvut.

Tuosta se suunnilleen alkaa joskin ennen tuota on sellaiset 50 sivua erilaisia asioita käyty läpi ja tuohan jatkuu sitten vielä, mutta en jaksa kirjoitella enempää. On se hassua miten paljon tavaraa tarvitaan siihen, että voidaan todistaa 1+1=2 kun meikäläinen voi ottaa korista ensin yhden omenan ja sitten toisen jonka jälkeen ihan sormilla pystyy laskemaan että niitä on kaksi. Elääkö matemaatikot ihan tässä maailmassa?

Sut vaan on peloteltu kaikenlaisilla kauhujutuilla sivumääristä. Tosin siinä on kyllä jotain perääkin, mutta siitä lopussa.

Matematiikka nyt vaan on sellaista, annetaan tietty määrä aksioomia ja sitten todistetaan erilaisia väitteitä ja määritellään uusia käsitteitä edellisten avulla jne. Luonnollisten lukujen Peanon aksioomat ovat juuri tälläisiä. Euklideen geometrialla on omat aksioomansa ja sitten todistetaan erilaisia teoreemoja jne.

Olen itse oppinut luonnolliset luvut Peanon aksioomista algebran kurssilla ja ei siellä kovin montaakaan sivua tarvittu, jotta luonnolliset luvut laskutoimituksineen ovat valmiina käytettäväksi.

Eräs toinen tapa määritellä luonnolliset luvut pluslaskun kanssa on joukko-opillinen ja se vastaa intuitiivista lukumäärän käsitettä. Tämäkään tapa ei kovin montaa sivua tarvinnut, jos vain joukko-opin perusteet ovat hallinnassa.

Kummassakin tavassa on käsittääkseni omat hyvin hienovaraiset hankaluutensa, jotka sitten johtavat sivumäärän räjähdysmäiseen kasvuun. Syynä on ainakin joukko-opin perusteiden täsmällinen mmärittely ja sitten tavallisten logiikkasääntöjen formalisointi.


Monesti sitä oppii asioita oppimatta asioita, heh! Esimerkiksi negatiiviset luvut tai kokonaisluvut \(\mathbb{Z}={..., -3,-2-1,0,1,2,3,...}\) ovat tuttuja useimmille, mutta miten esimerkiksi määritellään täsmällisesti kokonaisluvut, jos on käytettävissä vain luonnolliset luvut \(\mathbb{N}={0,1,2,3,...}\) ja luonnollisten lukujen pluslaskuoperaatio +. Ja miten määritellään kokonaislukujen yhteenlasku?

Eikö tuossa käytetty ekvivalenssiluokkia tyyliin 0 vastaa luokkaa [0,0], 1 vastaa luokkaa [1,0], −1 vastaa luokkaa [0,1] ja yleisesti n vastaa luokkaa [n,0] ja −n vastaa luokkaa [0,n].
No sitten otetaan kaksi ekvivalenssiluokkaa [a,b] ja [c,d] ja määritellään niiden summa tähän tapaan [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]. Nyt tämän jälkeen pitäisi sitten tarkistella että tulikos sitä tuo hyvin määritellyksi. Vaatisi taas muutaman rivin matematiikkamagiaa, mutta jätän nyt sen kirjoittelematta.

[Disputator]

\(\)Varaktori

Aamupäivää,

\(0\) on luonnollinen luku.
Jokaisella luonnollisella luvulla \(n\) on seuraaja \(S(n)\), joka on myös luonnollinen luku.
Ei ole olemassa luonnollista lukua, jonka seuraaja on \(0\).
Jos kaksi luonnollista lukua \(n\) ja \(m\) ovat sellaiset, että niiden seuraajat ovat yhtäsuuret, niin myös \(n=m\).
Jos joukko \(S\) sisältää \(0:n\) ja \(S(n)∈S\) aina kun \(n∈Sn\), niin \(S\) sisältää kaikki luonnolliset luvut.

Tuosta se suunnilleen alkaa joskin ennen tuota on sellaiset 50 sivua erilaisia asioita käyty läpi ja tuohan jatkuu sitten vielä, mutta en jaksa kirjoitella enempää. On se hassua miten paljon tavaraa tarvitaan siihen, että voidaan todistaa 1+1=2 kun meikäläinen voi ottaa korista ensin yhden omenan ja sitten toisen jonka jälkeen ihan sormilla pystyy laskemaan että niitä on kaksi. Elääkö matemaatikot ihan tässä maailmassa?

Sut vaan on peloteltu kaikenlaisilla kauhujutuilla sivumääristä. Tosin siinä on kyllä jotain perääkin, mutta siitä lopussa.

Matematiikka nyt vaan on sellaista, annetaan tietty määrä aksioomia ja sitten todistetaan erilaisia väitteitä ja määritellään uusia käsitteitä edellisten avulla jne. Luonnollisten lukujen Peanon aksioomat ovat juuri tälläisiä. Euklideen geometrialla on omat aksioomansa ja sitten todistetaan erilaisia teoreemoja jne.

Olen itse oppinut luonnolliset luvut Peanon aksioomista algebran kurssilla ja ei siellä kovin montaakaan sivua tarvittu, jotta luonnolliset luvut laskutoimituksineen ovat valmiina käytettäväksi.

Eräs toinen tapa määritellä luonnolliset luvut pluslaskun kanssa on joukko-opillinen ja se vastaa intuitiivista lukumäärän käsitettä. Tämäkään tapa ei kovin montaa sivua tarvinnut, jos vain joukko-opin perusteet ovat hallinnassa.

Kummassakin tavassa on käsittääkseni omat hyvin hienovaraiset hankaluutensa, jotka sitten johtavat sivumäärän räjähdysmäiseen kasvuun. Syynä on ainakin joukko-opin perusteiden täsmällinen mmärittely ja sitten tavallisten logiikkasääntöjen formalisointi.


Monesti sitä oppii asioita oppimatta asioita, heh! Esimerkiksi negatiiviset luvut tai kokonaisluvut \(\mathbb{Z}={..., -3,-2-1,0,1,2,3,...}\) ovat tuttuja useimmille, mutta miten esimerkiksi määritellään täsmällisesti kokonaisluvut, jos on käytettävissä vain luonnolliset luvut \(\mathbb{N}={0,1,2,3,...}\) ja luonnollisten lukujen pluslaskuoperaatio +. Ja miten määritellään kokonaislukujen yhteenlasku?

Eikö tuossa käytetty ekvivalenssiluokkia tyyliin 0 vastaa luokkaa [0,0], 1 vastaa luokkaa [1,0], −1 vastaa luokkaa [0,1] ja yleisesti n vastaa luokkaa [n,0] ja −n vastaa luokkaa [0,n].
No sitten otetaan kaksi ekvivalenssiluokkaa [a,b] ja [c,d] ja määritellään niiden summa tähän tapaan [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]. Nyt tämän jälkeen pitäisi sitten tarkistella että tulikos sitä tuo hyvin määritellyksi. Vaatisi taas muutaman rivin matematiikkamagiaa, mutta jätän nyt sen kirjoittelematta.

 

Kyllä, juuri näin menetellään, kun määritellään kokonaislukujen rengas \((\mathbf{Z},+,*)\).

Kuten sanoitkin, vaatii matemaattista näpertelyä, jotta voidaan osoittaa noiden antamiesi ekvivalenssiluokkien muodostavan renkaan. Laskut eivät ole mitenkään vaativia, mutta kyllä siinä muutama sivu kuluu, kun nuo kaikki käy läpi.

Positiiviset luvut määritellään olevan muotoa [m,n], missä m > n ja negatiiviset luvut olevan muotoa [m,n], missä m < n.

Positiivisten lukujen tapauksessa voidaan kirjoittaa [m,n] =[m-n,0], missä m-n on yksikäsitteinen ja negatiivisten lukujen tapauksessa [m,n] = [0,n-m], missä myös n-m on yksikäsitteinen. Tämä on idealtaan sama mitä jo kirjoititkin.

Laitan tähän näkyviin tulon määritelmän:

\([m,n]*[p,q] = [mp + nq , mq + np]
\)

Jos käytetäänkin eri ekvivalenssiluokkien edustajia m',n',p',q', niin voidaan osoittaa, että

\([m',n']*[p',q'] = [m,n]*[p,q]\), eli tulo ei riipu valituista edustajista.

Rengas on matematiikkajargonissa termi, joka kuvaa joukkoa, jossa on määritelty kaksi laskutoimitusta + ja *, siis yhteenlasku ja kertolasku, jotka toteuttavat tiettyjä vaatimuksia ja liittyvät toisiinsa tietyllä tavalla, esimerkiksi a(b + c)=ab + ac jne.

Mutta on tuollaiset konstruktiot tavallaan mun mielestä kauniita, ne ovat loogisesti pitäviä ja voidaan siis aukottomasti todistaa erilaisia "intuitiivisesti selviä" väitteitä kuten esimerkiksi:

\(A*B = 0\), jos ja vain jos \(A = 0\) tai \(B = 0\).

Jos siis \(A = [m,n], B = [p,q]\) niin \(A*B\) = \([m,n]*[p,q]\) ja tuosta voi sitten alkaa kehittelemään todistusta, mulla se on kirjassa, heh.

[Disputator]

Lisätään vielä tuohon otsikkoon liittyen, että on olemassa sellainen rengas R, jossa on olemassa yksikköalkio 1, jolle 1 + 1 = 0, ja \(1*x = x \) millä tahansa \(x\in R\). Rengas oli siis matemaattinen struktuuri \((R,+,*)\), jossa on määritelty 2 laskutoimitusta tietyin ehdoin. Wikipedian artikkeli Rengas selventää asiaa.

Rengas R, jossa 1 + 1 = 0, koostuu kahdesta alkiosta 0 ja 1, siis R = {0,1}, missä on asetettu 1 + 1 = 0, mutta muut laskutoimitukset kuten odottaisikin eli \(0*1 = 0\), 1 + 0 = 1 jne.

[Varaktori]

Lisätään vielä tuohon otsikkoon liittyen, että on olemassa sellainen rengas R, jossa on olemassa yksikköalkio 1, jolle 1 + 1 = 0, ja \(1*x = x \) millä tahansa \(x\in R\). Rengas oli siis matemaattinen struktuuri \((R,+,*)\), jossa on määritelty 2 laskutoimitusta tietyin ehdoin. Wikipedian artikkeli Rengas selventää asiaa.

Rengas R, jossa 1 + 1 = 0, koostuu kahdesta alkiosta 0 ja 1, siis R = {0,1}, missä on asetettu 1 + 1 = 0, mutta muut laskutoimitukset kuten odottaisikin eli \(0*1 = 0\), 1 + 0 = 1 jne.

No nyt innostui meikäläinenkin. Tuo 1+1=0 on kyllä meikäläiselle vanhalle internet trollille herkullinen otsikko jollekin foorumille.

[Eusa]

Aamupäivää,

\(0\) on luonnollinen luku.
Jokaisella luonnollisella luvulla \(n\) on seuraaja \(S(n)\), joka on myös luonnollinen luku.
Ei ole olemassa luonnollista lukua, jonka seuraaja on \(0\).
Jos kaksi luonnollista lukua \(n\) ja \(m\) ovat sellaiset, että niiden seuraajat ovat yhtäsuuret, niin myös \(n=m\).
Jos joukko \(S\) sisältää \(0:n\) ja \(S(n)∈S\) aina kun \(n∈Sn\), niin \(S\) sisältää kaikki luonnolliset luvut.

Tuosta se suunnilleen alkaa joskin ennen tuota on sellaiset 50 sivua erilaisia asioita käyty läpi ja tuohan jatkuu sitten vielä, mutta en jaksa kirjoitella enempää. On se hassua miten paljon tavaraa tarvitaan siihen, että voidaan todistaa 1+1=2 kun meikäläinen voi ottaa korista ensin yhden omenan ja sitten toisen jonka jälkeen ihan sormilla pystyy laskemaan että niitä on kaksi. Elääkö matemaatikot ihan tässä maailmassa?

Sut vaan on peloteltu kaikenlaisilla kauhujutuilla sivumääristä. Tosin siinä on kyllä jotain perääkin, mutta siitä lopussa.

Matematiikka nyt vaan on sellaista, annetaan tietty määrä aksioomia ja sitten todistetaan erilaisia väitteitä ja määritellään uusia käsitteitä edellisten avulla jne. Luonnollisten lukujen Peanon aksioomat ovat juuri tälläisiä. Euklideen geometrialla on omat aksioomansa ja sitten todistetaan erilaisia teoreemoja jne.

Olen itse oppinut luonnolliset luvut Peanon aksioomista algebran kurssilla ja ei siellä kovin montaakaan sivua tarvittu, jotta luonnolliset luvut laskutoimituksineen ovat valmiina käytettäväksi.

Eräs toinen tapa määritellä luonnolliset luvut pluslaskun kanssa on joukko-opillinen ja se vastaa intuitiivista lukumäärän käsitettä. Tämäkään tapa ei kovin montaa sivua tarvinnut, jos vain joukko-opin perusteet ovat hallinnassa.

Kummassakin tavassa on käsittääkseni omat hyvin hienovaraiset hankaluutensa, jotka sitten johtavat sivumäärän räjähdysmäiseen kasvuun. Syynä on ainakin joukko-opin perusteiden täsmällinen mmärittely ja sitten tavallisten logiikkasääntöjen formalisointi.


Monesti sitä oppii asioita oppimatta asioita, heh! Esimerkiksi negatiiviset luvut tai kokonaisluvut \(\mathbb{Z}={..., -3,-2-1,0,1,2,3,...}\) ovat tuttuja useimmille, mutta miten esimerkiksi määritellään täsmällisesti kokonaisluvut, jos on käytettävissä vain luonnolliset luvut \(\mathbb{N}={0,1,2,3,...}\) ja luonnollisten lukujen pluslaskuoperaatio +. Ja miten määritellään kokonaislukujen yhteenlasku?

Voinee soveltaa Peanon aksioomia vastasuuntaankin. Eli tarkastellaan myös edeltäjiä seuraajien lisäksi.