Palsta tarvitsee kyllä yhden klassiseen mekaniikkaan keskittyvän ketjun joten tässä se nyt sitten on. Tähän siis voi kirjoitella kaikenlaista mekaniikkaan liittyvää.
Seuraava tehtävä on mielestäni tulokseltaan todella merkillinen:
Oletetaan Maan vakiopainovoimakenttä ja valitaan koordinaatit siten että y-akselin positiivinen suunta ylös ja x-akseli vaakatasossa.
Oletetaan ideaalisista materiaaleista valmistettu hyvin ohut putki, jonka muoto on annettuna yhtälönä \(y=f(x), x\in [a,b]\) ja tämä putki on kiinnitetty jollain tavalla tukevasti.
Sijoitetaan putken sisälle venymättömästä ja kutistumattomasta ideaalisesta materiaalista sellainen taipuisa "ketju" putken sisään, jossa ketjun pituus on sama kuin putken ja ketju kulkee putken päätepisteestä päätepisteeseen. Oletetaan myös, että ketju voi liukua putkessa kitkattomasti ja ketju on massatiheydeltään homogeeninen eli massan pituustiheys \( \rho\) = vakio.
Osoitettava, että ketju pysyy paikallaan putkessa (ei siis liu'u ulos kummastakaan päästä), jos ja vain jos \(f(a)=f(b)\) eli putken alku-ja loppupisteet sijaitsevat samalla korkeudella, muuten putken muoto (eli \(y=f(x)\)) on mielivaltainen.
Edit:
Mielestäni tuon tehtävän voi muotoilla idealtaan myös vaikka esimerkiksi Linnanmäen vuoristoradan vaunujen muodostaman junan (=ketju) avulla. Toki silloin pitää ajatella hyvin suurta määrää pienen pieniä "vaunuja" ja kitkattomuus jne. Eli on osoitettava että juna pysyy paikallaan jos ja vain jos ensimmäinen ja viimeinen vaunu ovat samalla korkeudella, riippumatta vuoristoradan muodosta.
Sehän on vesivaaka, kun letku täytetään vedellä, sillä voi mitata vaikka 100m pitkän talon perustukset. Eikä tulos muutu vaikka letku olisi paikoin paksumpi tai ohuempi. Ainoa mikä muuttaa on matalapaine, siinä päässä vesi on hiukan korkeammalla.
Kun tarkastellaan ketjua niin siinä muutoksen voi myös tuottaa eri painoiset lenkit, jos lännessä on 1% painavammat lenkit kuin itäpäässä, länsipää uppoaa syvemmälle.
Mielenkiintoinen. Muistuttaa etäisesti skalaaripotentiaalin gradienttiin liittyvää teoreemaa. Sanallinen (ehkä vähän kömpelö) muotoiluni: Viivaintegraali käyrää C pitkin konservatiivisessa vektorikentässä \(\textbf{F}\) voidaan laskea käyttämällä vektorikenttään \(\textbf{F} = -\nabla\phi\) liitetyn skalaaripotentiaalin \(\phi\) arvoja käyrän C päätepiseissä.
missä \(d\textbf{r}\) on siirtymä käyrällä C. Potentiaalin \(\phi\) arvot C:n alku- ja loppupisteissä ovat \(\phi(a)\) ja \(\phi(b)\).
Tämä ei ehkä sellaisenaan ole tehtävän ratkaisu, mutta ideaa voisi soveltaa. Ketju muodostuu käyrälle \(f\) tasaisesti jakautuneista massapisteistä. Massa per pituusyksikkö on \(\rho\).
Kun kyseessä on vakiopainovoimakenttä \(\textbf{g}\), niin voidaan määritellä painovoima pituusyksikköä kohti
\(\textbf{F} = -\rho g\ \mathbf{\hat y}\)
missä \(g\) on vakio putoamiskiihtyvyys ja \(\mathbf{\hat y}\) on y-akselin suuntainen yksikkövektori. Tämä ei siis ole painovoima vaan painovoima per pituusyksikkö.
Jos nyt ajatellaan ketjun infinitesimaalia siirtymää, ja painovoiman (per pituusyksikkö) tekemää työtä \(dW\), niin voin kirjoittaa
\(dW = \textbf{F} \cdot d\textbf{r}\)
missä \(d\textbf{r}\) on siirtymä käyrällä \(y=f(x)\). Siirtymävektorin voi kirjoittaa \(d\textbf{r}=(dx,dy)\). Kyseessä on käyrä \(y\), joten \(dy=f'(x)\ dx\). Näin ollen
missä \(\rho\) ja \(g\) ovat vakioita. Tuo \(dW\) on siis painovoiman tekemä työ per infinitesimaali siirtymä. Koko käyrän \(y\) matkalla painovoima tekee työn (excusez-moi jos notaatio ontuva)
