pähkäilijä kirjoitti: ↑19.12.2025, 18:07
Onko tämä oikea jatkumo, skalaari --> vektori --> tensori?
Noin voi ajatella. Skalaari on (0,0)-tensori, vektori on (1,0)-tensori, ja tensorit ovat yleisesti (m,n)-tensoreita.
Eusa kirjoitti: ↑19.12.2025, 15:38
matematiikassa 2. kertaluvun
tensori nimenomaan on matriisi, kun 0. asteen on nimeltään skalaari ja 1. asteen vektori.
Vektori \(v \in V\) voidaan kirjoittaa \(v = v^\mu e_\mu\), kun käytetään vektoriavaruuden \(V\) kantavektoreita \(\{e_\mu\}\). Kovektori \(u \in V^*\) voidaan kirjoittaa duaaliavaruuden kantavektoreilla \(u = u_\mu e^\mu\).
Nyt vektorin \(v\)
komponentit voidaan esittää 4x1-matriisina \(v = [a,b,c,d]^T\), joka on pystyvektori. Kovektorin \(u\)
komponentit voidaan esittää 1x4-matriisina \(u = [a,b,c,d]\), joka on vaakavektori. Matriisiin muotoon asetetaan vain komponentit, ei kantavektoreita.
Tensorituloavaruuden \(V \otimes V\) vektori \(T\) on bilineaarinen kuvaus
\(T: V^* \times V^* \to \mathbb R\)
Tämä (2,0)-tensori voidaan kirjoittaa tensorituloavaruuden kantavektoreilla
\(T = T^{\mu\nu}e_\mu \otimes e_\nu\)
Tensorin
komponentit, jotka ovat \(T^{\mu\nu}\), voidaan esittää 4x4-matriisina, mutta komponenttien esitys matriisina ei tee tensorista T matriisia. Samoin kuin vektorin \(v\) komponenttien esitys matriisina ei tee vektorista matriisia.
Nyt sitten matriiseihin. Lineaarialgebrassa matriisilla tarkoitetaan vektoriavaruuden \(V\) lineaarikuvausta. Esimerkiksi kuvaus \(\Lambda: V \to V\) on lineaarikuvaus, joka muuntaa vektorit \(v \in V\).
Muunnoksen \(\Lambda\) muodostamiseksi valitaan \(V\):n jokin kantavektorijoukko \(\{e_\mu\}\). Valinnan jälkeen \(\Lambda\) voidaan kirjoittaa matriisina \({\Lambda^\mu}_\nu\). Tässä nyt \(\Lambda\) on Lorentzin ryhmän alkio, ja sen matriisiesitys vektoriavaruuden \(V\) kannnassa \(\{e_\mu\}\). Tuo matriisi \(\Lambda\) ei siis ole vektori, kovektori, tensori, tai muukaan vektoriavaruuden alkio.
\(\Lambda\) muuntuu \(\Lambda \to M \Lambda M^{-1}\), missä \(M\) on avaruuden \(V\) kantavektorimuunnos. Tämä on lineaarisen operaattorin ominaisuus.
Tensori \(T\) muuntuu puolestaan siten, että \(T'^{\mu\nu} = {\Lambda^\mu}_\alpha {\Lambda^\nu}_\beta T^{\alpha\beta}\), missä \(\Lambda\) on edellä mainittu matriisi. Yleisesti ottaen tensori \(T\) ei muunnu \(T \to M\ T\ M^{-1}\).
Matriisi \(\Lambda\) ja tensori \(T\) muuntuvat eri tavoin, ja \(T\) on aivan eri objekti kuin \(\Lambda\). Tensori nimenaomaan
ei ole matriisi. Lineaarialgebrassa matriisin käsite onkin varattu lineaariselle operaattorille \(V \to V\).
Suhteellisuusteoriassa on muitakin objekteja, jotka voidaan esittää matriisimuodossa, mutta eivät ole matriiseja. Chrisfoffelin symboli \({\Gamma^\alpha}_{\beta\gamma}\) on 64-komponenttinen objekti, joka ei ole matriisi eikä myöskään tensori, mutta sen voi kirjoittaa 3-ulotteisen matriisin muodossa.
