Noetherin lause, symmetriat ja variaatiolaskentaa

[QS]

Iltapäivää!

...
Tässä voi mennä tosi helposti symmetriat, variaatiot ja muunnokset sekaisin.
...

Tämä pitää suorastaan syvällisesti paikkansa. Tuo on oikeasti mielestäni todellinen ongelma tässä aiheessa, kun näitä yrittää oikeasti ymmärtää. Lähteissä on niin vaihtelevia esityksiä määritelmineen ja päättelyineen ja kaavat näyttävät samoilta olematta samoja jne.

Kun olen tutustunut Noetherin ensimmäiseen lauseeseen (niitä on kaksi, se mitä yleensä käsitellään on se eka) niin myös teoreeman esittely ja johtaminen vaihtelevat lähteestä (kirjat tai netti) riippuen melkoisen paljon. Matemaattisesti suuntautuneet lähteet ovat mielestäni jotenkin konservatiivisempia kuin fyysikoiden vastaavat ja tavallaan suosin niitä, mutta siitä sitten myöhemmin lisää.

Aihe on kuitenkin keskeinen fysiikassa, joten tähän kannattaa panostaa eli kirjoittelen lisää sitten myöhemmin.

Taivahan totta. Kirjoitan ensin perusasioita, jotta orientoidun notaatioon, ja tuleepa samalla kerrattua. Stationäärisen vaikutuksen periaate on lyhyesti \(\delta S = 0\), missä \(S \equiv \int_{t_0}^{t_1} dt\ L(q,\dot q)\). Tämä voidaan kirjoittaa myös

\(\delta S[q, \delta q] = S[q + \delta q]-S[q] = 0\)

missä infinitesimaali variaatio \(\delta q\) katoaa päätepisteissä, toisin sanoen \(\delta q(t_0) = \delta q(t_1) = 0\). Variaatio voidaan nyt laskea

\(\require{physics} \begin{align}
\delta S[q, \delta q] &= S[q + \delta q]-S[q] \\
&=\int_{t_0}^{t_1}dt\ \left(\pdv{L}{q}\delta q + \pdv{L}{\dot q}\delta\dot q\right)\\
&=\int_{t_0}^{t_1}dt\ \left(\pdv{L}{q}\delta q\right)\ + \eval {\pdv{L}{\dot q}\delta q}_{t_0}^{t_1}-\int_{t_0}^{t_1}dt\ \left(\dv{t}\pdv{L}{\dot q}\delta q\right)\\
&=\int_{t_0}^{t_1}dt\left(\pdv{L}{q}-\dv{t}\pdv{L}{\dot q}\right)\delta q
\end{align}\)

missä \(\delta \dot q = \dv{t}(\delta q)\). Toiseksi viimeisen rivin keskimmäinen termi katoaa, sillä \(\delta q\) katoaa päätepisteissä. Viimeisellä rivillä on Eulerin-Lagrangen yhtälö

\(\displaystyle \pdv{L}{q}-\dv{t}\pdv{L}{\dot q}=0\)

jonka ratkaisu on ekstremaali \(\hat q\). Tämä ei kuitenkaan kerro mitään symmetrioista. Vaikutuksen \(S\) eräs symmetria on \(S[q'] = S[q]\), missä \(q' = q + \delta q\). Tuo \(\delta q\) on infinitesimaali muunnos, joka kohdistuu mielivaltaiseen funktioon \(q\) siten, että \(S\) on invariantti. Symmetria voidaan kirjoittaa
$$S[q + \delta q] - S[q] = 0 \tag{1}$$
missä oleellista on se, että \(q\) on mielivaltainen, ja ei välttämättä EL-yhtälön ratkaisu. Yhtälö \((1)\) näyttää samalta kuin ekstremaalin \(\delta S = 0\), mutta tässä ei ratkaista ekstremaalia \(\hat q\), vaan haetaan symmetriamuunnosta \(\delta q\), joka pätee kaikille \(q\). Yhtälön \((1)\) toteuttava symmetriamuunnos \(\delta q\) on yleisemmin \(S\):n, ja myös \(L(q,\dot q)\):n ominaisuus. Se ei ole vain ekstremaaliin \(\hat q\) ominaisuus.

Toinen, ja vähemmän tiukka \(S\):n variaatio voidaan kirjoittaa
$$\begin{align}
\delta S[q,\hat{\delta q}] &= S[q + \hat{\delta q}] - S[q]\\ &= \int_{t_0}^{t_1} \text{d}t \dv{F}{t}\tag{2}
\end{align}$$
missä \(q\) on mielivaltainen, mutta \(\hat{\delta q}\) on tietty muunnos, joka tuottaa oikean puolen raunatermin. Oikealla puolella on funktio F, joka on käytännössä lauseke, joka voi sisältää funktiot \(q\) ja \(\dot q\), sekä myös vakioita. Tämäkin on \(S\):n yleinen ominaisuus, ei vain ekstremaalin \(\hat q\) ominaisuus. Tuo \(\hat{\delta q}\) riippuu siitä miten \(L(q,\dot q)\) ja sitä kautta \(S\) on kirjoitettu. Seuraavaksi rajoitutaan ekstremaaliin \(\hat q\), ja oletetaan \(\delta q\) mielivaltaiseksi. Variaatio on
$$\begin{align}
\delta S[\hat q, \delta q] &= S[\hat q + \delta q]-S[\hat q] \\
&=\int_{t_0}^{t_1}\text dt\dv{t}\left(\pdv{L}{\dot{\hat q}}\delta q\right)
\end{align}
\tag{3}$$
Tässä siis \(\hat q\) on EL-yhtälön ratkaisu. Kuitenkin \(\delta q\) on mielivaltainen, toisin kuin yhtälössä \((2)\). Nyt voidaan yhdistää \((2)\) ja \((3)\) siten, että yhtälöön \((2)\) sijoitetaan \(q=\hat q\) ja yhtälöön \((3)\) sijoitetaan \(\delta q = \hat{\delta q}\). Näin saadaan yhtälöpari

\(\begin{align}
S[\hat q + \hat{\delta q}] - S[\hat q]&=\int_{t_0}^{t_1} \text{d}t \dv{F}{t}\\
S[\hat q + \hat{\delta q}]-S[\hat q]&=\int_{t_0}^{t_1}\text dt\dv{t}\left(\pdv{L}{\dot{\hat q}}\hat{\delta q}\right)
\end{align}\)

Vasemmat puolet ovat samat, joten

\(\displaystyle \dv{t} \left(F-\pdv{L}{\dot{\hat q}}\hat{\delta q}\right)=0\)

missä \(\hat q\) on EL-yhtälön ratkaisu ja \(\hat{\delta q}\) on muunnos, joka on saatu yhtälöstä (2). Suluissa oleva termi

\(\displaystyle Q=F-\pdv{L}{\dot{\hat q}}\hat{\delta q}\)

on Noetherin varaus, jonka säilymislaki on \(\dv{t}Q=0\).

Että näin. Yleisellä tasolla ymmärrän mitä tässä tapahtuu, mutta kun mennään yksityiskohtiin, niin asia sumenee. Esimerkiksi funktion F löytäminen ei käsittääkseni ole suoraviivainen juttu. Sitä ei voi ratkaista helposti, vaikka yhtälö \((2)\) on kirjoitettu. Tuossa yhtälössä \(\hat{\delta q}\) ja \(F\) ovat jollain tavalla toisistaan riippuvat, mutta miten. Hmm.

Toinen juttu on yhtälö (1). Jos kirjoitetaan Langrangen funktio \(L(q,\dot q)\), ja löydetään ekstremaali \(\hat q\), joka on fysikaalisesti ihan oikea, niin onko aina edes olemassa \(\delta q\), joka yhtälön (1) symmetrian toteuttaa. Kokeilin jotain ihan helppoa Lagrangea, mutta en löytänyt \((1)\):een ratkaisua.

Ja sitten Noetherin ensimmäinen ja toinen lause. En tiedä olivatko tässä mukana vai eivät. Olen itsekin kuullut Noether ykkösestä ja kakkosesta, mutta en tarkaan tiedä miten ne lausutaan.

[Disputator]

Laitan ihan lyhyen väliaikapäivityksen osaltani. Olen nyt kuluttanut aikaa kiitettävästi erilaisten pilkunviilausten kanssa ja palaan kyllä asiaan varmasti. Mun kompastuskivinä ovat koko ajan asiat, jotka liittyvät erilaisten asiaan liittyvien suureiden huolelliset määrittelyt ja manipulaatiot vs. fyysikot ja niiden esitykset

Vaikka ei pyrkisikään 100% matemaattiseen täsmällisyyteen, niin kuitenkin mutkia on matkassa, jos tosiaan pyrkii matemaatikkona olemaan samassa linjassa fyysikoiden esitysten kanssa, joissa toisaalta on hyviä oivalluksia, mutta toisaalta joidenkin käsitteiden määrittely vaikuttaa hämärältä ja liian epämääräiseltä.

Tämä aihe on nyt sitten poikinut mulle sivuprojekteja, jotka sivuavat aihetta, ja sekin on syönyt aikaa ja vaivaa. Mutta on tosi mukavaa opiskella jotain uusia juttuja motivoituneena.
 

[QS]

Minäkin lukenut aihetta välillä, ja koettanut ymmärtää Noetherin toisen teoreeman, johon voidaan joskus palata. Pintapuolisesti luin myös englanninkielisen käännöksen v. 1918 artikkelista, joka on tiivis, kuten nerokkaan matemaatikon teksti usein on. Kaikkea en vielä sisäistänyt.

Muistan, että menneisyyden foorumilla laskin Noetherin varauksen 1-dimensioiselle kitkattomalle värähtelijälle. Teen nyt saman uudestaan, jotta tulee käsiteltyä jokin helppo tapaus. Värähtelijän vaikutusfunktionaali voidaan kirjoittaa

\(\displaystyle S[q]=\int_{t_0}^{t_1} dt\ L(q,\dot q) = \int_{t_0}^{t_1} dt\ \left(\frac{1}{2} m\dot q^2-\frac{1}{2}kq^2\right)\)

missä \(q=q(t)\) on yleistetty koordinaattifunktio, ja \(\require{physics} \dot q = \dv{q}{t}\). Tuo \(S\) ei riipu eksplisiittisesti parametrista \(t\), mutta \(q(t)\) ja \(\dot q(t)\) ovat \(t\):n funktioita.

\(\delta q\) on infinitesimaali muunnos, joka kohdistuu mielivaltaiseen funktioon \(q\) siten, että \(S\) on invariantti. Symmetria voidaan kirjoittaa
$$S[q + \delta q] - S[q] = 0 \tag{1}$$
missä oleellista on se, että \(q\) on mielivaltainen, ja ei välttämättä EL-yhtälön ratkaisu.

Värähtelijän \(S\):lle (siis ei ekstremaalille \(\hat q\)) en helposti löytänyt muunnosta \(\delta q\), jolla symmetria \((1)\) toteutuu. Rotaatio olisi sellainen, mutta tässä vain yksi koordinaattifunktio \(q\), joten rotaatioita ei ole. Helppo ja hiukan aivoton esimerkki saadaan, kun lisätään funktio \(q_2(t)\) siten, että

\(\displaystyle L(q_1,q_2,\dot q_1,\dot q_2) = \left(\frac{1}{2} m\dot q_1^2-\frac{1}{2}kq_1^2\right)\)

missä \(L\) on kuitenkin riippumaton \(q_2\):sta. Nyt kaikki mielivaltaiset (sileät?) funktiot \(f(q_2)\), ja muunnokset \(\delta q = f(q_2)\) toteuttavat symmetrian \((1)\). Toinen esimerkki olisi nopeudella \(\dot q(t)\) etenevä massakappale

\(\displaystyle S[q]=\int_{t_0}^{t_1} dt\ L(q,\dot q) = \int_{t_0}^{t_1} dt\ \left(\frac{1}{2} m\dot q^2\right)\)

jolle löytyy helposti symmetrian \((1)\) toteuttava muunnos \(\delta q\).

Muutan aiemman notaation siten, että symmetrian toteuttava (ei mielivaltainen) muunnos merkitään \(\overline{\delta q}\). Aiemmin mulla oli \(\hat{\delta q}\), mutta tuo vihjaa liikaa siihen, että kyseessä olisi \(\hat q\).

$$\begin{align}
\delta S[q,\overline{\delta q}] &= S[q + \overline{\delta q}] - S[q]\\ &= \int_{t_0}^{t_1} \text{d}t \dv{F}{t}\tag{2}
\end{align}$$
missä \(q\) on mielivaltainen, mutta \(\overline{\delta q}\) on tietty muunnos, joka tuottaa oikean puolen raunatermin.

Heilurin \(S\) voidaan muuntaa siten, että \(q \to q + \overline{\delta q} = q - \epsilon \dot q\), missä \(\epsilon\) on infinitesimaali reaaliluku ja muunnos on \(\overline{\delta q} = - \epsilon \dot q\). Tässä nyt

\(\displaystyle \dv{t}(q-\epsilon\dot q)=\dot q - \epsilon \ddot q\)

Symmetria \((2)\) toteutuu muunnoksella \(\overline{\delta q}\), kun jätetään \(\epsilon^2\) -termit pois, sillä

\(\begin{align}
\delta S[q,\overline{\delta q}] &= S[q + \overline{\delta q}] - S[q] \\
&=\frac{1}{2} \int_{t_0}^{t_1}\text dt\left(m(\dot q - \epsilon \ddot q\\)^2-k(q-\epsilon\dot q)^2\right)-\frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1} \text dt\ \left(m\dot q^2-kq^2\right)\\
&=\int_{t_0}^{t_1}\text dt\ \frac{-\epsilon}{2}(m\dot q\ddot q-k\dot qq) \\
&=\int_{t_0}^{t_1}\text dt\ \dv{t}\left(\frac{1}{2}m\dot q^2-\frac{1}{2}kq^2\right)(-\epsilon)\\
&=\int_{t_0}^{t_1}\text dt \dv{F}{t}
\end{align}\)

Viimeisellä rivillä on lauseke

\(\displaystyle F = -\epsilon\left(\frac{1}{2}m\dot q^2-\frac{1}{2}kq^2\right)\)

missä \(q\) on siis mielivaltainen funktio \(q(t)\). Sitten seuraava vaihe:

Seuraavaksi rajoitutaan ekstremaaliin \(\hat q\), ja oletetaan \(\delta q\) mielivaltaiseksi. Variaatio on
$$\begin{align}
\delta S[\hat q, \delta q] &= S[\hat q + \delta q]-S[\hat q] \\
&=\int_{t_0}^{t_1}\text dt\dv{t}\left(\pdv{L}{\dot{\hat q}}\delta q\right)
\end{align}
\tag{3}$$
Tässä siis \(\hat q\) on EL-yhtälön ratkaisu. Kuitenkin \(\delta q\) on mielivaltainen, toisin kuin yhtälössä \((2)\).

Tämä \((3)\) ei ole symmetria, vaan ekstremaalin \(\hat q\) variaatio mielivaltaisella \(\delta q\). Kun \((2)\) ja \((3)\) yhdistetään sijoittamalla \(q = \hat q\) ja \(\delta q = \overline{\delta q}\), niin saadaan

\(\displaystyle \dv{t} \left(F-\pdv{L}{\dot{\hat q}}\overline{\delta q}\right)=0\)

Tuohon sijoitetaan symmetriamuunnos \(\overline{\delta q} = -\epsilon \dot{\hat q}\), ja derivaatta \(\pdv{L}{\dot{\hat q}} = m\dot{\hat q}\), sekä lasketaan Noetherin varaus

\(\begin{align}
Q&=F-\pdv{L}{\dot{\hat q}}\overline{\delta q}\\
&= -\epsilon\left(\frac{1}{2}m\dot{\hat q}^2-\frac{1}{2}k \hat q^2\right)-(m\dot{\hat q})(-\epsilon \dot{\hat q})\\
&= \epsilon\left(\frac{1}{2}m\dot{\hat q}^2+\frac{1}{2}k\hat q^2\right)
\end{align}\)

Viimeiseltä riviltä löytyy termi \(E = \left(\frac{1}{2}m\dot{\hat q}^2+\frac{1}{2}k\hat q^2\right)\), joka on energia.

Tässä muodossa Noetherin ensimmäisen lauseen soveltaminen on mieletäni varsin eleganttia, sillä missään vaiheessa ei tehdä parametrin \(t\) muunnosta \(t \to t+\epsilon\), eikä myöskään integrointirajoja muuteta \(t_0 + \epsilon\) ja \(t_1+\epsilon\). Sen sijaan muunnokset ovat vaikutusfunktionaalin (tarkasteltavan systeemin) infinitesimaaleja muunnoksia \(S[q] \to S[q+\delta q]\).

Ja tuossa edellä näkyy melko selvästi se, että "vaikutusfunktionaalin \(S\) jatkuvaa infinitesimaalista symmetriaa \(\overline {\delta q}\)" vastaa "ekstremaalin \(\hat q\) säilyvä suure \(Q\)". Ensimmäinen lainausmerkeissä on symmetria \((2)\) ja toinen on symmetria + variaatio, eli \((2)+(3)\).

[QS]

Huomasin ohimennen, että tummassa teemassa jakoviivat katoavat . Esimerkiksi \(\frac{1}{1}\) näkyy vain 1 ja sen alla 1, ilman viivaa.

[QS]

.....

Viimeiseltä riviltä löytyy termi \(E = \left(\frac{1}{2}m\dot{\hat q}^2+\frac{1}{2}k\hat q^2\right)\), joka on energia.

Tässä muodossa Noetherin ensimmäisen lauseen soveltaminen on mieletäni varsin eleganttia, sillä missään vaiheessa ei tehdä parametrin \(t\) muunnosta \(t \to t+\epsilon\), eikä myöskään integrointirajoja muuteta \(t_0 + \epsilon\) ja \(t_1+\epsilon\). Sen sijaan muunnokset ovat vaikutusfunktionaalin (tarkasteltavan systeemin) infinitesimaaleja muunnoksia \(S[q] \to S[q+\delta q]\).

Ja tuossa edellä näkyy melko selvästi se, että "vaikutusfunktionaalin \(S\) jatkuvaa infinitesimaalista symmetriaa \(\overline {\delta q}\)" vastaa "ekstremaalin \(\hat q\) säilyvä suure \(Q\)". Ensimmäinen lainausmerkeissä on symmetria \((2)\) ja toinen on symmetria + variaatio, eli \((2)+(3)\).

Aina jää joku oleellinen asia sanomatta, kun pää ja näppäimistö kulkee eri aika-avaruuden polkua.

Kohdassa "ekstremaalin \(\hat q\) säilyvä suure \(Q\)" on oleellista se, että tarkastellaan nimen omaan ekstremaalia eikä vain vaikutusfunktionaalia. Esimerkiksi värähtelijän säilyvä suure E on seuraus siitä, että EL-yhtälö on \(m\ddot{\hat q}+ k \hat q = 0\). Tämän seurauksena energian aikaderivaatta

\(\require{physics} \dv{E}{t} = m\dot{\hat q} \ddot{\hat q}+k\hat q \dot{\hat q} =\dot{\hat q}(m\ddot{\hat q}+k\hat q)=0\)

Noin, tuli tuokin täsmennettyä: Vaikutuksen \(S\) symmetriasta \(\overline {\delta q}\) seuraa ekstremaalin \(\hat q\) säilyvä suure \(Q\).