QSTämä kuulostikin tutulta, kun olin hiljattain selannut aiemmin mainittua kirjaa Group Theory in Physics, Wu-Ki Tung. Kirja määrittelee Lie-algebran kannan \(L(\mathbf{n})\), jolla muodostetaan yksikkövektorin \(\mathbf{n}\) ympäri rotaatiomatriisi
\(\hat{R}(\mathbf{n},\theta)=e^{\theta\ L(\mathbf{n})}\)
Kanta \(L(\mathbf{n})\) muuntuu annetulla rotaatiolla \(R\) ja yksikkövektorilla \(\mathbf{n}\) siten, että \(\mathbf{n'}=R\mathbf{n}\).
$$
R(n',\psi)= R\:R(n,\psi)R^{-1}
$$
Matemaattisesti ne ovat samanarvoisia eli tässä on taas kerran tämä passiivinen vs. passiivinen problematiikka läsnä, siis tässä tapauksessa:
Dis:
Tarkastellaan yhtä fixattua rotaatiota \(R(\mathbf{n},\phi)\) eri avaruuden \(\mathbf{R}^3\) kannoissa.
Tung:
Tarkastellaan avaruuden \(\mathbf{R}^3\) fixatussa kannassa rotaation \(R(\mathbf{n},\phi)\) muunnosta uudeksi rotaatioksi \(R(\mathbf{n'},\phi)\) akselin n'= Rn suhteen saman kulman verran.
Tuossa voi mennä termit sekaisin, sillä mulla rotaatio tarkoittaa kannasta riippumatonta transformaatiota ja sitten valitulla \(\mathbf{R}^3\):n kannalla saadaan rotaation matriisiesitys tai rotaatiomatriisi tai vai rotaatio, ihan miten sattuu. Tung käyttää mielestäni sanaa rotaatio kaavassa 7.1-9 tarkoittaen rotaatiomatriisia ja sitten vain rotaatiota tarkoittaen.
Jotta homma menisi ihan hämäräksi, niin tuo kaava 7.1-9 voidaan mielestäni myös ymmärtää ilman matriiseja ja kantoja transformaatiokaavaksi kahden eri abstraktin rotaation välillä, jotka ovat kumpikin aktiivisia avaruuden vektoreiden muunnoksia ja silloin matriisi R on korvattava abstraktilla kannasta riippumattomalla rotaatiolla \(\hat{R}\).
= matemaattinen fasisti. Tarkkailee ympäristöään valppaasti.