Kruunuja ja klaavoja perätysten

[Keckman]

Monta kolikon heittoa keskimäärin tarvitaan, että saadaan x kpl joko kruunaa tai klaavaa peräkkäin? En osaa äkkiseltään laskea, mutta tein tilastollisen tutkimuksen:

Koodi: Valitse kaikki

program kruunaklaava;
uses math;

VAR 
  heittoja, perakkaisia: Int64;  { isoiksi kasvavat laskurit }
  sum: Real;
  i, tutkimuksia, tulos, uusi, k: Integer;  { for-silmukat ja Random }

BEGIN
  Randomize;
  tutkimuksia := 10000; { montako kokeilua per peräkkäin-määrä }
  
  for k := 1 to 20 do
  begin
    sum := 0.0;
    for i := 1 to tutkimuksia do
    begin
      heittoja := 0;
      perakkaisia := 0;
      tulos := -1; { alustetaan mahdottomaksi arvoksi }
      
      repeat
        uusi := Random(2); { 0 tai 1 }
        heittoja := heittoja + 1;
        if uusi = tulos then
          perakkaisia := perakkaisia + 1
        else
        begin
          tulos := uusi;
          perakkaisia := 1;
        end;
      until perakkaisia = k;
      
      sum := sum + heittoja;
    end;
    
    writeln('Peräkkäin ', k:3, ' keskimäärin ', sum / tutkimuksia:8:2);
  end;
END.

Ohjelma tulosti:

Perõkkõin   1 keskimõõrin     1.00
Perõkkõin   2 keskimõõrin     2.99
Perõkkõin   3 keskimõõrin     7.02
Perõkkõin   4 keskimõõrin    14.78
Perõkkõin   5 keskimõõrin    31.44
Perõkkõin   6 keskimõõrin    62.77
Perõkkõin   7 keskimõõrin   125.99
Perõkkõin   8 keskimõõrin   257.47
Perõkkõin   9 keskimõõrin   516.74
Perõkkõin  10 keskimõõrin  1023.67
Perõkkõin  11 keskimõõrin  2056.50
Perõkkõin  12 keskimõõrin  4101.90
Perõkkõin  13 keskimõõrin  8175.58
Perõkkõin  14 keskimõõrin 16348.24
Perõkkõin  15 keskimõõrin 33101.36
Perõkkõin  16 keskimõõrin 64829.32
Perõkkõin  17 keskimõõrin 131378.67
Perõkkõin  18 keskimõõrin 263681.88
Perõkkõin  19 keskimõõrin 522652.52
Perõkkõin  20 keskimõõrin 1036977.22

Tilastollisen kokeellisen tutkimuksen jälkeen kaava näyttää olevan: 2^k-1?

[Disputator]

Iltapäivää!

Mielenkiintoinen tehtävä ja se löytyy kyllä netistä hakemalla. Sun tulos on käsittääkseni lähellä oikeaa. Vaaditaan \(k\) kpl peräkkäistä kruunaa (esimerkiksi). Heittosarjan pituus X on satunnaismuuttuja ja satunnaismuuttujan X odotusarvo \(E(X)\) on:

\(E(X)= 2^{k+1}-2\)

\(\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{k} & \text{E(X)} \\[4pt]
\hline
1 & 2\\[4pt]
2 & 6\\[4pt]
3 & 14\\[4pt]
4 & 30\\[4pt]
5 & 62\\[4pt]
\hline
\end{array}\)

Tämän perusteluun täytyy palata myöhemmin. Perustelussa on omat kommervenkkinsä.