QS kirjoitti: 19 Maalis 2025, 09:51Disputator kirjoitti: 18 Maalis 2025, 23:00Palaan tuohon sun viimeiseen viestiisi tarkemmin myöhemmin. Huomasin vähän kirjoitelleeni epämääräisesti aallon liikkeen suunnasta.
Jos on annettu aaltoliike \(E= E_0 \sin(\omega t-kx) \), niin siinä on implisiittisesti oletus että \(\omega>0\), koska yleensä \(\omega\) liittyy aallon taajuuten f kaavalla \(\omega=2\pi f\), missä f on taajuus, joka on positiiivinen luku, yksiköissä Hz.
Aaltoluku k voi olla sitten positiivinen tai negatiivinen, se koodaa aallon etenemisuunnan. Jos \(k>0\), aalto etenee positiivisen x-akselin suuntaan ja jos \(k<0\) aalto etenee negatiivisen x-akselin suuntaan. Mulla oli implisiitisenä olettamuksena se, että \(k>0\). Siksi kirjoitin aallon suunnasta positiiviseen suuntaan, joka ei tietenkään ollut perusteltua, koska aallon suunta riippuu k:n arvosta.
Eli jos \(k>0\) niin mun mielestä sekä \(E= E_0 \sin(\omega t-kx) \) ja \(E= -E_0 \sin(\omega t-kx) \) etenevät positiivisen x-akselin suuntaan.Joo kyllä, kulmataajuus määritellään \(\omega=\frac{c}{|\mathbf{k}|}\), missä \(|\mathbf{k}|\) on aaltovektorin (3-vektori) normi. Näin määritelty \(\omega\) on aina positiivinen.
Vapaassa tasoaalloissa aaltovektori \(\mathbf{k}=(k_1,k_2,k_3)\) on aallon etenemisen suuntainen. Yleisesti etenemissuunta ei aina päde, mutta yksinkertaisessa tasoaallossa kyllä.
Jos nyt poimitaan vain E-komponentti, niin sen voi kirjoittaa kahdessa mahdollisessa muodossa
\(\begin{align*}
E(x,t)&=(0,\ \pm E_0 \sin(\omega t-k x)\ ,0)\\
E(x,t)&=(0,\ \pm E_0 \sin(kx-\omega t)\ ,0)\\
\end{align*}\)
missä \(\pm\) on vapaasti valittavissa. Kun aaltoluku \(k>0\), etenee aalto +x suuntaan, ja \(k<0\) etenee -x suuntaan. Ryhmänopeus \(v_g=\frac{\omega}{k}\), missä etenemisen suunta näkyy etumerkkinä, joka riippuu k:n arvosta.
Tuon k:n etumerkin voi kyllä kääntää myös vaiheen lausekkeessa, jolloin ne ovat \(\omega t+k x\) ja \(-kx-\omega t\).
Mutta taidan perua sanojani metriikan signatuurista. Jos sitä kautta valitaan edellisistä E:n lausekkeista jompi kumpi, niin samalla vaihe siirtyy \(\pi\) verran. Ne eivät ole identtisiä, ellei sitten samalla vaihda edessä olevaa \(\pm\).
Tämä signatuuri on jäänyt mulla mieleen kvanttikentän aalloista, joissa mun mielestä signatuuri näkyy aaltojen eksponenttimuodossa. Hmm. No, täytyy miettiä.
Jatkan tästä vielä. Tuo metriikan signatuuri oli mun ajatuksissa tosiaan peräisin siitä, että kvantisointia varten aaltoratkaisu kirjoitetaan usein muodossa (tässä nyt ilman integraaleja, polarisaatiota ja muita kertoimia)
\(\begin{align*}
A^\mu(x) &= e^{-i\ k_\mu x^\mu}+e^{i\ k_\mu x^\mu}\\
&=e^{-i (\omega t -\mathbf{k}\cdot \mathbf{x})}+e^{i (\omega t -\mathbf{k}\cdot \mathbf{x})}\\
&=2 \cos (\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}-\omega t)\\
&=2 \cos (\omega t-\mathbf{k}\cdot \mathbf{x})
\end{align*}\)
missä \(k\) ja \(x\) ovat nelivektoreita, \(\mathbf{k}\) ja \(\mathbf{x}\) ovat 3-vektoreita, ja \(k_\mu x^\mu\) on Minkowski-sisätulo. Kahta viimeistä kosini-muotoa ei tietääkseni koskaan käytetä. Mutta tuossa muodossa aaltoratkaisu on signatuurista riippumatta sama.
Klassisen ED:ssä sähkökenttä voidaan kirjoittaa myös kompleksisena
\(\mathcal{E}(t,x) = E_0\ e^{i(kx - \omega t)}\)
missä \(E_0\) on kompleksinen amplitudi, johon voidaan upottaa myös aallon vaihe siten, että
\(E_0 = |E_0|\ e^{i\varphi}\)
missä \(\varphi\) on vaihekulma, ja \(|E_0|\) on reaalinen. Tästä sitten muodostetaan fysikaalinen ja reaalinen sähkökentän komponentti E siten, että poimitaan reaaliosa
\(\begin{align*}
\vec E(t,x) &= \text{Re}(\mathcal{E})\\
&= |E_0|\cos(kx-\omega t +\varphi)
\end{align*}\)
Tässä tuo \(\vec E(t,x)\) ei ole riippumaton signatuurista, sillä \(\cos (kx-\omega t +\varphi) \neq \cos (\omega t-kx +\varphi)\).
Lopulta signatuurin vaihtaminen ei haittaa, sillä aina voidaan valita koordinaatisto ja/tai vaihekulma \(\varphi\) siten, että aalto vastaa haluttua fysikaalista tilannetta. Mutta signatuurista riippumaton tuo klassinen ratkaisu ei ole.
Itse asiassa mua hiukan häiritsee se, että ei ole signatuurista riippumaton
. Ne etumerkit ehkä pyörivät oikein, jos himmelin rakentaa kovariantissa muodossa. Sähkömagneettisen tensorin \(F_{\mu\nu}\) etumerkit muttuvat signatuuria vaihdettaessa?
\(\begin{align*}
A^\mu(x) &= e^{-i\ k_\mu x^\mu}+e^{i\ k_\mu x^\mu}\\
&=e^{-i (\omega t -\mathbf{k}\cdot \mathbf{x})}+e^{i (\omega t -\mathbf{k}\cdot \mathbf{x})}\\
&=2 \cos (\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}-\omega t)\\
&=2 \cos (\omega t-\mathbf{k}\cdot \mathbf{x})
\end{align*}\)
missä \(k\) ja \(x\) ovat nelivektoreita, \(\mathbf{k}\) ja \(\mathbf{x}\) ovat 3-vektoreita, ja \(k_\mu x^\mu\) on Minkowski-sisätulo. Kahta viimeistä kosini-muotoa ei tietääkseni koskaan käytetä. Mutta tuossa muodossa aaltoratkaisu on signatuurista riippumatta sama.
Klassisen ED:ssä sähkökenttä voidaan kirjoittaa myös kompleksisena
\(\mathcal{E}(t,x) = E_0\ e^{i(kx - \omega t)}\)
missä \(E_0\) on kompleksinen amplitudi, johon voidaan upottaa myös aallon vaihe siten, että
\(E_0 = |E_0|\ e^{i\varphi}\)
missä \(\varphi\) on vaihekulma, ja \(|E_0|\) on reaalinen. Tästä sitten muodostetaan fysikaalinen ja reaalinen sähkökentän komponentti E siten, että poimitaan reaaliosa
\(\begin{align*}
\vec E(t,x) &= \text{Re}(\mathcal{E})\\
&= |E_0|\cos(kx-\omega t +\varphi)
\end{align*}\)
Tässä tuo \(\vec E(t,x)\) ei ole riippumaton signatuurista, sillä \(\cos (kx-\omega t +\varphi) \neq \cos (\omega t-kx +\varphi)\).
Lopulta signatuurin vaihtaminen ei haittaa, sillä aina voidaan valita koordinaatisto ja/tai vaihekulma \(\varphi\) siten, että aalto vastaa haluttua fysikaalista tilannetta. Mutta signatuurista riippumaton tuo klassinen ratkaisu ei ole.
Itse asiassa mua hiukan häiritsee se, että ei ole signatuurista riippumaton
. Ne etumerkit ehkä pyörivät oikein, jos himmelin rakentaa kovariantissa muodossa. Sähkömagneettisen tensorin \(F_{\mu\nu}\) etumerkit muttuvat signatuuria vaihdettaessa?