Sähkömagneettisen aallon olemus

[Disputator]

Minäkin muistin alunperin väärin nuo sähkö-ja magneettikenttien vaiheet, kun tähän jotain kirjoitin aikaisemmin. Pitäisi aina tarkistaa lähteistä ensin, muistiin ei ole aina luottamista.

Sitten asiaan. Onko aina sähkökenttä E ja magneettikenttä B kohtisuorassa toisiinsa nähden?

Jos \(E_1\) ja \(E_2\) ovat sähkökentän tasoaaltoja ja \(B_1\) ja \(B_2\) vastaavat magneettikentät, joille pätee kohtisuoruus \(E_1\cdot B_1 =E_2\cdot B_2 =0\) ja määritellään summakentät:

\(
\begin{align*}
E &= E_1+E_2\\
B &= B_1+B_2
\end{align*}
\)

Silloin osakenttien kohtisuoruuden perusteella:

\(E\cdot B = (E_1+E_2)\cdot (B_1+B_2) =E_1\cdot B_1 +E_1\cdot B_2 + E_2\cdot B_1+ E_2\cdot B_2= E_1\cdot B_2 + E_2\cdot B_1
\)

Hmm, tuo ei aina ole kai nolla? Jos mulla on kaksi sähkökentän tasoaaltoa:

\(
\begin{align*}
E_1&=(0,E_0 \sin(\omega t-k x),0)\\
E_2&= (0,0,E_0 \sin(\omega t-k y))
\end{align*}
\)

Kenttä \(E_1\) etenee x-akselin suunnassa (kenttä y-akselin suuntainen) ja \(E_2\) etenee y-akselin suunnassa (kenttä z-akselin suuntainen)

Vastaavat magneettikentät:

\(
\begin{align*}
B_1&=(0,0,-\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k x))\\
B_2&= (-\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k y),0,0)
\end{align*}
\)

Kenttä \(B_1\) etenee x-akselin suunnassa (kenttä z-akselin suuntainen) ja \(B_2\) etenee y-akselin suunnassa (kenttä x-akselin suuntainen) EDIT: korjattu x-akselin suuntainen-> z-akselin suuntainen kentässä \(B_1\)

Laskemalla saadaan:

\(E\cdot B=E_2\cdot B_1= -\frac{E_{0}^2}{\omega}\sin(\omega t-k x)\sin(\omega t-k y)\).

Jos en nyt vallan väärin laskenut, niin eihän tuo ole aina nolla, joten E ja B ei aina kohtisuorassa toisiinsa, vai menikö tässä joku nyt pieleen?

[QS]

Minäkin muistin alunperin väärin nuo sähkö-ja magneettikenttien vaiheet, kun tähän jotain kirjoitin aikaisemmin. Pitäisi aina tarkistaa lähteistä ensin, muistiin ei ole aina luottamista.

Sitten asiaan. Onko aina sähkökenttä E ja magneettikenttä B kohtisuorassa toisiinsa nähden?

Jos \(E_1\) ja \(E_2\) ovat sähkökentän tasoaaltoja ja \(B_1\) ja \(B_2\) vastaavat magneettikentät, joille pätee kohtisuoruus \(E_1\cdot B_1 =E_2\cdot B_2 =0\) ja määritellään summakentät:

\(
\begin{align*}
E &= E_1+E_2\\
B &= B_1+B_2
\end{align*}
\)

Silloin osakenttien kohtisuoruuden perusteella:

\(E\cdot B = (E_1+E_2)\cdot (B_1+B_2) =E_1\cdot B_1 +E_1\cdot B_2 + E_2\cdot B_1+ E_2\cdot B_2= E_1\cdot B_2 + E_2\cdot B_1
\)

Hmm, tuo ei aina ole kai nolla? Jos mulla on kaksi sähkökentän tasoaaltoa:

\(
\begin{align*}
E_1&=(0,E_0 \sin(\omega t-k x),0)\\
E_2&= (0,0,E_0 \sin(\omega t-k y))
\end{align*}
\)

Kenttä \(E_1\) etenee x-akselin suunnassa (kenttä y-akselin suuntainen) ja \(E_2\) etenee y-akselin suunnassa (kenttä z-akselin suuntainen)

Vastaavat magneettikentät:

\(
\begin{align*}
B_1&=(0,0,-\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k x))\\
B_2&= (-\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k y),0,0)
\end{align*}
\)

Kenttä \(B_1\) etenee x-akselin suunnassa (kenttä z-akselin suuntainen) ja \(B_2\) etenee y-akselin suunnassa (kenttä x-akselin suuntainen) EDIT: korjattu x-akselin suuntainen-> z-akselin suuntainen kentässä \(B_1\)

Laskemalla saadaan:

\(E\cdot B=E_2\cdot B_1= -\frac{E_{0}^2}{\omega}\sin(\omega t-k x)\sin(\omega t-k y)\).

Jos en nyt vallan väärin laskenut, niin eihän tuo ole aina nolla, joten E ja B ei aina kohtisuorassa toisiinsa, vai menikö tässä joku nyt pieleen?

Sain Maxwellin yhtälöt toteutumaan kentille \(E = E_1 + E_2\) ja \(B = B_1 + B_2\), kun muutin etumerkit siten, että

\(
\begin{align*}
B_1&=(0,0,\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k x))\\
B_2&= (\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k y),0,0)
\end{align*}
\)

Mielestäni näin \((E_1,B_1)\) etenee +x suuntaan ja \((E_2,B_2)\) etenee +y suuntaan. Tosin niin paljon etumerkkisopimuksia joka puolella, että silmät ja aivot saattoivat mennä solmuun.

Mutta totta, että etumerkkien jälkeenkin komponentit \(E\) ja \(B\) eivät ole kohtisuorassa munkaan mielestä!

Jos laskin oikein, niin

\(E \cdot B = \dfrac{E_0^2 k}{\omega} \sin (\omega t-kx ) \sin (\omega t-ky )\)

[Disputator]

Minäkin muistin alunperin väärin nuo sähkö-ja magneettikenttien vaiheet, kun tähän jotain kirjoitin aikaisemmin. Pitäisi aina tarkistaa lähteistä ensin, muistiin ei ole aina luottamista.

Sitten asiaan. Onko aina sähkökenttä E ja magneettikenttä B kohtisuorassa toisiinsa nähden?

Jos \(E_1\) ja \(E_2\) ovat sähkökentän tasoaaltoja ja \(B_1\) ja \(B_2\) vastaavat magneettikentät, joille pätee kohtisuoruus \(E_1\cdot B_1 =E_2\cdot B_2 =0\) ja määritellään summakentät:

\(
\begin{align*}
E &= E_1+E_2\\
B &= B_1+B_2
\end{align*}
\)

Silloin osakenttien kohtisuoruuden perusteella:

\(E\cdot B = (E_1+E_2)\cdot (B_1+B_2) =E_1\cdot B_1 +E_1\cdot B_2 + E_2\cdot B_1+ E_2\cdot B_2= E_1\cdot B_2 + E_2\cdot B_1
\)

Hmm, tuo ei aina ole kai nolla? Jos mulla on kaksi sähkökentän tasoaaltoa:

\(
\begin{align*}
E_1&=(0,E_0 \sin(\omega t-k x),0)\\
E_2&= (0,0,E_0 \sin(\omega t-k y))
\end{align*}
\)

Kenttä \(E_1\) etenee x-akselin suunnassa (kenttä y-akselin suuntainen) ja \(E_2\) etenee y-akselin suunnassa (kenttä z-akselin suuntainen)

Vastaavat magneettikentät:

\(
\begin{align*}
B_1&=(0,0,-\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k x))\\
B_2&= (-\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k y),0,0)
\end{align*}
\)

Kenttä \(B_1\) etenee x-akselin suunnassa (kenttä z-akselin suuntainen) ja \(B_2\) etenee y-akselin suunnassa (kenttä x-akselin suuntainen) EDIT: korjattu x-akselin suuntainen-> z-akselin suuntainen kentässä \(B_1\)

Laskemalla saadaan:

\(E\cdot B=E_2\cdot B_1= -\frac{E_{0}^2}{\omega}\sin(\omega t-k x)\sin(\omega t-k y)\).

Jos en nyt vallan väärin laskenut, niin eihän tuo ole aina nolla, joten E ja B ei aina kohtisuorassa toisiinsa, vai menikö tässä joku nyt pieleen?

Sain Maxwellin yhtälöt toteutumaan kentille \(E = E_1 + E_2\) ja \(B = B_1 + B_2\), kun muutin etumerkit siten, että

\(
\begin{align*}
B_1&=(0,0,\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k x))\\
B_2&= (\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k y),0,0)
\end{align*}
\)

Mielestäni näin \((E_1,B_1)\) etenee +x suuntaan ja \((E_2,B_2)\) etenee +y suuntaan. Tosin niin paljon etumerkkisopimuksia joka puolella, että silmät ja aivot saattoivat mennä solmuun.

Mutta totta, että etumerkkien jälkeenkin komponentit \(E\) ja \(B\) eivät ole kohtisuorassa munkaan mielestä!

 

Yes! Miinnusmerkki unohtui mulla tuosta Faradayn laista eli mulla oli käytössä \(\nabla \times E = \frac{\partial B}{\partial t}\) kun tuon piti olla \(\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}\). Eikös nuo munkin (vääränmerkkiset) aallot etene +x ja +y suuntaan?

[QS]

Minäkin muistin alunperin väärin nuo sähkö-ja magneettikenttien vaiheet, kun tähän jotain kirjoitin aikaisemmin. Pitäisi aina tarkistaa lähteistä ensin, muistiin ei ole aina luottamista.

Sitten asiaan. Onko aina sähkökenttä E ja magneettikenttä B kohtisuorassa toisiinsa nähden?

Jos \(E_1\) ja \(E_2\) ovat sähkökentän tasoaaltoja ja \(B_1\) ja \(B_2\) vastaavat magneettikentät, joille pätee kohtisuoruus \(E_1\cdot B_1 =E_2\cdot B_2 =0\) ja määritellään summakentät:

\(
\begin{align*}
E &= E_1+E_2\\
B &= B_1+B_2
\end{align*}
\)

Silloin osakenttien kohtisuoruuden perusteella:

\(E\cdot B = (E_1+E_2)\cdot (B_1+B_2) =E_1\cdot B_1 +E_1\cdot B_2 + E_2\cdot B_1+ E_2\cdot B_2= E_1\cdot B_2 + E_2\cdot B_1
\)

Hmm, tuo ei aina ole kai nolla? Jos mulla on kaksi sähkökentän tasoaaltoa:

\(
\begin{align*}
E_1&=(0,E_0 \sin(\omega t-k x),0)\\
E_2&= (0,0,E_0 \sin(\omega t-k y))
\end{align*}
\)

Kenttä \(E_1\) etenee x-akselin suunnassa (kenttä y-akselin suuntainen) ja \(E_2\) etenee y-akselin suunnassa (kenttä z-akselin suuntainen)

Vastaavat magneettikentät:

\(
\begin{align*}
B_1&=(0,0,-\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k x))\\
B_2&= (-\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k y),0,0)
\end{align*}
\)

Kenttä \(B_1\) etenee x-akselin suunnassa (kenttä z-akselin suuntainen) ja \(B_2\) etenee y-akselin suunnassa (kenttä x-akselin suuntainen) EDIT: korjattu x-akselin suuntainen-> z-akselin suuntainen kentässä \(B_1\)

Laskemalla saadaan:

\(E\cdot B=E_2\cdot B_1= -\frac{E_{0}^2}{\omega}\sin(\omega t-k x)\sin(\omega t-k y)\).

Jos en nyt vallan väärin laskenut, niin eihän tuo ole aina nolla, joten E ja B ei aina kohtisuorassa toisiinsa, vai menikö tässä joku nyt pieleen?

Sain Maxwellin yhtälöt toteutumaan kentille \(E = E_1 + E_2\) ja \(B = B_1 + B_2\), kun muutin etumerkit siten, että

\(
\begin{align*}
B_1&=(0,0,\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k x))\\
B_2&= (\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k y),0,0)
\end{align*}
\)

Mielestäni näin \((E_1,B_1)\) etenee +x suuntaan ja \((E_2,B_2)\) etenee +y suuntaan. Tosin niin paljon etumerkkisopimuksia joka puolella, että silmät ja aivot saattoivat mennä solmuun.

Mutta totta, että etumerkkien jälkeenkin komponentit \(E\) ja \(B\) eivät ole kohtisuorassa munkaan mielestä!

 

Yes! Miinnusmerkki unohtui mulla tuosta Faradayn laista eli mulla oli käytössä \(\nabla \times E = \frac{\partial B}{\partial t}\) kun tuon piti olla \(\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}\). Eikös nuo munkin (vääränmerkkiset) aallot etene +x ja +y suuntaan?

Aivan siitä se tuli. Jos käytän miinusta \(B_1\)-kentän edessä, niin sain nopeasti laskemalla, että

\(E_1 \times B_1 = \left(-\dfrac{E_0^2 k}{\omega} \sin ^2(t \omega - k x ),0,0\right)\)

mikä tarkoittaisi etenemistä -x suuntaan. Tässä nuo \(\sin^2()\) ja \(\dfrac{E_0^2 k}{\omega}\) ovat positiivisia aina. Vai menikö oikein?

[Kontra]

Minäkin muistin alunperin väärin nuo sähkö-ja magneettikenttien vaiheet, kun tähän jotain kirjoitin aikaisemmin. Pitäisi aina tarkistaa lähteistä ensin, muistiin ei ole aina luottamista.

Sitten asiaan. Onko aina sähkökenttä E ja magneettikenttä B kohtisuorassa toisiinsa nähden?

Jos \(E_1\) ja \(E_2\) ovat sähkökentän tasoaaltoja ja \(B_1\) ja \(B_2\) vastaavat magneettikentät, joille pätee kohtisuoruus \(E_1\cdot B_1 =E_2\cdot B_2 =0\) ja määritellään summakentät:

\(
\begin{align*}
E &= E_1+E_2\\
B &= B_1+B_2
\end{align*}
\)

Silloin osakenttien kohtisuoruuden perusteella:

\(E\cdot B = (E_1+E_2)\cdot (B_1+B_2) =E_1\cdot B_1 +E_1\cdot B_2 + E_2\cdot B_1+ E_2\cdot B_2= E_1\cdot B_2 + E_2\cdot B_1
\)

Hmm, tuo ei aina ole kai nolla? Jos mulla on kaksi sähkökentän tasoaaltoa:

\(
\begin{align*}
E_1&=(0,E_0 \sin(\omega t-k x),0)\\
E_2&= (0,0,E_0 \sin(\omega t-k y))
\end{align*}
\)

Kenttä \(E_1\) etenee x-akselin suunnassa (kenttä y-akselin suuntainen) ja \(E_2\) etenee y-akselin suunnassa (kenttä z-akselin suuntainen)

Vastaavat magneettikentät:

\(
\begin{align*}
B_1&=(0,0,-\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k x))\\
B_2&= (-\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k y),0,0)
\end{align*}
\)

Kenttä \(B_1\) etenee x-akselin suunnassa (kenttä z-akselin suuntainen) ja \(B_2\) etenee y-akselin suunnassa (kenttä x-akselin suuntainen) EDIT: korjattu x-akselin suuntainen-> z-akselin suuntainen kentässä \(B_1\)

Laskemalla saadaan:

\(E\cdot B=E_2\cdot B_1= -\frac{E_{0}^2}{\omega}\sin(\omega t-k x)\sin(\omega t-k y)\).

Jos en nyt vallan väärin laskenut, niin eihän tuo ole aina nolla, joten E ja B ei aina kohtisuorassa toisiinsa, vai menikö tässä joku nyt pieleen?

Sain Maxwellin yhtälöt toteutumaan kentille \(E = E_1 + E_2\) ja \(B = B_1 + B_2\), kun muutin etumerkit siten, että

\(
\begin{align*}
B_1&=(0,0,\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k x))\\
B_2&= (\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k y),0,0)
\end{align*}
\)

Mielestäni näin \((E_1,B_1)\) etenee +x suuntaan ja \((E_2,B_2)\) etenee +y suuntaan. Tosin niin paljon etumerkkisopimuksia joka puolella, että silmät ja aivot saattoivat mennä solmuun.

Mutta totta, että etumerkkien jälkeenkin komponentit \(E\) ja \(B\) eivät ole kohtisuorassa munkaan mielestä!

 

Yes! Miinnusmerkki unohtui mulla tuosta Faradayn laista eli mulla oli käytössä \(\nabla \times E = \frac{\partial B}{\partial t}\) kun tuon piti olla \(\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}\). Eikös nuo munkin (vääränmerkkiset) aallot etene +x ja +y suuntaan?

Aivan siitä se tuli. Jos käytän miinusta \(B_1\)-kentän edessä, niin sain nopeasti laskemalla, että

\(E_1 \times B_1 = \left(-\dfrac{E_0^2 k}{\omega} \sin ^2(t \omega - k x ),0,0\right)\)

mikä tarkoittaisi etenemistä -x suuntaan. Tässä nuo \(\sin^2()\) ja \(\dfrac{E_0^2 k}{\omega}\) ovat positiivisia aina. Vai menikö oikein?

Ohhoh, onpas pojat vauhdissa?
Mutta kyllä minä sentään vielä uskon vanhohin dokumentteihin, että kentät ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden - käykääpäs laskelmanne vielä läpi.

Ja selvittäkääpä fysiikka, miksi sm-aalto ylipäänsä etenee ja tietyyn suuntaan? 

[Disputator]

Minäkin muistin alunperin väärin nuo sähkö-ja magneettikenttien vaiheet, kun tähän jotain kirjoitin aikaisemmin. Pitäisi aina tarkistaa lähteistä ensin, muistiin ei ole aina luottamista.

Sitten asiaan. Onko aina sähkökenttä E ja magneettikenttä B kohtisuorassa toisiinsa nähden?

Jos \(E_1\) ja \(E_2\) ovat sähkökentän tasoaaltoja ja \(B_1\) ja \(B_2\) vastaavat magneettikentät, joille pätee kohtisuoruus \(E_1\cdot B_1 =E_2\cdot B_2 =0\) ja määritellään summakentät:

\(
\begin{align*}
E &= E_1+E_2\\
B &= B_1+B_2
\end{align*}
\)

Silloin osakenttien kohtisuoruuden perusteella:

\(E\cdot B = (E_1+E_2)\cdot (B_1+B_2) =E_1\cdot B_1 +E_1\cdot B_2 + E_2\cdot B_1+ E_2\cdot B_2= E_1\cdot B_2 + E_2\cdot B_1
\)

Hmm, tuo ei aina ole kai nolla? Jos mulla on kaksi sähkökentän tasoaaltoa:

\(
\begin{align*}
E_1&=(0,E_0 \sin(\omega t-k x),0)\\
E_2&= (0,0,E_0 \sin(\omega t-k y))
\end{align*}
\)

Kenttä \(E_1\) etenee x-akselin suunnassa (kenttä y-akselin suuntainen) ja \(E_2\) etenee y-akselin suunnassa (kenttä z-akselin suuntainen)

Vastaavat magneettikentät:

\(
\begin{align*}
B_1&=(0,0,-\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k x))\\
B_2&= (-\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k y),0,0)
\end{align*}
\)

Kenttä \(B_1\) etenee x-akselin suunnassa (kenttä z-akselin suuntainen) ja \(B_2\) etenee y-akselin suunnassa (kenttä x-akselin suuntainen) EDIT: korjattu x-akselin suuntainen-> z-akselin suuntainen kentässä \(B_1\)

Laskemalla saadaan:

\(E\cdot B=E_2\cdot B_1= -\frac{E_{0}^2}{\omega}\sin(\omega t-k x)\sin(\omega t-k y)\).

Jos en nyt vallan väärin laskenut, niin eihän tuo ole aina nolla, joten E ja B ei aina kohtisuorassa toisiinsa, vai menikö tässä joku nyt pieleen?

Sain Maxwellin yhtälöt toteutumaan kentille \(E = E_1 + E_2\) ja \(B = B_1 + B_2\), kun muutin etumerkit siten, että

\(
\begin{align*}
B_1&=(0,0,\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k x))\\
B_2&= (\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k y),0,0)
\end{align*}
\)

Mielestäni näin \((E_1,B_1)\) etenee +x suuntaan ja \((E_2,B_2)\) etenee +y suuntaan. Tosin niin paljon etumerkkisopimuksia joka puolella, että silmät ja aivot saattoivat mennä solmuun.

Mutta totta, että etumerkkien jälkeenkin komponentit \(E\) ja \(B\) eivät ole kohtisuorassa munkaan mielestä!

 

Yes! Miinnusmerkki unohtui mulla tuosta Faradayn laista eli mulla oli käytössä \(\nabla \times E = \frac{\partial B}{\partial t}\) kun tuon piti olla \(\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}\). Eikös nuo munkin (vääränmerkkiset) aallot etene +x ja +y suuntaan?

Aivan siitä se tuli. Jos käytän miinusta \(B_1\)-kentän edessä, niin sain nopeasti laskemalla, että

\(E_1 \times B_1 = \left(-\dfrac{E_0^2 k}{\omega} \sin ^2(t \omega - k x ),0,0\right)\)

mikä tarkoittaisi etenemistä -x suuntaan. Tässä nuo \(\sin^2()\) ja \(\dfrac{E_0^2 k}{\omega}\) ovat positiivisia aina. Vai menikö oikein?

 

Noin päätellen kyllä vaikuttaisi juuri siltä mitä sanot. Tuo osa-aallon \((E_1,B_1)\) Poyntingin vektori \(S_1 = \frac{1}{\mu_0}E_1\times B_1\) vaihtaa suuntaa, jos etumerkkiä vaihdetaan toisessa vektorissa. Hmm, tätä täytyy pohtia ajan kanssa. Mulla oli taasen se ajatus, että lauseke \(\omega t-k x\) määrää aallon suunnan, mutta täytyy miettiä vielä asiaa ajan kanssa.

Vai olisiko sittenkin niin, että ylimääräinen miinus tuli laskuvirheestä, mutta jos laskut on laskettu oikein, niin toisen vektorin etumerkin vaihto muuttaa myös toisen etumerkin eli voidaan kirjoittaa:

\(S_1 = \frac{1}{\mu_0}E_1\times B_1=\frac{1}{\mu_0}(-E_1)\times (-B_1)\) ?

[QS]

Minäkin muistin alunperin väärin nuo sähkö-ja magneettikenttien vaiheet, kun tähän jotain kirjoitin aikaisemmin. Pitäisi aina tarkistaa lähteistä ensin, muistiin ei ole aina luottamista.

Sitten asiaan. Onko aina sähkökenttä E ja magneettikenttä B kohtisuorassa toisiinsa nähden?

Jos \(E_1\) ja \(E_2\) ovat sähkökentän tasoaaltoja ja \(B_1\) ja \(B_2\) vastaavat magneettikentät, joille pätee kohtisuoruus \(E_1\cdot B_1 =E_2\cdot B_2 =0\) ja määritellään summakentät:

\(
\begin{align*}
E &= E_1+E_2\\
B &= B_1+B_2
\end{align*}
\)

Silloin osakenttien kohtisuoruuden perusteella:

\(E\cdot B = (E_1+E_2)\cdot (B_1+B_2) =E_1\cdot B_1 +E_1\cdot B_2 + E_2\cdot B_1+ E_2\cdot B_2= E_1\cdot B_2 + E_2\cdot B_1
\)

Hmm, tuo ei aina ole kai nolla? Jos mulla on kaksi sähkökentän tasoaaltoa:

\(
\begin{align*}
E_1&=(0,E_0 \sin(\omega t-k x),0)\\
E_2&= (0,0,E_0 \sin(\omega t-k y))
\end{align*}
\)

Kenttä \(E_1\) etenee x-akselin suunnassa (kenttä y-akselin suuntainen) ja \(E_2\) etenee y-akselin suunnassa (kenttä z-akselin suuntainen)

Vastaavat magneettikentät:

\(
\begin{align*}
B_1&=(0,0,-\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k x))\\
B_2&= (-\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k y),0,0)
\end{align*}
\)

Kenttä \(B_1\) etenee x-akselin suunnassa (kenttä z-akselin suuntainen) ja \(B_2\) etenee y-akselin suunnassa (kenttä x-akselin suuntainen) EDIT: korjattu x-akselin suuntainen-> z-akselin suuntainen kentässä \(B_1\)

Laskemalla saadaan:

\(E\cdot B=E_2\cdot B_1= -\frac{E_{0}^2}{\omega}\sin(\omega t-k x)\sin(\omega t-k y)\).

Jos en nyt vallan väärin laskenut, niin eihän tuo ole aina nolla, joten E ja B ei aina kohtisuorassa toisiinsa, vai menikö tässä joku nyt pieleen?

Sain Maxwellin yhtälöt toteutumaan kentille \(E = E_1 + E_2\) ja \(B = B_1 + B_2\), kun muutin etumerkit siten, että

\(
\begin{align*}
B_1&=(0,0,\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k x))\\
B_2&= (\frac{E_0 k}{\omega} \sin(\omega t-k y),0,0)
\end{align*}
\)

Mielestäni näin \((E_1,B_1)\) etenee +x suuntaan ja \((E_2,B_2)\) etenee +y suuntaan. Tosin niin paljon etumerkkisopimuksia joka puolella, että silmät ja aivot saattoivat mennä solmuun.

Mutta totta, että etumerkkien jälkeenkin komponentit \(E\) ja \(B\) eivät ole kohtisuorassa munkaan mielestä!

 

Yes! Miinnusmerkki unohtui mulla tuosta Faradayn laista eli mulla oli käytössä \(\nabla \times E = \frac{\partial B}{\partial t}\) kun tuon piti olla \(\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}\). Eikös nuo munkin (vääränmerkkiset) aallot etene +x ja +y suuntaan?

Aivan siitä se tuli. Jos käytän miinusta \(B_1\)-kentän edessä, niin sain nopeasti laskemalla, että

\(E_1 \times B_1 = \left(-\dfrac{E_0^2 k}{\omega} \sin ^2(t \omega - k x ),0,0\right)\)

mikä tarkoittaisi etenemistä -x suuntaan. Tässä nuo \(\sin^2()\) ja \(\dfrac{E_0^2 k}{\omega}\) ovat positiivisia aina. Vai menikö oikein?

Noin päätellen kyllä vaikuttaisi juuri siltä mitä sanot. Tuo osa-aallon \((E_1,B_1)\) Poyntingin vektori \(S_1 = \frac{1}{\mu_0}E_1\times B_1\) vaihtaa suuntaa, jos etumerkkiä vaihdetaan toisessa vektorissa. Hmm, tätä täytyy pohtia ajan kanssa. Mulla oli taasen se ajatus, että lauseke \(\omega t-k x\) määrää aallon suunnan, mutta täytyy miettiä vielä asiaa ajan kanssa.


 

Joo, tämä on oma pieni sivuhaaransa. Tässähän on nyt voimassa

\(\sin(kx-\omega t )=\sin(-(\omega t - kx)) = -\sin(\omega t - kx)\)

mikä tarkoittaa sitä, että lauseke \(\omega t - kx\) voidaan sopia kirjoitettavaksi joko \(\omega t - kx\) tai \(kx-\omega t\), mutta kun valinnan tekee, niin pitää noudattaa joka kohdassa.

Kun vaihtaa \(\omega t - kx \to kx-\omega t\), niin sinin etumerkki muuttuu kaikkialla, joten se ei lopulta vaikuta. Cos-funktion tapauksessa etumerkkikään ei muutu, \(\cos(kx-\omega t ) = \cos(\omega t - kx)\).

Toisaalta nuo sopimukset voi jättää tekemättä, sillä lauseke on peräisin aaltovektorin \(k=(\frac{\omega}{c},\mathbf{k})\) ja paikkavektorin x Minkowski-sisätulosta \(k^\mu x_\mu = \mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega t\), missä

\(k^\mu=(\frac{\omega}{c},k_1,k_2,k_3)\)

tai

\(k_\mu=(\frac{\omega}{c},-k_1,-k_2,-k_3)\)

Tässä \(k\) ja \(x\) ovat nelivektoreita, joten \(k^\mu x_\mu\) on Lorentzinvariantti, ja siitä ei tarvitse huolehtia, kun tehdään aallon Lorentzmuunnoksia. Mahdollinen vaihe-ero \(\phi\) ei vaikuta sillä on skalaari.

Lisäksi valolle pätee \(k_\mu k^\mu = 0\), mistä seuraa se, että \(\frac{\omega}{|\textbf{k}|}=c\). Aaltovektorin avaruudellisen osan normi \(|\textbf{k}|=2 \pi / \lambda\), missä \(\lambda\) on aallonpituus.

Metriikan signatuurista riippuen saa joko lausekkeen \(\omega t - kx\) tai sitten \(kx-\omega t\). Valinta ei vaikuta tulokseen, ellei tee etumerkkivirheitä kuten minä usein.

[Disputator]

Palaan tuohon sun viimeiseen viestiisi tarkemmin myöhemmin. Huomasin vähän kirjoitelleeni epämääräisesti aallon liikkeen suunnasta.

Jos on annettu aaltoliike \(E= E_0 \sin(\omega t-kx) \), niin siinä on implisiittisesti oletus että \(\omega>0\), koska yleensä \(\omega\) liittyy aallon taajuuten f kaavalla \(\omega=2\pi f\), missä f on taajuus, joka on positiiivinen luku, yksiköissä Hz.

Aaltoluku k voi olla sitten positiivinen tai negatiivinen, se koodaa aallon etenemisuunnan. Jos \(k>0\), aalto etenee positiivisen x-akselin suuntaan ja jos \(k<0\) aalto etenee negatiivisen x-akselin suuntaan. Mulla oli implisiitisenä olettamuksena se, että \(k>0\). Siksi kirjoitin aallon suunnasta positiiviseen suuntaan, joka ei tietenkään ollut perusteltua, koska aallon suunta riippuu k:n arvosta.

Eli jos \(k>0\) niin mun mielestä sekä \(E= E_0 \sin(\omega t-kx) \) ja \(E= -E_0 \sin(\omega t-kx) \) etenevät positiivisen x-akselin suuntaan.

[pähkäilijä]

Tottakai ovat eri suureita mutta kumpikin saa työtä tehdyksi, tässä tapauksessa liikemäärä murto-osan koko paketista. Pointti on energian erikoinen laatu sillä ei ole suosikkisuuntaa. Jos sille annetaan suunta, sen suuruus valkenee ihmiselle joka ei ymmärrä fysiikkaa. Laitetaan purjeiden tilalle aurinkopaneelit (20m^2) ja johdetaan virta potkuriakselille. Näin eron huomaa kun kaikki energia kanavoituu yhteen suuntaan.
Eli tästä voidaan ajatella että suosikkisuunnan puuttuminen muuttaisi kaiken lämmöksi. Jos suosikkisuunta vaikuttaisi 50% niin lämpöä syntyisi vain 50% ja loput olisi purren liike-energiana.
Eikö lämpökin ole itse asiassa liike-energiaa? Siis kyse on vaan sen suunnasta.

En täysin ymmärtänyt, mutta viestissäsi oli jotain totuuksia, vaikkakin kaksi suuretta (energia ja liikemäärä) ovat hiukan sotkussa. Laitetaan nämä ensin järjestykseen.

Esimerkiksi z-akselin suunnassa etenevän sm-aallon energia-impulssitensorissa on vain muutama nollasta poikkeava komponentti: energiatiheys (T₀₀), energiavuo (T₃₀), liikemäärän tiheys (T₀₃) ja paine eli liikemäärän vuo (T₃₃).

Aalto kuljettaa energiaa ja liikemäärää vain z-akselin suunnassa (T₃₀ ja T₀₃). Säteilypaine (T₃₃) on myös z-akselin suuntainen.

Kun aalto absorboituu purjeeseen täysin, siirtyy z-akselin suuntainen liikemäärä täysin purjeeseen. Sama tilanne, kun aalto heijastuu purjeesta. Tuo z-akselin suuntainen lineaarinen liikemäärä säilyy aina, ja kaikki liikemäärä siirtyy z-akselin suunnassa. Joko purjeeseen tai purjeesta heijastuvaan aaltoon jne.

Toinen mahdollisuus on se, että aalto osuu varattuun hiukkaseen, johon kohdistuu Lorentzin voima, mutta aalto ei absorboidu. Tämä voimavektori voi olla x- tai y-akselin suuntainen. Tilanteen voisi käsitellä klassisella sirontateorialla ja myös kvanttielektrodynamiikalla, mutta periaate on tämä:

Kun hiukkanen saa liikemäärää Lorentzin voiman seurauksena esim. x-akselin suuntaan, niin samalla z-akselin suunnassa etenevän sm-aallon liikemäärä muuttuu siten, että se siroaa osin -x-akselin suuntaan. Tämä on seuraus liikemäärän säilymisestä. Vuorovaikutus varatun hiukkasen kanssa johtaa siihen, että kumpikin saa liikemäärän, mutta vastakkaisiin suuntiin, eli siis hiukkanen x-akselin suuntaan ja aalto saman verran vastakkaiseen suuntaan.

Samalla osa aallon sähkömagneettisen energian tiheydestä (T₀₀) siirtyy varatun hiukkasen liike-energiaksi. Aallon energiatiheys pienenee, ja sen kuljettama energiavuo (T₃₀ plus sironnan jälkeinen x-suuntainen energiavuo T₁₀) pienenee.

Ja sama liikemäärän tiheyden ja paineen komponenteille. Aallon komponentit pienenvät, kun osaa liikemäärästä siirtyy varattuun hiukkaseen.

Kun prosessi jatkuu tarpeeksi kauan purjeen rakenteissa, siirtyy aallon liikemäärä ja energia kokonaan varattuihin hiukkasiin.

Lyhyesti: täysin absorboituneen tai heijastuneen aallon liikemäärä siirtyy täysin purjeeseen, ja se on vain z-akselin suuntaista. Vuorovaikutuksissa (ilmenevät liikemääränä, lämpönä, rakenteen rikkoutumisena jne) liikemäärävektorit voivat olla muunkin kuin z-akselin suuntaisia, mutta kuitenkin siten, että liikemäärä ja energia säilyvät aina erikseen. Nämä muut vuorovaikutukset voivat olla hyvin monenlaisia ja riippuvat materiaalista, jonka aalto kohtaa.

------
viestin kirjoittaja pyynnöstä muokattu yksi lause klo 16:12 /-mode

Kun ei ole pohjia niin asiat on sumeita. Tarkoittaako varattu hiukkanen elektronia joka kiertää ydintä vai ionisoitunutta elektronia? Käsittääkseni molempia.
Mutta selitän uudella lailla suosikkisuunta sanan. Voimakas säteilijä lähettää minuutin aaltoja troolarin runkoon. Oletetaan että aallot reagoi vain x akselin suuntaan. Troolarin akseliteho on 100kW. Säteilijän teho on kanssa 100kW. X akseli on vastakkaiseen suuntaan troolarin menosuuntaan nähden, siis se jarruttaa sitä.
Näin x akselin suunta on suosikkisuunta, kaikki aallot jarruttaa troolaria mikä toki on luonnossa mahdotonta. Mutta jos oletetaan kuitenkin tällainen tilanne niin eikö troolari hidastuisi?

Lisäys:
Tietysti jo aallon lähdössä kaikkien x akselit pitäisi osoittaa samaan suuntaan.

[QS]

Palaan tuohon sun viimeiseen viestiisi tarkemmin myöhemmin. Huomasin vähän kirjoitelleeni epämääräisesti aallon liikkeen suunnasta.

Jos on annettu aaltoliike \(E= E_0 \sin(\omega t-kx) \), niin siinä on implisiittisesti oletus että \(\omega>0\), koska yleensä \(\omega\) liittyy aallon taajuuten f kaavalla \(\omega=2\pi f\), missä f on taajuus, joka on positiiivinen luku, yksiköissä Hz.

Aaltoluku k voi olla sitten positiivinen tai negatiivinen, se koodaa aallon etenemisuunnan. Jos \(k>0\), aalto etenee positiivisen x-akselin suuntaan ja jos \(k<0\) aalto etenee negatiivisen x-akselin suuntaan. Mulla oli implisiitisenä olettamuksena se, että \(k>0\). Siksi kirjoitin aallon suunnasta positiiviseen suuntaan, joka ei tietenkään ollut perusteltua, koska aallon suunta riippuu k:n arvosta.

Eli jos \(k>0\) niin mun mielestä sekä \(E= E_0 \sin(\omega t-kx) \) ja \(E= -E_0 \sin(\omega t-kx) \) etenevät positiivisen x-akselin suuntaan.

Joo kyllä, kulmataajuus määritellään \(\omega=\frac{c}{|\mathbf{k}|}\), missä \(|\mathbf{k}|\) on aaltovektorin (3-vektori) normi. Näin määritelty \(\omega\) on aina positiivinen.

Vapaassa tasoaalloissa aaltovektori \(\mathbf{k}=(k_1,k_2,k_3)\) on aallon etenemisen suuntainen. Yleisesti etenemissuunta ei aina päde, mutta yksinkertaisessa tasoaallossa kyllä.

Jos nyt poimitaan vain E-komponentti, niin sen voi kirjoittaa kahdessa mahdollisessa muodossa

\(\begin{align*}
E(x,t)&=(0,\ \pm E_0 \sin(\omega t-k x)\ ,0)\\
E(x,t)&=(0,\ \pm E_0 \sin(kx-\omega t)\ ,0)\\
\end{align*}\)

missä \(\pm\) on vapaasti valittavissa. Kun aaltoluku \(k>0\), etenee aalto +x suuntaan, ja \(k<0\) etenee -x suuntaan. Ryhmänopeus \(v_g=\frac{\omega}{k}\), missä etenemisen suunta näkyy etumerkkinä, joka riippuu k:n arvosta.

Tuon k:n etumerkin voi kyllä kääntää myös vaiheen lausekkeessa, jolloin ne ovat \(\omega t+k x\) ja \(-kx-\omega t\).

Mutta taidan perua sanojani metriikan signatuurista. Jos sitä kautta valitaan edellisistä E:n lausekkeista jompi kumpi, niin samalla vaihe siirtyy \(\pi\) verran. Ne eivät ole identtisiä, ellei sitten samalla vaihda edessä olevaa \(\pm\).

Tämä signatuuri on jäänyt mulla mieleen kvanttikentän aalloista, joissa mun mielestä signatuuri näkyy aaltojen eksponenttimuodossa. Hmm. No, täytyy miettiä.