Suhteellisuusteoriaa

[Disputator]

...
Yleisesti voidaan muodostaa kahden vektoriavaruuden U ja V tensoritulo \(U\otimes V\), jonka alkiot ovat lineaarikombinaatioita tuloista \(u\otimes v\). Moniston M tangenttivaruuden V (= lyhennys \( T_pM\):lle ) 1-muodot muodostavat vektoriavaruuden V*. Koska V* on vektoriavaruus, voidaan muodostaa sen tensoritulo itsensä kanssa eli \(V^*\otimes V^*\). Jos valitaan varuuteen V koordinaattikanta\( \{\partial_{\mu}\}\), voidaan muodostaa tämän duaalikanta \(\{dx^{\nu}\}\) avaruuteen V*, jonka määrittelee ehdot \(dx^{\nu}(\partial_{\mu}) = \delta^{\nu}_{\mu}\). Duaalikannan avulla voidaan antaa kanta avaruudelle \(V^*\otimes V^*\), mikä on \(\{dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}\}\). Koska g on symmetrinen, valitaan \(V^*\otimes V^*\):n aliavaruus, jonka kantana \(\{dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}\}\), missä nyt \(\mu\leq\nu\). Suhtiksen tapauksessa kantavektoreita 10 kpl.

Mua nyt häiritsee toi kannan valinta, koska se aiheuttaa että \(\mu\leq\nu\). Ehkä parempi valinta olisi ollut seuraava:

\(\{\frac{1}{2}(dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}+dx^{\nu}\otimes dx^{\mu})\}\).

Tuo on indeksien suhteen symmetrinen ja niitä on myös suhtiksen tapauksessa 10 kpl. Jos käyttää tätä niin ei tarvitse huolehtia ehdosta \(\mu\leq\nu\) vaan summataan kaikkien indeksien yli ja lopputulos on sama:

\(\begin{align*}
g(u,v)& = (g_{\mu\nu} \frac{1}{2}(dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}+dx^{\nu}\otimes dx^{\mu}))(u,v)\\
& = g_{\mu\nu}u^{\mu}v^{\nu}\\
\end{align*}\)

ja lisäksi

\(
g(u,v) = g_{\mu\nu}\Delta u^{\mu}\Delta v^{\nu}
\)

Mä ainä kämmellän aina tämän saman asian kanssa, se nähtiin jo aikaisemmin niiden konnektiokeroimien kanssa.

EDIT: mä taisin sortua omaan näppäryyteeni nyt. Tuossa ei tarvitse välttämättä käyttää kantoja ollenkaan, vaan käyttää metriikan symmetrisyyttä \(g_{\mu\nu}= g_{\nu\mu}\) summausvaiheessa, sen pitäisi riittää.

[QS]

Tässä yleistä höpinää tensorituloista ylläolevaan keissiin liittyen:

Edellisessä jäi mainitsematta, että 1-muotojen tulo \(dx^{\mu}dx^{\nu} \)ei tarkoita suoraan mitään, vaan se on ymmärrettävä tensoritulon kautta, alla on eräs hahmotelma siihen.

Yleisesti voidaan muodostaa kahden vektoriavaruuden U ja V tensoritulo \(U\otimes V\), jonka alkiot ovat lineaarikombinaatioita tuloista \(u\otimes v\). Moniston M tangenttivaruuden V (= lyhennys \( T_pM\):lle ) 1-muodot muodostavat vektoriavaruuden V*. Koska V* on vektoriavaruus, voidaan muodostaa sen tensoritulo itsensä kanssa eli \(V^*\otimes V^*\). Jos valitaan varuuteen V koordinaattikanta\( \{\partial_{\mu}\}\), voidaan muodostaa tämän duaalikanta \(\{dx^{\nu}\}\) avaruuteen V*, jonka määrittelee ehdot \(dx^{\nu}(\partial_{\mu}) = \delta^{\nu}_{\mu}\). Duaalikannan avulla voidaan antaa kanta avaruudelle \(V^*\otimes V^*\), mikä on \(\{dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}\}\). Koska g on symmetrinen, valitaan \(V^*\otimes V^*\):n aliavaruus, jonka kantana \(\{dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}\}\), missä nyt \(\mu\leq\nu\). Suhtiksen tapauksessa kantavektoreita 10 kpl.

Nyt herää kysymys, miten tuo kantavektori \(\{dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}\}\) ottaa sisäänsä V:n vektoreita? Helpoin tapa on asetaa ihan laskennallinen määritelmä, missä u ja v ovat V:n vektoreita:

\((dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}\)(u,v)\equiv {dx^{\mu}(u) dx^{\nu}(v)\)

Jos u =\(u^{\alpha}\partial_{\alpha}\) ja \(v =v^{\beta}\partial_{\beta}\), niin silloin sijoittamalla ylläolevaan saadaan:

\(\begin{align*}
(dx^{\mu}\otimes dx^{\nu})(u,v) &=(dx^{\mu}\otimes dx^{\nu})(u^{\alpha}\partial_{\alpha},v^{\beta}\partial_{\beta})\\
&=u^{\alpha}v^{\beta}dx^{\mu}(\partial_{\alpha}) dx^{\nu}(\partial_{\beta})\\
&=u^{\mu}v^{\nu}
\end{align*}\)

Nyt voidaankin laskea g(u,v):

\(\begin{align*}
g(u,v)& = (g_{\mu\nu} dx^{\mu}\otimes dx^{\nu})(u,v)\\
& = g_{\mu\nu}u^{\mu}v^{\nu}
\end{align*}\)

Jos haluaisin käyttää noille u ja v vektorille notaatiota \(u= \Delta u^{\alpha}\partial_{\alpha}\) ja \(v =\Delta v^{\beta}\partial_{\beta}\) saisin kaavan

\(
g(u,v) = g_{\mu\nu}\Delta u^{\mu}\Delta v^{\nu}
\)

Yritin siis tässä tehdä eroa tuolla siihen "differentiaalien" avulla ilmaistuun muotoon:

\(
g(u,v) = g_{\mu\nu} du^{\mu}dv^{\nu}
\)

, missä siis nuo "differentiaalit" on ymmärrettävä vektorin komponentteija eikä 1-muotoina.
 

Tämä esitys pitäisi ehdottomasti saada osaksi kaikkia yleisen suhteellisuusteorian perusteoksia. Esille nostettu varsin perinteikäs notaatio \(ds^2 = g_{\mu\nu} dx^{\mu}dx^{\nu} \) on ainakin mulle mennyt tähän asti läpi kuin väärä raha. Nyt on tämäkin vääryys korjattu!

Mainittu gradientti (sekin merkitään usein dx) ja kotangenttiavaruus \(T^{*}_pM\) on myös hyvä purkaa osiinsa. \(T^{*}_pM\) pisteessä \(p \in M\) määritellään joukkona lineaarikuvauksia. Lineaarikuvausten joukko voidaan kirjoittaa

\(T^{*}_pM = \{ \alpha: T_pM \to \mathbb{R} \}\),

missä \(\alpha\) kuvaa T_pM:n vektorit reaaliluvuiksi. Nyt M:n funktion \(f \in C^{\infty}(M)\) gradientti pisteessä p voidaan määritellä kuvauksena

\((df)_p: T_pM \to \mathbb{R}\),

missä \((df)_p\) määritellään siten, että \(T_pM\):n vektori V kuvautuu seuraavasti

\(V \to (df)_p(V) \ := \ Vf\).

Tässä siis \((df)_p\) kuvaa tangenttiavaruuden vektorin reaaliluvuksi \((df)_p(V)\). Tuo kuvaus voidaan kirjoittaa lyhyesti Vf, mikä tarkoittaa sitä, että tangenttivektori V operoi funktioon f. Näin saadaan f:n derivaatta vektorin V suuntaan.

Toisin sanoen \((df)_p\) on kotangenttiavaruuden \(T^{*}_pM\) vektori, joka muuntaa tangenttiavaruuden vektorin V reaaliluvuksi siten, että tuloksena on f:n gradientti.

Tuo \((df)_p\), joka on samalla (0,1)-tensori, voidaan kirjoittaa T_pM:n kantavektoreilla \(\left \{\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\right \}\) seuraavasti

\(((df)_p)_{\mu} = (df)_p \left( \left( \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \right)_p \right) = \left( \frac{\partial f}{\partial x^{\mu}} \right)_p\).

Ylimalkaisesti vilkaistuna näyttää siltä, että f siirtyy kuin itsestään df:stä tuonne suluissa olevan T_pM:n kantavektorin taakse, mutta kun tarkasti vertaa määritelmään

\((df)_p := V \to (df)_p(V) \ := \ Vf\),

niin tulos on selkeä.

\(T^{*}_pM\):n kantavektorit saadaan, kun käytetään M:n avoimen osajoukon \(U \subseteq M\) karttakuvausta (U,x), missä \(x=x^{\mu}(p)\) ovat koordinaattifunktiota. Tämä on sama kartta, josta T_pM:n kanta on indusoitu. Voidaan osoittaa, että \(T^{*}_pM\):n kantavektorijoukko on \( \{ dx^{\mu} \}\), missä dx tarkoittaa koordinaattifunktion x gradienttia.

Kyseessä on T_pM:n duaalikanta, sillä näille pätee \(dx^{\mu}(\partial_{\nu}) = \delta^{\mu}_{\nu}\), kuten vektoriavaruuden ja duaaliavaruuden kantavektoreille pitääkin.

[Eusa]

\( g(u,v) = g_{\mu\nu}\Delta u^{\mu}\Delta v^{\nu} \)

Yritin siis tässä tehdä eroa tuolla siihen "differentiaalien" avulla ilmaistuun muotoon:

\( g(u,v) = g_{\mu\nu} du^{\mu}dv^{\nu} \)

Tässä on mielestäni sudenkuoppa, koska infinitesimaali ja differentiaali ovat eri asioita. Edellinen on äärellinen rajamitta joka määrittyy monistoa pitkin ja jälkimmäinen laakean tangenttiavaruuden vektorin arkkityyppi.

[QS]

Tuo dx:n olemus jäi hiukan hämäräksi. Täsmennän. Jätän pois alaindeksin p, jotta olisi selkeämpi notaatio.

Kun kirjoitan df:n siten, että T_pM:n kantavektorit \(\{ \partial_{\mu} \}\) ja komponentit ovat näkyvissä, ja sijoitan vektorin \(v=v^{\mu}\partial_{\mu}\), niin

\(df = df \left( v^{\mu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \right) = v^{\mu} \left( \frac{\partial f}{\partial x^{\mu}} \right) = v^{\mu} (\partial_{\mu} f)\),

missä gradientti df kohdistuu U:n funktioon \(f: U \to \mathbb{R}\). Koravataan f koordinaattifunktion x(p) komponenteilla \(x^{\mu}: U \to \mathbb{R}\). Sitten kirjoitetaan gradientti näille koodrinaattifunktioille \(x^{\mu}(p)\)

\(dx^{\mu} = dx^{\mu} \left( v^{\nu}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}} \right) = v^{\nu}\left( \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\nu}} \right) = v^{\mu}\).

Tässä nyt \( \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\nu}} = \delta^{\mu}_{\nu}\), minkä seurauksena jäljelle jää T_pM:n vektorin komponentti \(v^{\mu}\) (dummy \(\nu\) vaihdettu \(\mu\):ksi).

Tuo koordinaattifunktion x gradientti \(dx^{\mu} \in T^{*}_pM\) tuottaa siis vastaavan TpM:n vektorin komponentin \(v^{\mu}\). Tässä mielessä \(dx^{\mu}\) on lineaarinen funktionaali, joka operoi koordinaattifunktioon \(x^{\mu}\) ja tuottaa reaaliluvun \(v^{\mu} \in \mathbb{R}\), kuten määritelmänsä mukaan pitääkin.

Tämä dx (1-muoto) on silti pirullinen. Sitä sanotaan gradientiksi, mutta se ei ole gardienttivektori. Otuksella on monet kasvot.

[Eusa]

Tuo dx:n olemus jäi hiukan hämäräksi. Täsmennän. Jätän pois alaindeksin p, jotta olisi selkeämpi notaatio.

Kun kirjoitan df:n siten, että T_pM:n kantavektorit \(\{ \partial_{\mu} \}\) ja komponentit ovat näkyvissä, ja sijoitan vektorin \(v=v^{\mu}\partial_{\mu}\), niin

\(df = df \left( v^{\mu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \right) = v^{\mu} \left( \frac{\partial f}{\partial x^{\mu}} \right) = v^{\mu} (\partial_{\mu} f)\),

missä gradientti df kohdistuu U:n funktioon \(f: U \to \mathbb{R}\). Koravataan f koordinaattifunktion x(p) komponenteilla \(x^{\mu}: U \to \mathbb{R}\). Sitten kirjoitetaan gradientti näille koodrinaattifunktioille \(x^{\mu}(p)\)

\(dx^{\mu} = dx^{\mu} \left( v^{\nu}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}} \right) = v^{\nu}\left( \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\nu}} \right) = v^{\mu}\).

Tässä nyt \( \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\nu}} = \delta^{\mu}_{\nu}\), minkä seurauksena jäljelle jää T_pM:n vektorin komponentti \(v^{\mu}\) (dummy \(\nu\) vaihdettu \(\mu\):ksi).

Tuo koordinaattifunktion x gradientti \(dx^{\mu} \in T^{*}_pM\) tuottaa siis vastaavan TpM:n vektorin komponentin \(v^{\mu}\). Tässä mielessä \(dx^{\mu}\) on lineaarinen funktionaali, joka operoi koordinaattifunktioon \(x^{\mu}\) ja tuottaa reaaliluvun \(v^{\mu} \in \mathbb{R}\), kuten määritelmänsä mukaan pitääkin.

Tämä dx (1-muoto) on silti pirullinen. Sitä sanotaan gradientiksi, mutta se ei ole gardienttivektori. Otuksella on monet kasvot.

Gradienttifunktio on todella eri asia kuin vektoriavaruuden kenttäoliot.

[Eusa]

Koska yksityiskohdilla suhteellisuusteorioissa on todellista merkitystä, kannattaa matematiikan filosofiaan paneutua.

Differentiaali antaa vektorimaista tietoa paikalliseen hetkeen, joka on tietysti fysiikassa kiinnostavaa mitata; kunkin hetken tilanne jossain paikassa.

Infinitesimaali soveltuu paremmin otosjaksojen tutkimiseen; mitä tapahtuu aikajaksossa polkua pitkin. Tosin yleensä ei ole merkitystä käytetäänkö differentiaalijaksoa vai infinitesimaalia, kun yleensä on saatu ongelma redusoitua 1-riippuvaiseksi. Mikäli niin ei olisi, eipä 1‐muodoilla tod.näk. saisi oikeita tuloksia. Käsittääkseni fraktaalisissa murtoluku-ulottuvuuksissa on merkityksiä.

Kontravarianttisuus eli perinteinen vektori ottaa osoittajaansa koordinaatistosuureen. Kovektori puolestaan ottaa koordinaatistosuureen nimittäjäänsä, on gradienttinen tiheysvektori.

Kovektori on 1-muodoille vastaavaa kuin vektori vektorikentälle. Kun monistolle määritelty 1-muoto saa arvon jossain koordinaatistopisteessä, muodostuu siihen kovektori.

∇ f antaa vektorikentän, siis kovektorikentän, skalaarifunktiokentän f tiheyseroista eli positiividefiniitin magnitudin ja suunnan miten kenttä gradienttisesti jyrkimmin muuttuu tiheämmäksi.

Paljon käytetty sanasto pohjautuu traditioon. Eikö olisi viisasta puhua aina suoraan kovektorikentästä, kun sellainen kyseessä on? Toisaalta kontravektori-sanaa harvoin tapaa käytettävän. Pedantti fyysikko saati matemaatikko saattaisi turhautua löysästä termien käytöstä.

[Disputator]

Tässä muutamia kommentteja tuohon tangettiavaruusasiaa. Olen käynyt läpi sun edellisiä viestejä ja ne ovat mielestäin pääpiirteittäin oikeita. Alla kuitenkin muutama kommentti. Tää aihe on aika raskas, jos tämän käy ihan pedanttisesti läpi, eräänlainen matopurkki siis.

Monisto M, \(p\in U\subset M\). Karttakuvaus \( , \phi:U\to \phi(U)\subset \mathbb{R}^n\). Karttakuvaus on lauseke\(\phi(p)=((x^1 (p)),...,x^n (p))\).

Mun kahdessa kirjassa tehdään ero tangenttiavaruuden \(T_p M\) ja \(T_{\phi(p)} \mathbb{R}^n\) välillä. Jokainen reaalifunktio \(f:\phi(U)\to \mathbb{R}\) voidaan "nostaa" moniston M osajoukolle U kaavalla \(\hat{f} = f\circ \phi^{-1}\), jota voidaan kutsua funktion f koordinaattiesitykseksi.

Kirjat määrittelevät \(T_{\phi(p)} \mathbb{R}^n\) kantavektorit \(\partial_{\phi{p},\mu} \), lyhyesti \(\partial_{\mu}\) kuten sullakin ja sitten kirjat siirtävät nämä moniston tangenttiavaruuteen pushforvardilla (kuvausta \(\phi^{-1} \)vastaava pushforward, notaatio mulla alla hieman huono):

\(E_{p,\mu}= \phi_{*}^{-1} (\partial_{\phi(p),\mu}) \)

tai lyhyemmin:

\(E_{\mu}= \phi_{*}^{-1} (\partial_{\mu})\).

Kantavektori \(E_{\mu}\) operoi moniston M reaalifunktioihin kaavan \(E_{p,\mu}f = \partial_{\mu} (f\circ \phi^{-1})(x(p)) =\frac{\partial\hat{f}}{\partial x_{\mu}}|_{x=\phi(p)}\) mukaisesti. Tossa oikea ja vasen puoli on lähes samanlaisia ja helposti (virheellisesti pedanttisesti ottaen) samaistaa \(E_{\mu} = \partial_{\mu}\) ja \(\hat{f} =f\).

Vastaava stoori voidaan kirjoittaa duaalikannalle jolloin erotellaan \(T^{*}_p M\) ja \(T^{*}_{\phi(p)} \mathbb{R}^n\), jota en tähän nyt laita tarkemmin ja saadaan:

\(\omega^{\nu}= \phi^{*} (dx^{\nu}) \)

Tämä on kanna \(E_{\mu}\) duaalikanta, siis \(\omega^{\nu}(E_{\mu})= \delta^{\nu}_{\mu} \)

Sitten se pahamaineinen d-operaatio, heh. Tässäkin on olemassa oikeastaan kaksi eri d-operaatiota, toinen on määritelty monistolla M kaavalla df(V) = Vf, kuten jo kirjoititkin. Tämä on määritelty ilman koordinaatteja. Sitten on koordinaattiavaruudessa \(\phi(U)\subset \mathbb{R}^n\) määritelty funktion f koordinaattiesityksen \(\hat{f}\) differentiaali

\(d\hat{f} = \frac{\partial \hat{f}}{\partial x_{\mu}}dx^{\mu}\)

Allaoleva on ihan oikein laskettu, mutta tuossa ylläolevan mukaan objekteja jotka asuvat pisteen \(x(p)\in\phi(U)\subset \mathbb{R}^n\) tangentti-ja kotangenttiavaruuksissa.

Tuo dx:n olemus jäi hiukan hämäräksi. Täsmennän. Jätän pois alaindeksin p, jotta olisi selkeämpi notaatio.

Kun kirjoitan df:n siten, että T_pM:n kantavektorit \(\{ \partial_{\mu} \}\) ja komponentit ovat näkyvissä, ja sijoitan vektorin \(v=v^{\mu}\partial_{\mu}\), niin

\(df = df \left( v^{\mu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \right) = v^{\mu} \left( \frac{\partial f}{\partial x^{\mu}} \right) = v^{\mu} (\partial_{\mu} f)\),

missä gradientti df kohdistuu U:n funktioon \(f: U \to \mathbb{R}\). Koravataan f koordinaattifunktion x(p) komponenteilla \(x^{\mu}: U \to \mathbb{R}\). Sitten kirjoitetaan gradientti näille koodrinaattifunktioille \(x^{\mu}(p)\)

\(dx^{\mu} = dx^{\mu} \left( v^{\nu}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}} \right) = v^{\nu}\left( \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\nu}} \right) = v^{\mu}\).

Tässä nyt \( \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\nu}} = \delta^{\mu}_{\nu}\), minkä seurauksena jäljelle jää T_pM:n vektorin komponentti \(v^{\mu}\) (dummy \(\nu\) vaihdettu \(\mu\):ksi).

Tuo koordinaattifunktion x gradientti \(dx^{\mu} \in T^{*}_pM\) tuottaa siis vastaavan TpM:n vektorin komponentin \(v^{\mu}\). Tässä mielessä \(dx^{\mu}\) on lineaarinen funktionaali, joka operoi koordinaattifunktioon \(x^{\mu}\) ja tuottaa reaaliluvun \(v^{\mu} \in \mathbb{R}\), kuten määritelmänsä mukaan pitääkin.

Tämä dx (1-muoto) on silti pirullinen. Sitä sanotaan gradientiksi, mutta se ei ole gardienttivektori. Otuksella on monet kasvot.

 

Tuo dx on tosiaankin pirullinen ja kirjani eksplisiitttisesti varoittaa siitä!

Karttakuvaukse \(\phi(p)=((x^1 (p)),...,x^n (p))\) i:s koordinaatti on funktio sekä moniston M pisteen p ympäristössä U JA se on myös funktio joukossa \(\phi(U)\).

Siis:

\(x^i :U\to\mathbb{R}\)

Tämän differentiaali dxⁱ asuu kotangenttiavaruudessa \(T^{*}_pM\) ja se voidaan määritellä invariantisti \(dx^i(V) =Vx^i\), missä V on \(T^{*}_pM\):n vektori.

ja

\(x^i :\phi(U)\to\mathbb{R}\)

Tämän differentiaali dxⁱ asuu kotangenttiavaruudessa \(T^{*}_{\phi(p)} \mathbb{R}^n\)

Kirjani toteaa, että ylläolevan sekaannuksen tuloksena voitaisiin saada kaavoja joissa

\( \phi^{*} (dx^i) = dx^i\)

...which is nonsense (suora lainaus kirjasta). EDIT: siinä merkityksessä, että samaa symbolia käytetään dxⁱ kahden eri funktion differentiaalina.

[Eusa]

Mainittakoon, että pimeän aineen väistävä sovitusteoria MOND voitaisiin tuottaa relativistisena joko luopumalla emergenssin kautta yleisestä kovarianssista tai pitämällä kovarianssi fraktaalisesti murtoluku-ulottuvuuksin. Mitä esitystasoinen murtoluku-ulotteisuus ilmentäisi? Lähinnä tulee mieleen idea pimeästä aineesta alempiulotteisena varantona, joka halona voidaan korjata mukaan tasan 4-ulotteisessa teoriassa.

[Eusa]

Yleisesti tangenttiavaruus on määritelmällisesti laakea. Mutta esim. geodeesien selvittämisessä tangenttiavaruus voidaan asettaa sileästi kaarevaksi ja yhteiseksi tutkittavien pisteiden välille (Cartan-formulaatio).

[Disputator]

....
Mun kahdessa kirjassa tehdään ero tangenttiavaruuden \(T_p M\) ja \(T_{\phi(p)} \mathbb{R}^n\) välillä. Jokainen reaalifunktio \(f:\phi(U)\to \mathbb{R}\) voidaan "nostaa" moniston M osajoukolle U kaavalla \(\hat{f} = f\circ \phi^{-1}\), jota voidaan kutsua funktion f koordinaattiesitykseksi.
...

Mitähän mä olen höperehtinyt tossa? Munhan piti laskea "alas" moniston M osajoukossa U määritelty funktio f joukkoon \(\phi(U)\) määritellyksi funktion f koordinaattiesitykseksi \(\hat{f}\). Siis jokainen reaalifunktio \(f:U\to \mathbb{R}\) voidaan laskea alas funktioksi \(\hat{f}:\phi(U)\to \mathbb{R}\)