Boldasin vektorit, toivottavasti on oikein? \( \mathbf{r'} = \mathbf{r} \cos \phi +\mathbf{n}(\mathbf{n}\cdot \mathbf{r})(1-\cos \phi) + (\mathbf{r}\times \mathbf{n})\sin\phi\)Disputator kirjoitti: ↑19 Elo 2023, 18:40Tässä eräistä mekaniikan ym. oppikirjoista löytyvä kaava, joka on ihan kätevä, mutta mitä siinä oikein lasketaan:
\(r' = r \cos \phi +n(n\cdot r)(1-\cos \phi) + (r\times n)\sin\phi\)
Kaavassa r, r' ja n ovat vektoriavaruuden R3 vektoreita ja ne pitäisi olla oikeassa notaatiossa boldattuja, mutta tuo editorin boldaus B ja LaTeX eivät ymmärrä toisiaan (nähtävästi?) ja en nyt viitsi boldata LaTeXilla. Kaava on kai vähän vähemmän tunnettu perusoppikirjoissa, mutta se on tosiaan näppärä sisällöltään.
Onkohan tässäkin koira haudattuna. Edelliseen pähkinään viitaten tuo perinteisesti normaalivektoria esittävä n on varmaankin maailmankaikkeuden keskipisteen paikkavektori
Jos kuitenkin luotan mekaniikan notaatiovihjeisiin, niin yleensä on jokin valittu tai olennaisen tärkeä, ehkä vakiona tai paikallaan pysyvä pinta, akseli tai ties mikä, ja n on yksikkövektori tuon oleellisen asian esittämiseen. Yhtälöissä hyöritään sitten edestakaisin siten, että n on esiintymislavan vetonaula.
Ensimmäinen termi \(\mathbf{r} \cos \phi\) muuntaa r:n pituuden ja/tai kääntää sen vastakkaissuuntaiseksi. Kerroin saa arvot -1...-1.
Toisen termin \(\mathbf{n}(\mathbf{n}\cdot \mathbf{r})\) on käsittääkseni vektorin r projektio (yskikkö?-)vektorin n suuntaiseksi. Suunta on n ja pituus on \(\mathbf{n}\cdot \mathbf{r}\). Sen jälkeen pituuteen vielä kerroin \((1-\cos \phi)\), joka saa arvot 0...2.
Kolmas termi lisää noiden kahden edellisen summaan jotain, jonka suunta on ristitulon takia ihan vinksallaan r:n ja n:n suuntiin nähden. Ja kuperkeikkaan lisäksi kerroin \(\sin\phi\), joka saa arvot -1...1, eli se on eri kulmilla \(\phi\) hyvin moneen suuntaan osoittava.
Mulla ei analyyttiset taidot riitä ymmärtämään edes itse edellistä sepustustani. Mutta kokeilin helpoilla arvoilla.
Samansuuntaisille r ja n saadaan \(\mathbf{r'} = \mathbf{r} cos\theta + \mathbf{r} (1-cos\theta)) = \mathbf{r}\). Tässä r ei muunnu lainkaan.
Jos tuo n on yksikkövektori, niin ortogonaalisille r ja n saan
\( \mathbf{r'} = \mathbf{r} \cos \phi + (\mathbf{r}\times \mathbf{n})\sin\phi = \mathbf{r} \cos \phi + ||\mathbf{r}|| \mathbf{n'}\), missä tuo uusi yksikkövektori n' on kohtisuorassa r:n ja n:n virittämään tasoon nähden.
Kun kokeilen arvolla \(\phi = 90^\circ\), saan \(\mathbf{r'}= ||\mathbf{r}|| \mathbf{n'}\). Tämähän tarkoittaa sitä, että r on kääntynyt 90 astetta myötäpäivään.
Kun \(\phi = 180^\circ\), saan r' = -r, joka on vastakkaissuuntaiseksi kääntynyt.
Tämän hiukan pöntön kokeilun perusteella arvaukseni on, että kaava pyöräyttää minkä tahansa vektorin r yksikkönormaalivektorin n ympäri.
