Todennäköisyyslaskennan tehtäviä

Disputator · 11.1.2024, 21:12

Tähän voi kirjoitella erilaisia todennäköisyyslaskennan tehtäviä ja esittää ratkaisuita.

Neljä tehtävää:

1. On laskettava todennäköisyys sille että kahden nopan heitossa noppien summa on 9.

2. On laskettava todennäköisyys sille että kolmen nopan heitossa noppien summa on 9.

3. On laskettava todennäköisyys sille että neljän nopan heitossa noppien summa on 9.

4. On laskettava todennäköisyys sille että viiiden nopan heitossa noppien summa on 9.

Harrastelija · 12.1.2024, 07:31

Huvikseen ilmoitan kokeellisella simuloinnilla algoritmilla saadut likiarvot. Kritisoitiin kun olen ohjelmoinnut Pascalilla, joten ohjelmoin nyt sitten Javascriptillä.

Koodi: Valitse kaikki

<html>
<body>
<script>
function heitaNoppaa(n) {
    let mahdollisetTulokset = 0;
    let tavoiteSumma = 9;

    function heitaYksiNoppa() {
        return Math.floor(Math.random() * 6) + 1;
    }

    function laskeNoppienSumma() {
        let summa = 0;
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            summa += heitaYksiNoppa();
        }
        return summa;
    }

    const kokeilujenMaara = 10000000; // 10 miljoonaa. Voit säätää tätä tarvittaessa

    for (let i = 0; i < kokeilujenMaara; i++) {
        if (laskeNoppienSumma() === tavoiteSumma) {
            mahdollisetTulokset++;
        }
    }

    const todennakoisyys = mahdollisetTulokset / kokeilujenMaara;
    console.log(`Todennäköisyys, että ${n} nopan heitossa summa on ${tavoiteSumma}: ${todennakoisyys}`);
}
// Kokeile eri arvoilla n
heitaNoppaa(2);
heitaNoppaa(3);
heitaNoppaa(4);
heitaNoppaa(5);
</script>
</body>
</html>

Ohjelman tulostus:

Todennäköisyys, että 2 nopan heitossa summa on 9: 0.1111356
Todennäköisyys, että 3 nopan heitossa summa on 9: 0.1155769
Todennäköisyys, että 4 nopan heitossa summa on 9: 0.0432631
Todennäköisyys, että 5 nopan heitossa summa on 9: 0.009035

Disputator · 16.1.2024, 15:15

Harrastelija kirjoitti: ↑12.1.2024, 07:31 Huvikseen ilmoitan kokeellisella simuloinnilla algoritmilla saadut likiarvot. Kritisoitiin kun olen ohjelmoinnut Pascalilla, joten ohjelmoin nyt sitten Javascriptillä.
Koodi: Valitse kaikki
<html>
<body>
<script>
function heitaNoppaa(n) {
    let mahdollisetTulokset = 0;
    let tavoiteSumma = 9;

    function heitaYksiNoppa() {
        return Math.floor(Math.random() * 6) + 1;
    }

    function laskeNoppienSumma() {
        let summa = 0;
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            summa += heitaYksiNoppa();
        }
        return summa;
    }

    const kokeilujenMaara = 10000000; // 10 miljoonaa. Voit säätää tätä tarvittaessa

    for (let i = 0; i < kokeilujenMaara; i++) {
        if (laskeNoppienSumma() === tavoiteSumma) {
            mahdollisetTulokset++;
        }
    }

    const todennakoisyys = mahdollisetTulokset / kokeilujenMaara;
    console.log(`Todennäköisyys, että ${n} nopan heitossa summa on ${tavoiteSumma}: ${todennakoisyys}`);
}
// Kokeile eri arvoilla n
heitaNoppaa(2);
heitaNoppaa(3);
heitaNoppaa(4);
heitaNoppaa(5);
</script>
</body>
</html>
Ohjelman tulostus:

Todennäköisyys, että 2 nopan heitossa summa on 9: 0.1111356
Todennäköisyys, että 3 nopan heitossa summa on 9: 0.1155769
Todennäköisyys, että 4 nopan heitossa summa on 9: 0.0432631
Todennäköisyys, että 5 nopan heitossa summa on 9: 0.009035

Well done! Hyvin laskettu!

Laskit hyvin nopeasti oikeat todennäköisyydet. Ainakin simulointi on hallussa.

Muistin tämän tehtävän jossain muodossa ja muistin että minulla on jossain laskettuna ne vastaavan tehtävän tulokset. En sitten löytänytkään niitä, joten meni aikaa, kunnes löysin yhdestä kirjastani yleisen teorian tuollaisiin kysymyksiin.

Oikeat vastaukset (toivottavasti )ovat:

Todennäköisyys, että 2 nopan heitossa summa on 9: 1/9
Todennäköisyys, että 3 nopan heitossa summa on 9: 25/216
Todennäköisyys, että 4 nopan heitossa summa on 9: 7/162
Todennäköisyys, että 5 nopan heitossa summa on 9: 35/3888

Kun näitä vertaa sun numeerisiin tuloksiin on tulokset hyvin lähellä toisiaan.

En saanut tuota JS koodia toimimaan sellaisenaan, mutta oikealta se vaikuttaa idealtaan. Olen nyt kirjoittamassa koodia, joka laskee saman ja kirjoittaa sen "hienosti" HTML:n sekaan tyyleineen Siis, yhtenä positiivisena tuloksena minulle koodistasi on se, että olen nyt kertaillut Javascriptin HTML:n ja CSS:n keskinäistä "vuorovaikutusta"

Eusa · 17.1.2024, 13:53

Disputator kirjoitti: ↑16.1.2024, 15:15
Harrastelija kirjoitti: ↑12.1.2024, 07:31 Huvikseen ilmoitan kokeellisella simuloinnilla algoritmilla saadut likiarvot. Kritisoitiin kun olen ohjelmoinnut Pascalilla, joten ohjelmoin nyt sitten Javascriptillä.
Koodi: Valitse kaikki
<html>
<body>
<script>
function heitaNoppaa(n) {
    let mahdollisetTulokset = 0;
    let tavoiteSumma = 9;

    function heitaYksiNoppa() {
        return Math.floor(Math.random() * 6) + 1;
    }

    function laskeNoppienSumma() {
        let summa = 0;
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            summa += heitaYksiNoppa();
        }
        return summa;
    }

    const kokeilujenMaara = 10000000; // 10 miljoonaa. Voit säätää tätä tarvittaessa

    for (let i = 0; i < kokeilujenMaara; i++) {
        if (laskeNoppienSumma() === tavoiteSumma) {
            mahdollisetTulokset++;
        }
    }

    const todennakoisyys = mahdollisetTulokset / kokeilujenMaara;
    console.log(`Todennäköisyys, että ${n} nopan heitossa summa on ${tavoiteSumma}: ${todennakoisyys}`);
}
// Kokeile eri arvoilla n
heitaNoppaa(2);
heitaNoppaa(3);
heitaNoppaa(4);
heitaNoppaa(5);
</script>
</body>
</html>
Ohjelman tulostus:

Todennäköisyys, että 2 nopan heitossa summa on 9: 0.1111356
Todennäköisyys, että 3 nopan heitossa summa on 9: 0.1155769
Todennäköisyys, että 4 nopan heitossa summa on 9: 0.0432631
Todennäköisyys, että 5 nopan heitossa summa on 9: 0.009035
Well done! Hyvin laskettu!

Laskit hyvin nopeasti oikeat todennäköisyydet. Ainakin simulointi on hallussa.

Muistin tämän tehtävän jossain muodossa ja muistin että minulla on jossain laskettuna ne vastaavan tehtävän tulokset. En sitten löytänytkään niitä, joten meni aikaa, kunnes löysin yhdestä kirjastani yleisen teorian tuollaisiin kysymyksiin.

Oikeat vastaukset (toivottavasti )ovat:

Todennäköisyys, että 2 nopan heitossa summa on 9: 1/9
Todennäköisyys, että 3 nopan heitossa summa on 9: 25/216
Todennäköisyys, että 4 nopan heitossa summa on 9: 7/162
Todennäköisyys, että 5 nopan heitossa summa on 9: 35/3888

Kun näitä vertaa sun numeerisiin tuloksiin on tulokset hyvin lähellä toisiaan.

En saanut tuota JS koodia toimimaan sellaisenaan, mutta oikealta se vaikuttaa idealtaan. Olen nyt kirjoittamassa koodia, joka laskee saman ja kirjoittaa sen "hienosti" HTML:n sekaan tyyleineen Siis, yhtenä positiivisena tuloksena minulle koodistasi on se, että olen nyt kertaillut Javascriptin HTML:n ja CSS:n keskinäistä "vuorovaikutusta"

Viimeisestä skenaariosta sain päässä laskien (5+20+30+10+5)/(6^5), joten lienee oikein.

PremiumZero · 26.11.2025, 21:46

Disputator kirjoitti: ↑11.1.2024, 21:12 4. On laskettava todennäköisyys sille että viiiden nopan heitossa noppien summa on 9.

Esimerkiksi tämän laskisin seuraavasti:

Laskisin laskimella (esim. ilmainen geogebra CAS)
(x^0+x^1+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^5
ja katsoisin tuloksesta x^9-termin kertoimen. Jos se on a, niin vastaus on a/(6^5).

Disputator · 28.11.2025, 18:13

Iltaa

PremiumZero kirjoitti: ↑26.11.2025, 21:46
Disputator kirjoitti: ↑11.1.2024, 21:12 4. On laskettava todennäköisyys sille että viiiden nopan heitossa noppien summa on 9.
Esimerkiksi tämän laskisin seuraavasti:

Laskisin laskimella (esim. ilmainen geogebra CAS)
(x^0+x^1+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^5
ja katsoisin tuloksesta x^9-termin kertoimen. Jos se on a, niin vastaus on a/(6^5).

Kyllä, tämä on luultavasti näppärin tapa ratkaista tehtävä.

Jokaiselle satunnaismuuttujalle $Y$ voidaan määritellä odotusarvo $E(Y)$, kun satunnaismuuttujan käsite on oikein määritelty todennäköisyyslaskennan teorian mukaisesti.

Todennäköisyyslaskussa on todennäköisyysgeneroivan (tngf) funktion määritelmä $G_X (t)= E(t^X)$, jolla lasketaan satunnaismuuttujan $ t^X$ odotusarvo, kun $X$ on annettu satunnaismuuttuja.

Fundamentaali tulos on se, että riippumattomien satunnaismuuttujien $X_1, X_2, \cdots ,X_n$ summan $X= X_1+X_2+\cdots +X_n$ todennäköisyysgeneroiva funktio $G_X (t)$ saadaan tulona:

$G_X(t)=G_{X_1}(t)\cdot G_{X_2}(t) \cdots G_{X_n}(t)$.

Eli lasket tuossa yllä käytännössä juuri tuon todennäköisyysgeneroivien funktioiden tulon ja päättelet että tulos on summan todennäköisyysgeneroiva funktio, josta saa oikean tuloksen. Laitan yksityiskohtia mahdollisesti näkyviin lähipäivinä.

Tauko · 28.11.2025, 22:37

Eusa kirjoitti: ↑17.1.2024, 13:53
Disputator kirjoitti: ↑16.1.2024, 15:15
Harrastelija kirjoitti: ↑12.1.2024, 07:31 Huvikseen ilmoitan kokeellisella simuloinnilla algoritmilla saadut likiarvot. Kritisoitiin kun olen ohjelmoinnut Pascalilla, joten ohjelmoin nyt sitten Javascriptillä.
Koodi: Valitse kaikki
<html>
<body>
<script>
function heitaNoppaa(n) {
    let mahdollisetTulokset = 0;
    let tavoiteSumma = 9;

    function heitaYksiNoppa() {
        return Math.floor(Math.random() * 6) + 1;
    }

    function laskeNoppienSumma() {
        let summa = 0;
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            summa += heitaYksiNoppa();
        }
        return summa;
    }

    const kokeilujenMaara = 10000000; // 10 miljoonaa. Voit säätää tätä tarvittaessa

    for (let i = 0; i < kokeilujenMaara; i++) {
        if (laskeNoppienSumma() === tavoiteSumma) {
            mahdollisetTulokset++;
        }
    }

    const todennakoisyys = mahdollisetTulokset / kokeilujenMaara;
    console.log(`Todennäköisyys, että ${n} nopan heitossa summa on ${tavoiteSumma}: ${todennakoisyys}`);
}
// Kokeile eri arvoilla n
heitaNoppaa(2);
heitaNoppaa(3);
heitaNoppaa(4);
heitaNoppaa(5);
</script>
</body>
</html>
Ohjelman tulostus:

Todennäköisyys, että 2 nopan heitossa summa on 9: 0.1111356
Todennäköisyys, että 3 nopan heitossa summa on 9: 0.1155769
Todennäköisyys, että 4 nopan heitossa summa on 9: 0.0432631
Todennäköisyys, että 5 nopan heitossa summa on 9: 0.009035
Well done! Hyvin laskettu!

Laskit hyvin nopeasti oikeat todennäköisyydet. Ainakin simulointi on hallussa.

Muistin tämän tehtävän jossain muodossa ja muistin että minulla on jossain laskettuna ne vastaavan tehtävän tulokset. En sitten löytänytkään niitä, joten meni aikaa, kunnes löysin yhdestä kirjastani yleisen teorian tuollaisiin kysymyksiin.

Oikeat vastaukset (toivottavasti )ovat:

Todennäköisyys, että 2 nopan heitossa summa on 9: 1/9
Todennäköisyys, että 3 nopan heitossa summa on 9: 25/216
Todennäköisyys, että 4 nopan heitossa summa on 9: 7/162
Todennäköisyys, että 5 nopan heitossa summa on 9: 35/3888

Kun näitä vertaa sun numeerisiin tuloksiin on tulokset hyvin lähellä toisiaan.

En saanut tuota JS koodia toimimaan sellaisenaan, mutta oikealta se vaikuttaa idealtaan. Olen nyt kirjoittamassa koodia, joka laskee saman ja kirjoittaa sen "hienosti" HTML:n sekaan tyyleineen Siis, yhtenä positiivisena tuloksena minulle koodistasi on se, että olen nyt kertaillut Javascriptin HTML:n ja CSS:n keskinäistä "vuorovaikutusta"
Viimeisestä skenaariosta sain päässä laskien (5+20+30+10+5)/(6^5), joten lienee oikein.

Muutaman kerran olen huomannut, että ChatGBT osaa laskea jotain oikein.
Eli kokeilin ja siis lunttasin.

: Screenshot_20251128_221259_com.android.chrome.jpg (144.78 KiB) Katsottu 157 kertaa

Konsta · 29.11.2025, 00:01

Nyt heräsi pieni kiinnostus topikkiin.
Muotoilen kysymykseksi, joka paljastaa samalla aihepiiriin perehtymättömyyteni, mutta en olekkaan täällä esitelläkseni jotain "pikku Albertia" sisälläni.

Mitkä ovat tavallisimmat arkielämän sovellukset / asiat kun joudumme tekemisiin todennäköisyyslaskennan antamien tulosten kanssa ?

PremiumZero · 29.11.2025, 18:05

Disputator kirjoitti: ↑28.11.2025, 18:13 Iltaa
PremiumZero kirjoitti: ↑26.11.2025, 21:46
Disputator kirjoitti: ↑11.1.2024, 21:12 4. On laskettava todennäköisyys sille että viiiden nopan heitossa noppien summa on 9.
Esimerkiksi tämän laskisin seuraavasti:

Laskisin laskimella (esim. ilmainen geogebra CAS)
(x^0+x^1+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^5
ja katsoisin tuloksesta x^9-termin kertoimen. Jos se on a, niin vastaus on a/(6^5).
Kyllä, tämä on luultavasti näppärin tapa ratkaista tehtävä.

Jokaiselle satunnaismuuttujalle $Y$ voidaan määritellä odotusarvo $E(Y)$, kun satunnaismuuttujan käsite on oikein määritelty todennäköisyyslaskennan teorian mukaisesti.

Todennäköisyyslaskussa on todennäköisyysgeneroivan (tngf) funktion määritelmä $G_X (t)= E(t^X)$, jolla lasketaan satunnaismuuttujan $ t^X$ odotusarvo, kun $X$ on annettu satunnaismuuttuja.

Fundamentaali tulos on se, että riippumattomien satunnaismuuttujien $X_1, X_2, \cdots ,X_n$ summan $X= X_1+X_2+\cdots +X_n$ todennäköisyysgeneroiva funktio $G_X (t)$ saadaan tulona:

$G_X(t)=G_{X_1}(t)\cdot G_{X_2}(t) \cdots G_{X_n}(t)$.

Eli lasket tuossa yllä käytännössä juuri tuon todennäköisyysgeneroivien funktioiden tulon ja päättelet että tulos on summan todennäköisyysgeneroiva funktio, josta saa oikean tuloksen. Laitan yksityiskohtia mahdollisesti näkyviin lähipäivinä.

Sen verran täytyy korjata tuota polynomiani, että x^0 pitää jättää pois, ei nopalla voi tulla nollaa. Sitten varmaan vastauskin täsmää muiden esittämiin.

PremiumZero · 29.11.2025, 18:30

Tauko kirjoitti: ↑28.11.2025, 22:37
Eusa kirjoitti: ↑17.1.2024, 13:53
Disputator kirjoitti: ↑16.1.2024, 15:15
Harrastelija kirjoitti: ↑12.1.2024, 07:31 Huvikseen ilmoitan kokeellisella simuloinnilla algoritmilla saadut likiarvot. Kritisoitiin kun olen ohjelmoinnut Pascalilla, joten ohjelmoin nyt sitten Javascriptillä.
Koodi: Valitse kaikki
<html>
<body>
<script>
function heitaNoppaa(n) {
    let mahdollisetTulokset = 0;
    let tavoiteSumma = 9;

    function heitaYksiNoppa() {
        return Math.floor(Math.random() * 6) + 1;
    }

    function laskeNoppienSumma() {
        let summa = 0;
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            summa += heitaYksiNoppa();
        }
        return summa;
    }

    const kokeilujenMaara = 10000000; // 10 miljoonaa. Voit säätää tätä tarvittaessa

    for (let i = 0; i < kokeilujenMaara; i++) {
        if (laskeNoppienSumma() === tavoiteSumma) {
            mahdollisetTulokset++;
        }
    }

    const todennakoisyys = mahdollisetTulokset / kokeilujenMaara;
    console.log(`Todennäköisyys, että ${n} nopan heitossa summa on ${tavoiteSumma}: ${todennakoisyys}`);
}
// Kokeile eri arvoilla n
heitaNoppaa(2);
heitaNoppaa(3);
heitaNoppaa(4);
heitaNoppaa(5);
</script>
</body>
</html>
Ohjelman tulostus:

Todennäköisyys, että 2 nopan heitossa summa on 9: 0.1111356
Todennäköisyys, että 3 nopan heitossa summa on 9: 0.1155769
Todennäköisyys, että 4 nopan heitossa summa on 9: 0.0432631
Todennäköisyys, että 5 nopan heitossa summa on 9: 0.009035
Well done! Hyvin laskettu!

Laskit hyvin nopeasti oikeat todennäköisyydet. Ainakin simulointi on hallussa.

Muistin tämän tehtävän jossain muodossa ja muistin että minulla on jossain laskettuna ne vastaavan tehtävän tulokset. En sitten löytänytkään niitä, joten meni aikaa, kunnes löysin yhdestä kirjastani yleisen teorian tuollaisiin kysymyksiin.

Oikeat vastaukset (toivottavasti )ovat:

Todennäköisyys, että 2 nopan heitossa summa on 9: 1/9
Todennäköisyys, että 3 nopan heitossa summa on 9: 25/216
Todennäköisyys, että 4 nopan heitossa summa on 9: 7/162
Todennäköisyys, että 5 nopan heitossa summa on 9: 35/3888

Kun näitä vertaa sun numeerisiin tuloksiin on tulokset hyvin lähellä toisiaan.

En saanut tuota JS koodia toimimaan sellaisenaan, mutta oikealta se vaikuttaa idealtaan. Olen nyt kirjoittamassa koodia, joka laskee saman ja kirjoittaa sen "hienosti" HTML:n sekaan tyyleineen Siis, yhtenä positiivisena tuloksena minulle koodistasi on se, että olen nyt kertaillut Javascriptin HTML:n ja CSS:n keskinäistä "vuorovaikutusta"
Viimeisestä skenaariosta sain päässä laskien (5+20+30+10+5)/(6^5), joten lienee oikein.
Muutaman kerran olen huomannut, että ChatGBT osaa laskea jotain oikein.
Eli kokeilin ja siis lunttasin.

Screenshot_20251128_221259_com.android.chrome.jpg

Havainnollisesti tuon ChatGBT:n vastauksen saa seuraavasti:
Lukuun 4 tarvitaan neljä ykköstä, ja nyt ne pitää koota viidestä ryhmästä, esimerkiksi
1 | | 1 1 | 1 |
Tässä esimerkissä ryhmissä olevien ykkösten määrät ovat y1=1, y2=0, y3=2, y4=1 ja y5=0.
Tuossa jonossa on kaikkiaan 8 merkkiä, 4 ykköstä ja 4 pystyviivaa. Kyse on siitä, monellako tavalla 8 paikasta voi valita 4 (näille pystyviivoille), ja se on tosiaan $\binom{8}{4}$.