Jäi vaivaamaan sellainen asia kuin että mikä on kartta? Onko se epälineaarinen projektio kolmiulotteisesta avaruudesta kaksiulotteisella pinnalla vai lokaali diffeomorfismi referenssipinnalta tasolle vai \(P:U\subset S\longrightarrow V\subset\mathbb{R}^2,\qquad \det\bigl(dP_p\bigr)\neq 0 \ \ \forall\,p\in U\) vaiko jotain muuta? Kertokaa oi te viisaat mikä on kartta?
Abezethibou·daemon unimanus et unialis·abyssorum legatus·cuius nomen terram scindit. In tenebris lucet·in luce obscuratur. Per fractas alas suadet·per manum perditam ligat.
Per sigillum Beelzebub·Abezethibou inferorum·per sanguinem et ignem·responde mihi!
Per sigillum Beelzebub·Abezethibou inferorum·per sanguinem et ignem·responde mihi!
Kirjoitan pintapuolisesti miten kartta (chart) ymmärretään fysiikassa. Tähän voi liittyä matemaattisia yksityiskohtia, jotka jäävät sanomatta.
Kartalla tarkoitetaan yleensä koordinaattikarttaa, joka liittää topologisen d-moniston pisteisiin koordinaatit. Eräs tärkeä ominaisuus on se, että monisto (topologinen avaruus) on paikallisesti homeomorfinen avaruuden \(\mathbb R^d\) kanssa.
Esimerkki sileästä monistosta on pallo \(S^2\), joka on paikallisesti euklidinen pinta \(\mathbb R^2\).
Toinen esimerkki on aika-avaruus, jota voi merkitä parina \((M,g)\). Monisto \(M\) on metriikalla \(g\) varustettu pseudo-Riemannin monisto. Paikallisesti \(M\) on Minkowskin avaruus \(\mathbb R^{1+3}\).
Valitaan moniston osajoukko \(U \subset M\). Kartta määritellään parina \((U,x)\), joka muodostuu osajoukosta \(U\) ja karttakuvauksesta \(x\). Karttakuvauksen \(x: U \to x(U)\) tehtävänä on kuvata osajoukon \(U\) pisteet \(p \in U\) karttaan \((U,x)\) siten, että \(x(U) \subseteq \mathbb R^d\), missä kuvaus \(x\) on jatkuva ja kääntyvä (homeomorfismi). Sileiden monistojen tapauksessa \(x\) voi olla myös jatkuvasti differentoituva (diffeomorfismi). Yleisesti ottaen \(x\) voi olla epälineaarinen.
Karttakuvauksen \(x\) avulla pisteet \(p \in U\) kuvataan joukoksi reaalilukuja, joita on \(d\) kappaletta. Funktio \(x(p)\) määritellään siten, että
\(x(p)=\left(x^1(p), x^2(p),...,x^d(p)\right)\)
jonka voi nähdä myös \(d\)-ulotteisena vektorina. Tässä on siis \(d\) kappaletta kuvauksia \(x^i: U \to \mathbb R\). Yksittäisiä kuvauksia \(x^i\) kutsutaan nimellä koordinaattikuvaus, ja funktioita \(x^i(p)\) nimellä koordinaatti.
Esimerkiksi Schwartzschildin koordinaatit \((t,r,\theta,\phi)\) ovat erään aika-avaruuden \((M,g)\) osajoukon \(U \subset M\) kartta. Karttakuvaus \(x:U \to \mathbb R^{1+3}\) määritellään siten, että se kuvaa pisteet \(p \in U\) koordinaateiksi
\(p \mapsto x^\mu(p)=\left(t(p),r(p),\theta(p),\phi(p)\right)\)
Eräs yksityiskohta on se, että osajoukko \(U\) ei ole koko aika-avaruus \((M,g)\) vaan esimerkiksi vain osajoukko \(U = \{r > 2M\}\). Tämä siksi, että Schwartzschildin kartassa on koordinaatteihin liittyviä singulaareja pisteitä.
Kartta \((U,x)\) ei sellaisenaan sisällä metriikkaa \(g\), joka liitetään karttaan erikseen. Mutta en nyt tästä enempää vielä.
Kartalla tarkoitetaan yleensä koordinaattikarttaa, joka liittää topologisen d-moniston pisteisiin koordinaatit. Eräs tärkeä ominaisuus on se, että monisto (topologinen avaruus) on paikallisesti homeomorfinen avaruuden \(\mathbb R^d\) kanssa.
Esimerkki sileästä monistosta on pallo \(S^2\), joka on paikallisesti euklidinen pinta \(\mathbb R^2\).
Toinen esimerkki on aika-avaruus, jota voi merkitä parina \((M,g)\). Monisto \(M\) on metriikalla \(g\) varustettu pseudo-Riemannin monisto. Paikallisesti \(M\) on Minkowskin avaruus \(\mathbb R^{1+3}\).
Valitaan moniston osajoukko \(U \subset M\). Kartta määritellään parina \((U,x)\), joka muodostuu osajoukosta \(U\) ja karttakuvauksesta \(x\). Karttakuvauksen \(x: U \to x(U)\) tehtävänä on kuvata osajoukon \(U\) pisteet \(p \in U\) karttaan \((U,x)\) siten, että \(x(U) \subseteq \mathbb R^d\), missä kuvaus \(x\) on jatkuva ja kääntyvä (homeomorfismi). Sileiden monistojen tapauksessa \(x\) voi olla myös jatkuvasti differentoituva (diffeomorfismi). Yleisesti ottaen \(x\) voi olla epälineaarinen.
Karttakuvauksen \(x\) avulla pisteet \(p \in U\) kuvataan joukoksi reaalilukuja, joita on \(d\) kappaletta. Funktio \(x(p)\) määritellään siten, että
\(x(p)=\left(x^1(p), x^2(p),...,x^d(p)\right)\)
jonka voi nähdä myös \(d\)-ulotteisena vektorina. Tässä on siis \(d\) kappaletta kuvauksia \(x^i: U \to \mathbb R\). Yksittäisiä kuvauksia \(x^i\) kutsutaan nimellä koordinaattikuvaus, ja funktioita \(x^i(p)\) nimellä koordinaatti.
Esimerkiksi Schwartzschildin koordinaatit \((t,r,\theta,\phi)\) ovat erään aika-avaruuden \((M,g)\) osajoukon \(U \subset M\) kartta. Karttakuvaus \(x:U \to \mathbb R^{1+3}\) määritellään siten, että se kuvaa pisteet \(p \in U\) koordinaateiksi
\(p \mapsto x^\mu(p)=\left(t(p),r(p),\theta(p),\phi(p)\right)\)
Eräs yksityiskohta on se, että osajoukko \(U\) ei ole koko aika-avaruus \((M,g)\) vaan esimerkiksi vain osajoukko \(U = \{r > 2M\}\). Tämä siksi, että Schwartzschildin kartassa on koordinaatteihin liittyviä singulaareja pisteitä.
Kartta \((U,x)\) ei sellaisenaan sisällä metriikkaa \(g\), joka liitetään karttaan erikseen. Mutta en nyt tästä enempää vielä.
QS kirjoitti: ↑19.8.2025, 17:47 Kirjoitan pintapuolisesti miten kartta (chart) ymmärretään fysiikassa. Tähän voi liittyä matemaattisia yksityiskohtia, jotka jäävät sanomatta.
Kartalla tarkoitetaan yleensä koordinaattikarttaa, joka liittää topologisen d-moniston pisteisiin koordinaatit. Eräs tärkeä ominaisuus on se, että monisto (topologinen avaruus) on paikallisesti homeomorfinen avaruuden \(\mathbb R^d\) kanssa.
Esimerkki sileästä monistosta on pallo \(S^2\), joka on paikallisesti euklidinen pinta \(\mathbb R^2\).
Toinen esimerkki on aika-avaruus, jota voi merkitä parina \((M,g)\). Monisto \(M\) on metriikalla \(g\) varustettu pseudo-Riemannin monisto. Paikallisesti \(M\) on Minkowskin avaruus \(\mathbb R^{1+3}\).
Valitaan moniston osajoukko \(U \subset M\). Kartta määritellään parina \((U,x)\), joka muodostuu osajoukosta \(U\) ja karttakuvauksesta \(x\). Karttakuvauksen \(x: U \to x(U)\) tehtävänä on kuvata osajoukon \(U\) pisteet \(p \in U\) karttaan \((U,x)\) siten, että \(x(U) \subseteq \mathbb R^d\), missä kuvaus \(x\) on jatkuva ja kääntyvä (homeomorfismi). Sileiden monistojen tapauksessa \(x\) voi olla myös jatkuvasti differentoituva (diffeomorfismi). Yleisesti ottaen \(x\) voi olla epälineaarinen.
Karttakuvauksen \(x\) avulla pisteet \(p \in U\) kuvataan joukoksi reaalilukuja, joita on \(d\) kappaletta. Funktio \(x(p)\) määritellään siten, että
\(x(p)=\left(x^1(p), x^2(p),...,x^d(p)\right)\)
jonka voi nähdä myös \(d\)-ulotteisena vektorina. Tässä on siis \(d\) kappaletta kuvauksia \(x^i: U \to \mathbb R\). Yksittäisiä kuvauksia \(x^i\) kutsutaan nimellä koordinaattikuvaus, ja funktioita \(x^i(p)\) nimellä koordinaatti.
Esimerkiksi Schwartzschildin koordinaatit \((t,r,\theta,\phi)\) ovat erään aika-avaruuden \((M,g)\) osajoukon \(U \subset M\) kartta. Karttakuvaus \(x:U \to \mathbb R^{1+3}\) määritellään siten, että se kuvaa pisteet \(p \in U\) koordinaateiksi
\(p \mapsto x^\mu(p)=\left(t(p),r(p),\theta(p),\phi(p)\right)\)
Eräs yksityiskohta on se, että osajoukko \(U\) ei ole koko aika-avaruus \((M,g)\) vaan esimerkiksi vain osajoukko \(U = \{r > 2M\}\). Tämä siksi, että Schwartzschildin kartassa on koordinaatteihin liittyviä singulaareja pisteitä.
Kartta \((U,x)\) ei sellaisenaan sisällä metriikkaa \(g\), joka liitetään karttaan erikseen. Mutta en nyt tästä enempää vielä.
Pitäisikö sanoa x ei ole lineaarinen kuvaus vaan mikä tahansa jatkuva bijektio jolla on jatkuva käänteiskuvaus, sileässä tapauksessa diffeomorfismi? Yhdellä kartalla ei kateta koko monistoa niin pitäisikö puhua kartastosta? Mutta joo sun kartoilla ei kyllä suunnisteta Muoniosta Ivaloon eli meillä on ihan eri kartat. No se ehkä oli ketjun ajatuskin. Onneksi suunnistukseen riittää vähän helpommat jotka minäkin ymmärrän.
Abezethibou·daemon unimanus et unialis·abyssorum legatus·cuius nomen terram scindit. In tenebris lucet·in luce obscuratur. Per fractas alas suadet·per manum perditam ligat.
Per sigillum Beelzebub·Abezethibou inferorum·per sanguinem et ignem·responde mihi!
Per sigillum Beelzebub·Abezethibou inferorum·per sanguinem et ignem·responde mihi!
Juu. Sanoisin, että x on epälineaarinen lähes aina. Esim tavalliset pallokoordinaatit ovat epälineaarisia koordinaattifunktioita.
Jep, ensiksi mainittu on homeomorfismi, ja kun sileys toteutuu, niin diffeomorfismi. Ja nämä pätevät myös epälineaariselle kuvaukselle.Abezethibou kirjoitti: ↑19.8.2025, 18:18 vaan mikä tahansa jatkuva bijektio jolla on jatkuva käänteiskuvaus, sileässä tapauksessa diffeomorfismi?
Fysiikassa tähän liittyy kyllä paikallisen lineaarisuuden vaatimus, joka toteutuu sen kautta, että esim. aika-avaruus on paikallisesti Minkowski. Kun näin on, niin karttakuvauksella voidaan muodostaa aika-avaruuden monistoon lineaarinen tangenttiavaruus, joka on siis vektoriavaruus. Tuo tangenttiavaruus helpottaa fysiikan laskemista.
Joo, kartasto (atlas) tarvitaan usein, kun halutaan kattaa koko monisto. Kartaston karttojen yhdistäminen toisiinsa tapahtuu tietyillä ehdoilla, joita en nyt ulkoa muista.Abezethibou kirjoitti: ↑19.8.2025, 18:18 Yhdellä kartalla ei kateta koko monistoa niin pitäisikö puhua kartastosta?
Periaatteessa määritelmät pätevät myös suunnistuskarttoihin, mutta käytännön toteutus ei ole noin teoreettinenAbezethibou kirjoitti: ↑19.8.2025, 18:18 Mutta joo sun kartoilla ei kyllä suunnisteta Muoniosta Ivaloon eli meillä on ihan eri kartat. No se ehkä oli ketjun ajatuskin. Onneksi suunnistukseen riittää vähän helpommat jotka minäkin ymmärrän.
Esimerkiksi Lambertin oikeakulmainen kartioprojektio tehdään koordinaattifunktioilla kahdessa vaiheessa, ensin pallokoordinaateiksi ja sitten lisää koordinaattifunktioita, että saadaan tuo Lambertin projektio.
Kartta on projektio ilmiökokonaisuudesta. Sillä pyritään esittämään hyvässä järjestyksessä se mitä noista ilmiöistä tunnetaan - aina vajaasti ja rajoitetulla pätevyysalueella.
Analogiana voisi toimia teoria ja sen malli. Teoria sisältää periaatteellisia postulointeja (ilmiöt) ja malli on matematiikan kielellä kuvaus niistä (projektio). Samojen postulaattien puitteissa voidaan mallintaa useilla tavoilla (projektiot; näkökulmat, jopa tulkinnat joskus) ja eri mittakaavoissa.
Analogiana voisi toimia teoria ja sen malli. Teoria sisältää periaatteellisia postulointeja (ilmiöt) ja malli on matematiikan kielellä kuvaus niistä (projektio). Samojen postulaattien puitteissa voidaan mallintaa useilla tavoilla (projektiot; näkökulmat, jopa tulkinnat joskus) ja eri mittakaavoissa.
Hienorakennevakio vapausasteista: (1⁰+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹
Iltaa
Ihan pieni huomio tuosta hyvästä esityksestä. Jäin nimittäin aprikoimaan sitä, että voiko karttakuvaus \(x\) olla sileä (se voi) ja mitä sillä sileydellä tarkoitetaan. Ongelma oikeastaan on siinä kuinka paljon haluaa sisällyttää aloittajan kysymyksen vastaukseen abstraktin oloista monistoteoriaa.
Jos \(M\) ja \(N\) on monistoja, niin kuvauksen \(f:M\to N\) sileys määritellään monistoteoriassa aina kuvauksen \(f\) lokaalien koordinaattiesitysten avulla, siis käyttäen moniston \(M\) kartastoa ja moniston \(N\) kartastoa. Jos kuvauksen \(f\) koordinaattiesitykset ovat sileitä kaikilla kartoilla moniston \(M\) kartastosta ja moniston \(N\) kartastosta, määritellään kuvaus \(f\) sileäksi.
edit:
Tuossa kuvauksen sileyden määritelmässä täytyy olettaa, että monistot \(M\) ja \(N\) ovat sellaisia, että kaikki "lokaalit koordinaatistomuunnokset" sekä monistolla \(M\), että monistolla \(N\) ovat sileitä. Kuvauksen sileyden määräämiseen tarvitaan siis tietoa noiden koordinaattimuunnosten sileydestä.
edit päättyy
Monistoa voidaan aina pienentää (ja samalla kartastoa, heittämällä pois turhat kartat ja mahdollisesti pienetämällä muita), monistoiksi voidaan valita ne yhden karttakuvauksen määritelmässä esintyvät antamasi \(U\) ja \(x(U)\). Koordinaattikuvauksen \(x\) sileys voidaan nyt päätellä käyttämällä kuvauksen sileyden määritelmää kun \(M = U\) ja \(N =x(U)\). Joo, tämä menee kyllä aika raskaaksi näin menetellen.
Mitä tavallaan tuolla sileyshössötyksellä haen takaa, on se, että jos määritellään esimerkiksi kuvaus \(f\) Maapallon pinnalta \(S^2\) reaaliluvulle \(\mathbb{R}\) siten että \(f(p)= \theta\) = leveyspiiri, niin ei ole heti helppoa suoraa metodia, millä tuon kuvauksen toteaisi sileäksi ja tosiaankin se vaatii olettamuksia itse monistosta \(S^2\). Jos Maapallo \(S^2\) on upotettu avaruuteen \(\mathbb R^3\) tehtävä helpottuu huomattavasti.
Ole siis ymmärtävinäni aloittaja Abezin kysymyksestä sen, että kyse on tosiaankin konkreettisesta pintateoriasta jossa pinnan \(S\) avoin osajoukko \(U\) kuvataan tason \(\mathbb R^2\) avoimelle osajoukolle \(V\) ja pinta S itse on upotettu kolmiulotteiseen avaruuteen \(\mathbb R^3\).
Mä kirjoitan tuosta konkreettisen pintateorian versiosta myöhemmin.
QS kirjoitti: ↑19.8.2025, 17:47 Kirjoitan pintapuolisesti miten kartta (chart) ymmärretään fysiikassa. Tähän voi liittyä matemaattisia yksityiskohtia, jotka jäävät sanomatta.
Kartalla tarkoitetaan yleensä koordinaattikarttaa, joka liittää topologisen d-moniston pisteisiin koordinaatit. Eräs tärkeä ominaisuus on se, että monisto (topologinen avaruus) on paikallisesti homeomorfinen avaruuden \(\mathbb R^d\) kanssa.
Esimerkki sileästä monistosta on pallo \(S^2\), joka on paikallisesti euklidinen pinta \(\mathbb R^2\).
Toinen esimerkki on aika-avaruus, jota voi merkitä parina \((M,g)\). Monisto \(M\) on metriikalla \(g\) varustettu pseudo-Riemannin monisto. Paikallisesti \(M\) on Minkowskin avaruus \(\mathbb R^{1+3}\).
Valitaan moniston osajoukko \(U \subset M\). Kartta määritellään parina \((U,x)\), joka muodostuu osajoukosta \(U\) ja karttakuvauksesta \(x\). Karttakuvauksen \(x: U \to x(U)\) tehtävänä on kuvata osajoukon \(U\) pisteet \(p \in U\) karttaan \((U,x)\) siten, että \(x(U) \subseteq \mathbb R^d\), missä kuvaus \(x\) on jatkuva ja kääntyvä (homeomorfismi). Sileiden monistojen tapauksessa \(x\) voi olla myös jatkuvasti differentoituva (diffeomorfismi).
...
Jos \(M\) ja \(N\) on monistoja, niin kuvauksen \(f:M\to N\) sileys määritellään monistoteoriassa aina kuvauksen \(f\) lokaalien koordinaattiesitysten avulla, siis käyttäen moniston \(M\) kartastoa ja moniston \(N\) kartastoa. Jos kuvauksen \(f\) koordinaattiesitykset ovat sileitä kaikilla kartoilla moniston \(M\) kartastosta ja moniston \(N\) kartastosta, määritellään kuvaus \(f\) sileäksi.
edit:
Tuossa kuvauksen sileyden määritelmässä täytyy olettaa, että monistot \(M\) ja \(N\) ovat sellaisia, että kaikki "lokaalit koordinaatistomuunnokset" sekä monistolla \(M\), että monistolla \(N\) ovat sileitä. Kuvauksen sileyden määräämiseen tarvitaan siis tietoa noiden koordinaattimuunnosten sileydestä.
edit päättyy
Monistoa voidaan aina pienentää (ja samalla kartastoa, heittämällä pois turhat kartat ja mahdollisesti pienetämällä muita), monistoiksi voidaan valita ne yhden karttakuvauksen määritelmässä esintyvät antamasi \(U\) ja \(x(U)\). Koordinaattikuvauksen \(x\) sileys voidaan nyt päätellä käyttämällä kuvauksen sileyden määritelmää kun \(M = U\) ja \(N =x(U)\). Joo, tämä menee kyllä aika raskaaksi näin menetellen.
Mitä tavallaan tuolla sileyshössötyksellä haen takaa, on se, että jos määritellään esimerkiksi kuvaus \(f\) Maapallon pinnalta \(S^2\) reaaliluvulle \(\mathbb{R}\) siten että \(f(p)= \theta\) = leveyspiiri, niin ei ole heti helppoa suoraa metodia, millä tuon kuvauksen toteaisi sileäksi ja tosiaankin se vaatii olettamuksia itse monistosta \(S^2\). Jos Maapallo \(S^2\) on upotettu avaruuteen \(\mathbb R^3\) tehtävä helpottuu huomattavasti.
Ole siis ymmärtävinäni aloittaja Abezin kysymyksestä sen, että kyse on tosiaankin konkreettisesta pintateoriasta jossa pinnan \(S\) avoin osajoukko \(U\) kuvataan tason \(\mathbb R^2\) avoimelle osajoukolle \(V\) ja pinta S itse on upotettu kolmiulotteiseen avaruuteen \(\mathbb R^3\).
Mä kirjoitan tuosta konkreettisen pintateorian versiosta myöhemmin.
SI Resurrection!
Totta puhut edellisessä viestissäsi. Karttakuvauksen \(x:U \subseteq M \to \mathbb R^d\) sileyden lisäksi ongelmakoriin voi lisätä kysymyksen siitä, että miten todetaan moniston \(M\) käyrän \(\gamma: \mathbb R \to M\) sileys.Disputator kirjoitti: ↑20.8.2025, 19:46 Ihan pieni huomio tuosta hyvästä esityksestä. Jäin nimittäin aprikoimaan sitä, että voiko karttakuvaus \(x\) olla sileä (se voi) ja mitä sillä sileydellä tarkoitetaan. Ongelma oikeastaan on siinä kuinka paljon haluaa sisällyttää aloittajan kysymyksen vastaukseen abstraktin oloista monistoteoriaa.
Käyrän \(\gamma\) sileyden toteaminen onnistuu kyllä kartassa \((U,x)\), mutta tähän liittyy se, että \(\gamma\) kuvataan karttaan yhdistämällä kuvaukset \(\gamma\) ja \(x\) siten, että \((x \circ \gamma): \mathbb R \to \mathbb R^d\). Tuon kuvauksen \(x \circ \gamma\) sileyttä ei ole ihan helppo todeta, eikä varsinkaan yhdistetyn kuvauksen avulla \(\gamma\):n sileyttä.
Ja sitten vielä se, että onko \(\gamma\) aina sileä myös kahdessa eri kartassa \((U,x)\) ja \((V,y)\), missä \(U\) ja \(V\) ovat moniston osajoukot (joiden leikkaus on tyhjä joukko tai sitten ei, hmm). Karttakuvausten \(x\) ja \(y\) perusvaatimus on jatkuvuus ja kääntyvyys, joten sileys on oma tarinansa, kuten sanoitkin. Ja sitten tuo upottaminen on myös eleganssikysymys fysiikan kannalta. Esimerkiksi aika-avaruusmonistoa M ei ole kovin eleganttia upottaa korkeampiulotteiseen avaruuteen, vaan rakenteet pitäisi muodostaa vain moniston itsensä ominaisuuksista.
Fysiikassa on usein vaatimus sileydelle. Käyrän \(\gamma\) sileys tarkoittaa tässä sitä, että sen on oltava sileä "tuolla jossain luonnossa", ei vain kartassa. Pitää siis olla varma, että kartassa (tai jotenkin muuten) todettu sileys tarkoittaa myös sileyttä monistossa M.
En nyt vastannut mihinkään, vaan pohdin vain ongelmakohtia ääneen.
==
edit: ihan hassu esimerkki, joka liittyy edelliseen. Schwartzschildin ratkaisu, joka kuvaa tuttua aika-avaruutta helpossa symmetrisessä tilanteessa. Kuten hyvin tiedetään, esitetään ulko- ja sisäratkaisu kahdessa eri kartassa. Kartat ovat päteviä sellaisenaan. Mutta kun testikappale pudotetaan horisontin läpi, niin eri karttojen (tai jonkun muun kartan) avulla pitäisi pystyä osoittamaan, että kappale etenee sileää ja fysikaalisesti uskottavaa käyrää horisontin läpi, vaikka kartat menevät rikki horisontin kohdalla. Heh.
Kartta palloprojekteineen ( eli esityksineen mitä ne ovatkaan ) on käyty niin hyvin keskiajalla jo läpi ettei minulla ole mitään lisättävää tai pois tettavaa palloprojektinkaan nykyisestä esittämistavasta tehdäkseni siitä parempaa.
Ainahan voi olla että ns. tyhjän tilan ( joka ei koskaan ole täysin tyhjä esittämistyylihän voi muuttua parempien tupsahtaessa pöydälle ja joihon moni tutkija käy kiinni, ellei jopa kirjoita kirjaa, että nykyisen "kaikkeuden malli" alkoi kiinnostaa häntä vasta mahdollisuutena, kun hän uskalsi luopua aikaisemmista teorioista ja näin saada nimensä historiaan.
Mutta onko siitä hyötyä jos esittämistapa on ja kaikki ovat entisiä / entinen ?
Veikkaan että siinä vaiheessa kun antenneja taas rakennetaan ( jos rakennetaan ) olemme jäljessä ja vain rohkeuden puutteen takia eli sen takia ettei haluta "höpsön tutkijan mainetta".
Itse en välittäisi noista jutuista vaan jos joku tuntuu oikealta niin se tuntuu ja sen eteen tehtäisiin myös työtä.
Tampereen kylmälabra oli jännittävä ympäristö varsinkin 90-luvulla, en tiedä onko siellä ollut käynnisssä yhtään suprajohtavaa painovoimamittausta sen jälkeen vai oliko 90-lukulaiset mittaustulokset ainoaksi jääneitä tai pitäisikö kysyä ainoita kiinnostuksen kohteita, joita on koskaan ollutkaan ?
Ja sekin kuulemma vahingossa.
Ainahan voi olla että ns. tyhjän tilan ( joka ei koskaan ole täysin tyhjä esittämistyylihän voi muuttua parempien tupsahtaessa pöydälle ja joihon moni tutkija käy kiinni, ellei jopa kirjoita kirjaa, että nykyisen "kaikkeuden malli" alkoi kiinnostaa häntä vasta mahdollisuutena, kun hän uskalsi luopua aikaisemmista teorioista ja näin saada nimensä historiaan.
Mutta onko siitä hyötyä jos esittämistapa on ja kaikki ovat entisiä / entinen ?
Veikkaan että siinä vaiheessa kun antenneja taas rakennetaan ( jos rakennetaan ) olemme jäljessä ja vain rohkeuden puutteen takia eli sen takia ettei haluta "höpsön tutkijan mainetta".
Itse en välittäisi noista jutuista vaan jos joku tuntuu oikealta niin se tuntuu ja sen eteen tehtäisiin myös työtä.
Tampereen kylmälabra oli jännittävä ympäristö varsinkin 90-luvulla, en tiedä onko siellä ollut käynnisssä yhtään suprajohtavaa painovoimamittausta sen jälkeen vai oliko 90-lukulaiset mittaustulokset ainoaksi jääneitä tai pitäisikö kysyä ainoita kiinnostuksen kohteita, joita on koskaan ollutkaan ?
Ja sekin kuulemma vahingossa.
Iltapäivää! Lainaan tästä sun ylläolevasta viestistäsi muutaman kohdan, niin mun ei tarvitse kirjoittaa niin paljon.
Kun katselin noita 2d-pintateorian esityksiä, niin monesti käytetään sun karttakuvauksen \(x\) käänteisfunktiota. Merkitään \(V=x(U)\subset \mathbb R^2\). Mä käytän nyt avaruuden \(\mathbb R^3\) koordinaatteina tuttuja \(x,y,z\) ja merkitsen pintaa S, joka on upotettu avaruuteen \(\mathbb R^3\) kuvauksella
\(X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\),
missä \((u,v)\in\mathbb R^2\) ovat pinnan \(S\) lokaaleja koordinaatteja. Kuvaus \(X\) oletetaan olevan homeomorfismi pinnalle \(S\) (tässä voi toki olla, että kuvaus \(X\) ei kata koko pintaa, mutta oletan tässä nyt niin käyvän)
Kuvauksen \(X\) oletetaan olevan säännöllinen, joka tarkoittaa että avaruuden \(\mathbb R^3\) osittaisderivoimalla muodostetut vektorit:
\(X_u(u,v)=(x_u(u,v),y_u(u,v),z_u(u,v))\)
\(X_v(u,v)=(x_v(u,v),y_v(u,v),z_v(u,v))\)
ovat lineaarisesti riippumattomia. Tämä merkitsee sitä että derivaattakuvaus \(dX_{(u,v)}\) pisteen \((u,v)\) tangenttiavaruudelta pinnan \(S\) tangenttiavaruudelle on lineaarinen bijektio. Siis aloittajan hahmottelema deteminanttiehto olisi tässä \(det(dX_{(u,v)})\neq 0\) tai oikeastaan paremminkin kuvauksen \(dX_{(u,v)}\) käänteiskuvauksen \((dX_{(u,v)})^{-1}\) determinattiehto on aloittajan mukainen, kumpikin vastaa siis vaatimusta pinnan säännöllisyydestä.
Monesti tuo säännöllisyysehto esitetään ristitulon avulla muodossa \(X_u(u,v)\times X_v(u,v)\neq 0 \).
Tämä oli nyt vähän suppea, mutta noin tuo klassinen pintateoria monesti esitetään. Nuo voidaan myös yleistää siten että tarkastellaan k-ulotteista k-pintaa \(S\) upotettuna avaruuteen \(\mathbb R^n\)
QS kirjoitti: ↑19.8.2025, 17:47 Kirjoitan pintapuolisesti miten kartta (chart) ymmärretään fysiikassa. Tähän voi liittyä matemaattisia yksityiskohtia, jotka jäävät sanomatta.
Kartalla tarkoitetaan yleensä koordinaattikarttaa, joka liittää topologisen d-moniston pisteisiin koordinaatit. Eräs tärkeä ominaisuus on se, että monisto (topologinen avaruus) on paikallisesti homeomorfinen avaruuden \(\mathbb R^d\) kanssa.
...
Valitaan moniston osajoukko \(U \subset M\). Kartta määritellään parina \((U,x)\), joka muodostuu osajoukosta \(U\) ja karttakuvauksesta \(x\). Karttakuvauksen \(x: U \to x(U)\) tehtävänä on kuvata osajoukon \(U\) pisteet \(p \in U\) karttaan \((U,x)\) siten, että \(x(U) \subseteq \mathbb R^d\), missä kuvaus \(x\) on jatkuva ja kääntyvä (homeomorfismi). Sileiden monistojen tapauksessa \(x\) voi olla myös jatkuvasti differentoituva (diffeomorfismi). Yleisesti ottaen \(x\) voi olla epälineaarinen.
Karttakuvauksen \(x\) avulla pisteet \(p \in U\) kuvataan joukoksi reaalilukuja, joita on \(d\) kappaletta. Funktio \(x(p)\) määritellään siten, että
Yritän tässä lyhyesti tulkita aloittajan viestiä ja käytän sun notaatioita hyväkseni.
Kun katselin noita 2d-pintateorian esityksiä, niin monesti käytetään sun karttakuvauksen käänteisfunktiota.
\(x(p)=\left(x^1(p), x^2(p),...,x^d(p)\right)\)
jonka voi nähdä myös \(d\)-ulotteisena vektorina. Tässä on siis \(d\) kappaletta kuvauksia \(x^i: U \to \mathbb R\). Yksittäisiä kuvauksia \(x^i\) kutsutaan nimellä koordinaattikuvaus, ja funktioita \(x^i(p)\) nimellä koordinaatti.
...
\(X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\),
missä \((u,v)\in\mathbb R^2\) ovat pinnan \(S\) lokaaleja koordinaatteja. Kuvaus \(X\) oletetaan olevan homeomorfismi pinnalle \(S\) (tässä voi toki olla, että kuvaus \(X\) ei kata koko pintaa, mutta oletan tässä nyt niin käyvän)
Kuvauksen \(X\) oletetaan olevan säännöllinen, joka tarkoittaa että avaruuden \(\mathbb R^3\) osittaisderivoimalla muodostetut vektorit:
\(X_u(u,v)=(x_u(u,v),y_u(u,v),z_u(u,v))\)
\(X_v(u,v)=(x_v(u,v),y_v(u,v),z_v(u,v))\)
ovat lineaarisesti riippumattomia. Tämä merkitsee sitä että derivaattakuvaus \(dX_{(u,v)}\) pisteen \((u,v)\) tangenttiavaruudelta pinnan \(S\) tangenttiavaruudelle on lineaarinen bijektio. Siis aloittajan hahmottelema deteminanttiehto olisi tässä \(det(dX_{(u,v)})\neq 0\) tai oikeastaan paremminkin kuvauksen \(dX_{(u,v)}\) käänteiskuvauksen \((dX_{(u,v)})^{-1}\) determinattiehto on aloittajan mukainen, kumpikin vastaa siis vaatimusta pinnan säännöllisyydestä.
Monesti tuo säännöllisyysehto esitetään ristitulon avulla muodossa \(X_u(u,v)\times X_v(u,v)\neq 0 \).
Tämä oli nyt vähän suppea, mutta noin tuo klassinen pintateoria monesti esitetään. Nuo voidaan myös yleistää siten että tarkastellaan k-ulotteista k-pintaa \(S\) upotettuna avaruuteen \(\mathbb R^n\)
SI Resurrection!
En tiedä liittyykö tämä mitenkään tämän otsikon alle, mutta kerron kumminkin.
Ilmavalvontatutkan suuntauksessa tuli aikoinaan erimielisyys tutkan käyttöhenkilön kanssa.
Hän piti selviönä, että pohjoissuunta suunnataan pohjoisnavan suuntaan.
En millään saanut kaveria käsittämään, ettei sitä sinne suunnata vaan, valvontaruutukartan "pohjoiseen".
Napapohjoinen ja ruutukartan pohjoinen ovat samansuuntaiset vain yhdellä linjalla keskellä Suomea.
Jos tutkat suunnattaisi napapohjoiseen, sama maali eri tutkilla näkyisi kartalle eri kohdassa.
Minulla ei ole mitään käsitystä miten tuo projektiokartta lasketaan, että onko sen laskeminen noin monimutkaista, mitä tässä ketjussa on keskusteltu?
Ilmavalvontatutkan suuntauksessa tuli aikoinaan erimielisyys tutkan käyttöhenkilön kanssa.
Hän piti selviönä, että pohjoissuunta suunnataan pohjoisnavan suuntaan.
En millään saanut kaveria käsittämään, ettei sitä sinne suunnata vaan, valvontaruutukartan "pohjoiseen".
Napapohjoinen ja ruutukartan pohjoinen ovat samansuuntaiset vain yhdellä linjalla keskellä Suomea.
Jos tutkat suunnattaisi napapohjoiseen, sama maali eri tutkilla näkyisi kartalle eri kohdassa.
Minulla ei ole mitään käsitystä miten tuo projektiokartta lasketaan, että onko sen laskeminen noin monimutkaista, mitä tässä ketjussa on keskusteltu?