Mittakenttäteoriaa, pääsäiekimput ym. settiä

[Disputator]

Iltaa.

Tämä on todellakin kiinnostava yhteys, ja sisältää mulle entuudestaan tuntemattomia osa-alueita. Siksi keräsin lauseita ja teoreemoja, joiden avulla jatkan asiaan paneutumista. Kirjoitan tähän löytöjäni muidenkin iloksi, sillä näiden joukosta löytyy selkeät yhteydet Weinbergin matriisiin \(g_{\alpha\beta}\).

Joo, tämä kirjoituksesi on oikein hyvä tiekartta kompaktien Lien ryhmien ja algebroiden maailmaan. Kommentoin tässä nyt vaan jotain yleistä, yksityiskohdat jääkööt nyt.

Tuo Killingin muoto \(B(X,Y)\) on tosiaankin symmetrinen bilineaarinen 2-muoto, jonka voi ajatella siten, että se on Lien algebraan \(\mathfrak{g}=\text{Lie}(G)\) kuuluvien alkioiden sisätulo tai metriikka, ja siten myös symmetrinen (0,2)-tensori.

Killingin muodolla on hyödyllisiä ominaisuuksia kuten se, että \(B\) on invariantti Lien algebran automorfismeissa \(\text{Aut}(\mathfrak{g})\). Kun automorfismi on \(s: \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}\), niin pätee

\(B(\ s(X),\ s(Y)\ ) = B(X,Y)\quad \forall X,Y\in \mathfrak{g}\)

Lien algebran automorfismi on myös isomorfismi \(\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}\), joten Killingin muoto \(B\) on (käsittäkseni...) sama niille Lien algebroille, jotka ovat isomorfiset.

Toinen ominaisuus on se, että \(B\) on Ad-invariantti, mikä tarkoittaa viestissäsi kirjoittamaasi

\(\begin{align*}
B(s(X),s(Y)) &= \text{Tr}(\text{ad}(X),\text{ad}(Y))\\
&=B(X,Y)
\end{align*}\)

Tässä tapauksessa automorfismi \(s = \text{Ad}_g\), joka saadaan Lien ryhmästä \(G\) ja sen alkiosta \(g\in G\).

Tämä Killingin muodon Ad(G)-symmetria on käsittääkseni hyvin keskeinen mittakenttäteoriassa. Auki kirjoitettuna se on: Jos \(g\in G\) ja G on Lien matriisiryhmä (koostuu matriiseista) ja \(X\in\mathfrak{g}\) on \(Ad_g(X)=g X g^{-1} \).

Mittakenttäteoriassa tämä on käsittääkseni merkittävää siksi, että pääsäiekimpujen avulla formuloituna konnektio 1-muoto \(\omega\) saa arvoja juuri lie algebrassa \(\mathfrak{g}\). Samoin kaarevuusmuoto F, joka on Lie-algebra-arvoinen 2-muoto.

Muita asiaan liittyviä lauseita: Lien algebra \(\mathfrak{g}\) on yksinkertainen, jos \(\mathfrak{g}\) on ei-abelinen ja \(\mathfrak{g}\):llä ei ole ideaaleja, jotka ovat epätriviaaleja. Yksinkertaisella Lien algebralla on vain triviaalit ideaalit, jotka ovat \(0\) ja \(\mathfrak{g}\).

Vaihtoehtoinen määritelmä yksinkertaiselle Lien algebralle on se, että \(\mathfrak{g}\):n dimensio on vähintään 2 ja \(\mathfrak{g}\):n ideaalit ovat triviaalit. Kaikki yksinkertaiset Lien algebrat ovat myös puoliyksinkertaisia.

Yksinkertainen Lien algebra voidaan määritellä myös siten, että \(\mathfrak{g}\) on yksinkertainen jos ja vain jos \(\mathfrak{g}\) on ei-abelinen ja sen adjungoitu esitys \(\text{ad}_\mathfrak{g}\) on redusoitumaton.

Nämä ovat hyviä tiivistelmiä määritelmistä. Eräs tapa määritellä puoliyksinkertainen Lien algebra \(\mathfrak{g}\) on se että Lien algebra \(\mathfrak{g}\) on puoliyksinkertainen jos ja vain jos se ei sisällä nollasta poikkeavia abelisia ideaaleja.

Mun eräs Lie-algebrakirjani (ja moni muukin lähde) määrittelee Lie algebran \(\mathfrak{g}\) puoliyksinkertaiseksi, jos se ei sisällä epätriviaaleja ratkeavia (solvable) ideaaleja I. Ratkeavuus käsitteenä ja nimenä tulee polynomien tietynlaisten ratkaisukaavojen olemassaoloa tutkivasta algebran haarasta.

Puoliyksinkertainen Lien algebra voidaan määritellä siten, että \(\mathfrak{g}\) on puoliyksinkertainen jos ja vain jos Killingin muoto \(B\) on ei-degeneroitunut (mutta ei välttämättä positiivisesti tai negatiivisesti definiitti). Sisätulon kannalta tuo ei-degeneroituneisuus on oleellinen vaatimus.

Tämä Killingin muodon avulla tapahtuva puoliyksinkertaisuuden määrittely (tai samanarvoisuus) toimii hyvin sekä kompleksisilla Lien algebroilla L ja reaalisilla Lien algeroilla L. Positiivi/negatiivisesti definiitti vaatii että tarkastellaan vain reaalisia Lien algebroita.

Edelliset määrittelyt yhdistyvät seuraavasti: Jos Lien algebra \(\mathfrak{g}\) on puoliyksinkertainen, niin \(\mathfrak{g}\) on suora summa
$$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_1\ \oplus\ \mathfrak{g}_2\ \oplus\ ...\ \oplus\ \mathfrak{g}_n$$
missä summan osat \(\mathfrak{g}_i\) ovat yksinkertaisia Lien algebroja, ja \(\mathfrak{g}\):n ideaaleja. Kaikki nämä ideaalit ovat Killingin muodon suhteen ortogonaalisia \(\mathfrak{g}\):n aliavaruuksia.

Kun tuo puoliyksinkertainen Lien algebra \(\mathfrak{g}\) on ideaalien summa, niin \(\mathfrak{g}\):n Killingin muoto \(B_\mathfrak{g}\) saadaan ideaalien Killingin muotojen suorana summana
$$B_\mathfrak{g} = B_\mathfrak{g1}\oplus...\oplus B_\mathfrak{gn}$$

Ylläolevat ovat tosia. Tuo notaatio tuossa viimeisessä virkkeessä saattaa olla hieman hämärä, ei se väärin ole, kun se oikein tulkitsee. Jos tuon Killingin muodon kirjoittaa oikein valitussa kannassa matriisina, niin silloin \(B_\mathfrak{g}\) on matriisina blokkidiagonaali, jossa diagonaalin blokit ovat matriiseja \(B_\mathfrak{g1},... B_\mathfrak{gn}\).

Seuraavaksi kompakteista Lien algebroista. Lien algebra on kompakti, jos se on kompaktin Lien ryhmän algebra. Kompaktin reaalisen Lien algebran Killingin muoto on negatiivisesti semi-definiitti (mutta ei välttämättä definiitti).

Tässä tullaan juuri siihen, että määritelmän mukaan kompakti Lien algebra on reaalinen Lien algebra.

Killingin muoto on kuitenkin negatiivisesti definiitti, kun kompaktin Lien algebran \(\mathfrak{g}\) keskus \(\mathfrak{z}(\mathfrak{g})\) on triviaali, toisin sanoen \(\mathfrak{z}(\mathfrak{g}) = 0\).

Tämä voidaan ilmaista myös toisin: Killingin muoto \(B\) on negatiivisesti definiitti jos ja vain jos kompakti Lien algebra \(\mathfrak{g}\) on puoliyksinkertainen.

Ja lopuksi vielä kompaktille Lien algebralle lause, joka yhdistyy suoraan Weinbergin lukuun 15: Olkoon \(\mathfrak{g}\) kompakti Lien algebra. Tällöin \(\mathfrak{g}\) on ideaaliensa suora summa
$$\mathfrak{g} = \mathfrak{u}(1)\ \oplus\ ...\ \oplus\ \mathfrak{u}(1)\ \oplus\ \mathfrak{g}_1\ \oplus\ ...\ \oplus\ \mathfrak{g}_n$$
missä \(\mathfrak{g}_n\) ovat kompakteja yksinkertaisia Lien algebroja.

Aivan upeita teoreemoja.

Kyllä! Lisään vielä tähän yhden teoreeman, joka muistuttaa antamaasi:

$$\mathfrak{g} = \mathfrak{u}(1)\ \oplus\ ...\ \oplus\ \mathfrak{u}(1)\ \oplus\ \mathfrak{g}_1\ \oplus\ ...\ \oplus\ \mathfrak{g}_n$$.

ja on seurausta tuosta kaavasta. Nimittäin, kompakti Lien ryhmä G voidaan esittää (melkein)
tulomuodossa:
$$G = U(1)\ \times\ ...\ \times\ U(1)\ \times\ G_1\ \times\ ...\ \times\ G_n$$,
missä kukin \(G_i\) on kompakti yksinkertainen ryhmä.

Lien ryhmien ja algebroiden yhteydessä Lien ryhmä G määritellään yksinkertaiseksi, jos ryhmän G Lie algebra on yksinkertainen.

Yleisessä ryhmäteoriassa on myös olemassa käsite ryhmän yksinkertaisuus eli jos katsoo abstraktin ryhmäteorian oppikirjaa, niin ryhmä G määritellään siellä yksinkertaiseksi, jos G:llä ei ole epätriviaaleja normaaleja aliryhmiä N.

Kuitenkin Lien ryhmien teoriassa ryhmän G yksinkertaisuuden määritelmä annetaan vastaavan Lien algebran \(\mathfrak{g}\) avulla. Tällöin on mahdollista se, että Lien ryhmällä G voi olla epätriviaali normaali aliryhmä N, mutta silti se on Lien teorian mielessä yksinkertainen. Tälläiset normaalit ryhmät N ovat diskreettejä tai äärellisiä.

Siis, kompakti Lien ryhmä G voidaan esittää (melkein)
tulomuodossa:
$$G = U(1)\ \times\ ...\ \times\ U(1)\ \times\ G_1\ \times\ ...\ \times\ G_n$$,
missä kukin \(G_i\) on kompakti yksinkertainen ryhmä.

Sana "melkein" tarkoittaa tässä, tuolla ryhmällä G voi olla äärellinen normaali (tai invariantti) aliryhmä N ja siten voidaan muodostaa tekijäryhmä annetulla N:

\(G'= G/N.\)

Kaikilla tälläisillä ryhmillä G' on sama Lien algebra.

Rakas ystävämme \(U(2)\) on juuri tälläinen. Ryhmän \(U(2)\) Lie-algebra \(u(2)\) on antamasi kaavan mukainen:

\(u(2)= u(1)\oplus su(2) \),

mutta itse ryhmälle \(U(2)\) ei päde että se olisi suora tulo \(U(2)=U(1)\times SU(2)\), vaan \(U(2)\) on tekijäryhmä

\(U(2)= (U(1)\times SU(2))/N\),

missä N on käsittääkseni kahden alkion muodostama normaali aliryhmä \(N =\{(1,I),(-1,-I)\} \).

[Disputator]

Tuohon vielä täydennykseksi esimerkki siitä, että Lien ryhmästä, joka on yksinkertainen Lien teorian määritelmien mukaan, mutta ei ole yleisen ryhmäteorian mukaan:

\(SU(2)\) on yksinkertainen ryhmä Lien teoriassa, sillä sen Lie-algebralla \(su(2)\) ei ole epätriviaaleja ideaaleja I. Lie algebra \(su(2)\) on isomorfinen algebran \(so(3)\) kanssa, joka on yksinkertainen.

Kuitenkin itse ryhmällä \(SU(2)\) on olemassa normaali aliryhmä \(N =\{I,-I\}\) ja siten se ei ole yksinkertainen yleisen ryhmäteorian määritelmien mukaan. Voidaan muodostaa tekijäryhmä \(SU(2)/N\), joka on isomorfinen rotaatioryhmän \(SO(3)\) kanssa, siis:

\(SU(2)/\{I,-I\}\equiv SO(3)\).

[QS]

Edelliset määrittelyt yhdistyvät seuraavasti: Jos Lien algebra \(\mathfrak{g}\) on puoliyksinkertainen, niin \(\mathfrak{g}\) on suora summa
$$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_1\ \oplus\ \mathfrak{g}_2\ \oplus\ ...\ \oplus\ \mathfrak{g}_n$$
missä summan osat \(\mathfrak{g}_i\) ovat yksinkertaisia Lien algebroja, ja \(\mathfrak{g}\):n ideaaleja. Kaikki nämä ideaalit ovat Killingin muodon suhteen ortogonaalisia \(\mathfrak{g}\):n aliavaruuksia.

Kun tuo puoliyksinkertainen Lien algebra \(\mathfrak{g}\) on ideaalien summa, niin \(\mathfrak{g}\):n Killingin muoto \(B_\mathfrak{g}\) saadaan ideaalien Killingin muotojen suorana summana
$$B_\mathfrak{g} = B_\mathfrak{g1}\oplus...\oplus B_\mathfrak{gn}$$

Ylläolevat ovat tosia. Tuo notaatio tuossa viimeisessä virkkeessä saattaa olla hieman hämärä, ei se väärin ole, kun se oikein tulkitsee. Jos tuon Killingin muodon kirjoittaa oikein valitussa kannassa matriisina, niin silloin \(B_\mathfrak{g}\) on matriisina blokkidiagonaali, jossa diagonaalin blokit ovat matriiseja \(B_\mathfrak{g1},... B_\mathfrak{gn}\).

Iltaa! Tähän vain nopeasti. Kyllä, notaatio oli huono, kun en maininnut lohkodiagonaalisuutta. Tosin en edes tiedä tilanteeseen sopivaa yksikäsitteistä notaatiota

[QS]

Edelliset määrittelyt yhdistyvät seuraavasti: Jos Lien algebra \(\mathfrak{g}\) on puoliyksinkertainen, niin \(\mathfrak{g}\) on suora summa
$$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_1\ \oplus\ \mathfrak{g}_2\ \oplus\ ...\ \oplus\ \mathfrak{g}_n$$
missä summan osat \(\mathfrak{g}_i\) ovat yksinkertaisia Lien algebroja, ja \(\mathfrak{g}\):n ideaaleja. Kaikki nämä ideaalit ovat Killingin muodon suhteen ortogonaalisia \(\mathfrak{g}\):n aliavaruuksia.

Kun tuo puoliyksinkertainen Lien algebra \(\mathfrak{g}\) on ideaalien summa, niin \(\mathfrak{g}\):n Killingin muoto \(B_\mathfrak{g}\) saadaan ideaalien Killingin muotojen suorana summana
$$B_\mathfrak{g} = B_\mathfrak{g1}\oplus...\oplus B_\mathfrak{gn}$$



 

Ylläolevat ovat tosia. Tuo notaatio tuossa viimeisessä virkkeessä saattaa olla hieman hämärä, ei se väärin ole, kun se oikein tulkitsee. Jos tuon Killingin muodon kirjoittaa oikein valitussa kannassa matriisina, niin silloin \(B_\mathfrak{g}\) on matriisina blokkidiagonaali, jossa diagonaalin blokit ovat matriiseja \(B_\mathfrak{g1},... B_\mathfrak{gn}\).

Iltaa! Tähän vain nopeasti. Kyllä, notaatio oli huono, kun en maininnut lohkodiagonaalisuutta. Tosin en edes tiedä tilanteeseen sopivaa yksikäsitteistä notaatiota

Ihan vaan imurin pölypussia vaihtaessani tajusin, että mun olisi pitänyt kirjoittaa \(\text{diag}(B_\mathfrak{g1},...,B_\mathfrak{gn})\) tai jos haluaisin korostaa suoran summan matriisiesitystä, niin \(\text{diag}(B_\mathfrak{g1}\oplus...\oplus B_\mathfrak{gn})\).

Tällä ei ison kuvan kanssa mitään tekemistä, tuli vain mieleeni jostain

Mainitsemasi konnektion 1-muoto ja kaarevuuden 2-muoto liittyvät asiaan ehdottomasti. Eräs Weinbergin pieni notaatiovalintakin periytyy jännästi kyseisestä geometrisesta formuloinnista. Koetan ensin selvittää asiaa itselleni, ja kirjoitan joku päivä lisää.

[QS]

Kokeilin saada jotain konkreettista aikaan siten, että jätin fysiikan kytkinvakiot ja muut sopimuskysymykset omaan arvoonsa. En vielä osaa niihin ottaa kantaa. Nimittäin kohtasin isomman ongelman...

Laitan mukaan lainauksia esillä olleista teoreemoista

Olkoon \(\mathfrak{g}\) kompakti Lien algebra. Tällöin \(\mathfrak{g}\) on ideaaliensa suora summa
$$\mathfrak{g} = \mathfrak{u}(1)\ \oplus\ ...\ \oplus\ \mathfrak{u}(1)\ \oplus\ \mathfrak{g}_1\ \oplus\ ...\ \oplus\ \mathfrak{g}_n$$
missä \(\mathfrak{g}_n\) ovat kompakteja yksinkertaisia Lien algebroja.

Lisään vielä tähän yhden teoreeman, joka muistuttaa antamaasi:

$$\mathfrak{g} = \mathfrak{u}(1)\ \oplus\ ...\ \oplus\ \mathfrak{u}(1)\ \oplus\ \mathfrak{g}_1\ \oplus\ ...\ \oplus\ \mathfrak{g}_n$$.

ja on seurausta tuosta kaavasta. Nimittäin, kompakti Lien ryhmä G voidaan esittää (melkein)
tulomuodossa:
$$G = U(1)\ \times\ ...\ \times\ U(1)\ \times\ G_1\ \times\ ...\ \times\ G_n$$,
missä kukin \(G_i\) on kompakti yksinkertainen ryhmä.

Lien ryhmien ja algebroiden yhteydessä Lien ryhmä G määritellään yksinkertaiseksi, jos ryhmän G Lie algebra on yksinkertainen.




 

Standardimallin symmetriaryhmä on \(G=SU(3) \times SU(2) \times U(1)\), ja sen Lien algebra on

\(\mathfrak{g}=\mathfrak{su}(3)\oplus\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{u}(1)\).

Tämä on kompakti Lien algebra, sillä suorassa summassa on kompakti \(\mathfrak{u}(1)\) sekä lisäksi kompaktit yksinkertaiset Lien algebrat \(\mathfrak{su}(3)\) ja \(\mathfrak{su}(2)\).

Tuo \(\mathfrak{u}(1)\) ei kuitenkaan ole yksinkertainen eikä puoliyksinkertainen vaikka on kompakti.

Huomiona tässä, että vaikka \(\mathfrak{u}(1)\) on kompakti, niin ryhmä \(U(1)\) voi olla kompakti tai sitten ei. Esimerkiksi \(U(1)=S^1\) on kompakti, mutta \(U(1)=\mathbb{R}\) ei ole.

Onko tuo standardimallin ryhmä \(G\) nyt sitten kompakti vai ei? En ole ihan varma, mutta periaatteessa kompaktien ryhmien suora tulo ja kompakti ryhmä ovat isomorfiset. G olisi siis kompakti, kun valitaan \(U(1)=S^1\). Kaksi muuta, \(SU(2)\) ja \(SU(3)\), ovat kompakteja.

Jatkan algebrasta. Tässä on sellainen ominaisuus, että standardimallin \(\mathfrak{g}\) ei ole puoliyksinkertainen, sillä...

Jos Lien algebra \(\mathfrak{g}\) on puoliyksinkertainen, niin \(\mathfrak{g}\) on suora summa
$$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_1\ \oplus\ \mathfrak{g}_2\ \oplus\ ...\ \oplus\ \mathfrak{g}_n$$
missä summan osat \(\mathfrak{g}_i\) ovat yksinkertaisia Lien algebroja

Puoliyksinkertaisuus ei toteudu, kun suorassa summassa on mukana \(\mathfrak{u}(1)\), joka ei siis ole yksinkertainen. Kompakti \(\mathfrak{g}\) silti on.

Killingin muoto \(B\) on negatiivisesti definiitti jos ja vain jos kompakti Lien algebra \(\mathfrak{g}\) on puoliyksinkertainen.

Tämän perusteella näyttää siltä, että \(B_\mathfrak{g}\) ei ole negatiivisesti definiitti, jonka syy on se, että tuo ei ole puoliyksinkertainen Lien algebra.

Puoliyksinkertainen Lien algebra voidaan määritellä siten, että \(\mathfrak{g}\) on puoliyksinkertainen jos ja vain jos Killingin muoto \(B\) on ei-degeneroitunut

Ja tästähän seuraa lisäksi se, että \(B_\mathfrak{g}\) on degeneroitunut, sillä \(\mathfrak{g}\) ei tosiaan ole puoliyksinkertainen.

Laskin kuitenkin Killingin muodon matriisiesityksenä.

Käytin tyypillisiä \(\mathfrak{su}(3)\)- ja \(\mathfrak{su}(2)\) kantavektoreita, joista muodostin (tietokoneen avustuksella) adjungoidut esitykset. Killingin muodon matriisiesitykseksi sain
$$B_\mathfrak{g}=
\text{diag}\left(B_{\mathfrak{su}(3)},B_{\mathfrak{su}(2)},B_{\mathfrak{u}(1)} \right)
=
-2\begin{pmatrix}
\mathbb{I}_{8x8} & 0 & 0 \\
0 & \mathbb{I}_{3x3} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
Tämä on 12x12-matriisi, missä oikeassa alakulmassa 0, sillä Lien algebran \(\mathfrak{u}(1)\) adjungoitu esitys on nolla, minkä seurauksena \(B_{\mathfrak{u}(1)}=0\). Tuo laskemani matriisi ei siis ole negatiivisesti definiitti, vaan degenroitunut, \(\det(B_\mathfrak{g})=0\).

Mikähän virhe mulla on?

Hmm. Eräs seikka ainakin se, että laskin vain Killingin muodon. Lien algebroille on olemassa myös sisätulo tai skalaaritulo, joka on käsittääkseni hiukan eri asia kuin Killingin muoto. Onko abelisella \(u(1)\):llä nollasta poikkeava bilineaarinen sisätulo??

[Eusa]

Onko abelisella \(u(1)\):llä nollasta poikkeava bilineaarinen sisätulo??

Jos tarkoitetaan Lie-algebran invarianttia sisätuloa, kuten Killingin muodon mukaista invarianttia symmetristä bilineaarimuotoa, niin silloinhan abelinen, yksiulotteinen Lie-algebra \(\mathfrak{u}(1)\) on kommutatiivinen, jolloin sen Killingin muoto on triviaalisti nolla. Tällöin vastaus on ei, abelisilla \(\mathfrak{u}(1)\)-algebroilla ei ole nollasta poikkeavaa invarianttia sisätuloa.

Jos tarkoitetaankin yleisempää vektorikenttäalgebran yhteydessä käytettyä tavallista euklidista sisätuloa, jonka ei tarvitse olla Lie-algebran rakennetta säilyttävä, silloin nollasta poikkeava sisätulo voi kyllä löytyä, koska yhden ulottuvuuden vektoriavaruuteen \((\mathfrak{u}(1)\cong \mathbb{R})\)on helposti valittavissa mielivaltainen positiivinen sisätulo.

[QS]

Haa! Sotkuni poistuu, kun kauppahallista haetaan lisää teoreemoja pöytään.

==
Teoreema: Kun \(G\) on kompakti Lien ryhmä, niin Lien algebralle \(\mathfrak{g}=\text{Lie}(G)\) on olemassa yksikäsitteinen (up to a positive scalar factor) ja Ad-invariantti positiivisesti definiitti skalaaritulo.
==

Esimerkiksi Killingin muodosta saadaan skalaaritulo, kun negatiivisesti definiitti Killingin muoto käännetään positiiviseksi. Tämän voi kirjoittaa \((.,.)_{\mathfrak{g}} = -B_\mathfrak{g}\), missä \((.,.)_{\mathfrak{g}}\) on nyt positiivisesti definiitti.

Standardimallin \(SU(2)\) ja \(SU(3)\) ovat kompaktit (ja myös yksinkertaiset), joten teoreema pätee näille molemmille erikseen. Niinpä voin kirjoittaa Lien algebroille skalaaritulot \((.,.)_{\mathfrak{su}(2)} = -B_{\mathfrak{su}(2)}\) ja \((.,.)_{\mathfrak{su}(3)} = -B_{\mathfrak{su}(3)}\). Näiden algebrojen Killingin muodot olivat tosiaan negatiivisesti definiitit.

Ryhmän \(U(1)\) on oltava kompakti. Tämä hoituu, kun valitaan \(U(1)=S^1\), jolloin kompaktin ryhmän \(U(1)\) algebralle \(\mathfrak{u}(1)\) on olemassa positiivisesti definiitti skalaaritulo. Voin valita skalaarituloksi esimerkiksi \((.,.)_{\mathfrak{u}(1)} = 1\).

==
Teoreema: Olkoon G kompakti yhtenäinen Lien ryhmä, joka on muotoa

\(G=U(1)\times ... \times U(1) \times G_1 \times ...\times G_n\)

missä \(G_n\) ovat kompaktit yksinkertaiset Lien ryhmät. Lien algebralle \(\mathfrak{g}=\text{Lie}(G)\) on olemassa positiivisesti definiitti skalaaritulo \((.,.)_{\mathfrak{g}}\). Tämä on ortogonaalinen suora summa positiivisesti definiiteistä skalaaritulosta, jotka ovat

- Lien algebran \(\mathfrak{u}(1) \oplus ... \oplus \mathfrak{u}(1)\) skalaaritulo
- Lien algebrojen \(\mathfrak{g}_n\) skalaaritulot
==

Tämän nojalla standardimallin Lien algebralle

\(\mathfrak{g}=\mathfrak{su}(3)\oplus\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{u}(1)\)

voidaan kirjoittaa positiivisesti definiitti Ad-invariantti skalaaritulo

\((.,.)_\mathfrak{g}\ =\ (.,.)_{\mathfrak{su}(3)}\ \oplus\ (.,.)_{\mathfrak{su}(2)}\ \oplus\ (.,.)_{\mathfrak{u}(1)}\)

jonka matriisiesitys on lohkodiagonaalinen, kuten Killingin muodon tapauksessakin oli. Killingin muotojen edestä poistetaan kerroin 2 (kertoimiin oli joku sääntö olemassa), jolloin

$$(.,.)_\mathfrak{g}\ =

\begin{pmatrix}

\mathbb{I}_{8x8} & 0 & 0 \\

0 & \mathbb{I}_{3x3} & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{pmatrix}$$

mikä on positiivisesti definiitti. Tämä on sama täysin diagonaalinen matriisi kuin  \(g_{\alpha\beta}\), jonka Weinberg Vol 2:ssa rakentaa!

[QS]

...
Laskin kuitenkin Killingin muodon matriisiesityksenä.

Käytin tyypillisiä \(\mathfrak{su}(3)\)- ja \(\mathfrak{su}(2)\) kantavektoreita, joista muodostin (tietokoneen avustuksella) adjungoidut esitykset. Killingin muodon matriisiesitykseksi sain
$$B_\mathfrak{g}=
\text{diag}\left(B_{\mathfrak{su}(3)},B_{\mathfrak{su}(2)},B_{\mathfrak{u}(1)} \right)
=
-2\begin{pmatrix}
\mathbb{I}_{8x8} & 0 & 0 \\
0 & \mathbb{I}_{3x3} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
Tämä on 12x12-matriisi, missä oikeassa alakulmassa 0, sillä Lien algebran \(\mathfrak{u}(1)\) adjungoitu esitys on nolla, minkä seurauksena \(B_{\mathfrak{u}(1)}=0\). Tuo laskemani matriisi ei siis ole negatiivisesti definiitti, vaan degenroitunut, \(\det(B_\mathfrak{g})=0\).


 

Mulla jäi aikanaan virhe kertoimeen -2. Niillä kantavektoreilla, joita käytin, ovat negatiiviset kertoimet seuraavassa muodossa
$$B_\mathfrak{g}=
\text{diag}\left(B_{\mathfrak{su}(3)},B_{\mathfrak{su}(2)},B_{\mathfrak{u}(1)} \right)
=
\begin{pmatrix}
-3\ \mathbb{I}_{8x8} & 0 & 0 \\
0 & -2\ \mathbb{I}_{3x3} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
Kun myöhemmin muodostin skalaaritulon
$$(.,.)_\mathfrak{g}\ =
\begin{pmatrix}
\mathbb{I}_{8x8} & 0 & 0 \\
0 & \mathbb{I}_{3x3} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$niin kertoimet voidaan poistaa \(\mathfrak{su}(3)\) ja \(\mathfrak{su}(2)\) -blokeista erikseen.

Sisätulon eteen voidaan valita reaalinen kerroin \(\lambda>0\) siten, että \((.,.)_\mathfrak{g} = -\lambda B_\mathfrak{g}\), ja tämä matriisiin kullekin lohkolle (Lien algebralle) erikseen.

[Disputator]

Iltapäivää! Tässä olen veivannut näitä jonkinverran ja myöhemmin enemmän, mutta muutama huomio tähän nyt.

Haa! Sotkuni poistuu, kun kauppahallista haetaan lisää teoreemoja pöytään.

==
Teoreema: Kun \(G\) on kompakti Lien ryhmä, niin Lien algebralle \(\mathfrak{g}=\text{Lie}(G)\) on olemassa yksikäsitteinen (up to a positive scalar factor) ja Ad-invariantti positiivisesti definiitti skalaaritulo.
==

Hmm, teoreeman täytynee lisätä boldattu kohta:

Teoreema: Kun \(G\) on kompakti yksinkertainen Lien ryhmä, niin Lien algebralle \(\mathfrak{g}=\text{Lie}(G)\) on olemassa yksikäsitteinen (up to a positive scalar factor) ja Ad-invariantti positiivisesti definiitti skalaaritulo.

Sulla on alla tämä käytössä korjatussa muodossa, joten unohdus vaan kirjoittaessa.

Standardimallin \(SU(2)\) ja \(SU(3)\) ovat kompaktit (ja myös yksinkertaiset), joten teoreema pätee näille molemmille erikseen. Niinpä voin kirjoittaa Lien algebroille skalaaritulot \((.,.)_{\mathfrak{su}(2)} = -B_{\mathfrak{su}(2)}\) ja \((.,.)_{\mathfrak{su}(3)} = -B_{\mathfrak{su}(3)}\). Näiden algebrojen Killingin muodot olivat tosiaan negatiivisesti definiitit.

[QS]

Totta, mulla jäi sana 'yksinkertainen' pois. Tärkeä sana itse teoreeman kannalta! Hyvä kun korjasit. Muitakin virheitä saa ja pitää löytää, koska tämä aiheeseen liittyvä sivuhaara ei ollut mulle ennestään tuttu.