Nyt kun fysiikan Nobel on oikeutetusti myönnetty IceCube Neutrino Observatoryn merkkihahmolle Francis Halzenille, niin pieni yhteenveto neutriinosta, joka on edelleen melko huonosti tunnettu alkeishiukkanen. Tämä on pintaraapaisu, ja tarkempaan teoriaan voidaan ehkä syventyä myöhemmin.
Neutriino kuuluu leptoneihin, joiden vuorovaikutukset ovat heikko vuorovaikutus ja sähkömagneettinen vuorovaikutus. Neutriinon sähkövaraus on kuitenkin nolla, joten jäljelle jää heikko vuorovaikutus.
Leptoneita ovat elektroni, myoni ja tau (\(e^-\), \(\mu^-\), \(\tau^-\)) sekä näiden antihiukkaset positroni, antimyoni ja antitau (\(e^+\), \(\mu^+\), \(\tau^+\)). Vastaavat neutriinot ovat elektronin neutriino, myonin neutriino ja taun neutriino (\(\nu_e\), \(\nu_\mu\), \(\nu_\tau\)), sekä näiden antihiukkaset (\(\bar \nu_e\), \(\bar \nu_\mu\),\( \bar \nu_\tau\)). Neutriino on spin-1/2 hiukkanen kuten muutkin leptonit. Majorana neutriinot olisivat itsensä antihiukkasia, jolloin erillistä antihiukkasta ei olisi (\(\nu = \bar \nu\)).
Neutriinoja syntyy suuria määriä heikossa vuorovaikutuksessa, johon osallistuvat leptonien lisäksi myös kvarkit, jotka ovat fermioneita kuten kaikki leptonitkin. Näitä vuorovaikutuksia ilmenee, kun tapahtuu esimerkiksi beta-hajoaminen, tähden ydinfuusio, supernovan räjähdys tai suuren energian hiukkastörmäys. Osassa syntyy neutriinoja ja osassa antineutriinoja. Joka sekunti ihmisen kokoisen pinta-alan läpi kulkee arviolta \(10^{14}\) neutriinoa.
Neutriino on kevyt, vain noin alle \(\mathrm{0.45\ eV/c^2}\) (elektronin neutriino). Seuraavaksi kevyimmän alkeishiukkasen (elektroni) massa on noin \(\mathrm{0.511\ MeV/c^2}\), joka on neutriinoon verrattuna vähintään miljoona kertainen. Neutriinon massaa ei tarkkaan tunneta, ja teoreettisesti on mahdollista, että alin massatila on jopa massaton. Neutriinon hajoamista ei ole havaittu, ja neutriinoja on universumissa todennäköisesti valtavia määriä.
Auringon pp-ketjussa syntyvän ja lähellä valon nopeutta liikkuvan neutriinon energia on suhteellisen suuri, noin luokkaa \(\mathrm{0.5\ MeV}\). Tämä on suurempi kuin yksittäisen näkyvän valon fotonin energia, joka on luokkaa \(\mathrm{2\ eV}\). Neutriinolla on siis noin \(10^5\) kertaa suurempi energia, mutta auringon energiasta siirtyy ulos neutriinojen mukana vain noin 1-2 %. Loput käytännössä fotonien mukana.
IceCube on mitannut kosmisia neutriinoja, joiden energia on jopa \(\mathrm{10\ PeV}\), ja näiden nopeus on siis suurempi kuin Auringon tuottamien.
Neutriinot ja muut hiukkaset vuorovaikuttavat vain harvoin. Sähkömagneettinen ja vahva vuorovaikutus puuttuvat, ja heikon vuorovaikutuksen kantama on lyhyt, sillä sen välittäjähiukkaset \(W^\pm\) ja \(Z^0\) ovat massaltaan raskaita, noin \(\mathrm{80-91\ GeV/c^2}\).
Auringossa syntyneen neutriinon energia on huomattavan pieni välittäjäbosoneihin verrattuna, ja muun muassa siksi vuorovaikutuksen todennäköisyys on pieni. Kosmisen neutriinon energia on suhteellisen suuri, jonka takia vuorovaikutus on todennäköisempi. Silti olematon verrattuna fotonin sähkömagneettiseen vuorovaikutukseen, koska heikko vuorovaikutus on nimensä mukaisesti heikko (epätodennäköinen).
Käytännössä neutriino läpäisee atomiytimenkin lähes ilman vuorovaikutusta. Maapallon läpäisseiden neutriinojen avulla on jopa kuvattu Aurinko siten, että kuva on planeetan läpi. Tosin valotusaika (paremminkin 'neutriintumisaika') on hurjan pitkä.
Historiallisesti neutriinot ovat osa sähköheikkoa yhtenäisteoriaa, joka yhdistää heikon ja sähkömagneettisen vuorovaikutuksen \(\text{SU}(2)_L \times \text U(1)_Y\) -mittasymmetrialla. Teoriaan liittyvät kvanttiluvut ovat heikko isospin \(T\) ja heikko hypervaraus \(Y\). Lisäksi sähkömagneettisen mittasymmetrian \(\text U(1)_{EM}\) kvanttiluku on \(Q\), sähkövaraus.
Heikko isospin sisältää kolme komponenttia \(T_1\), \(T_2\) ja \(T_3\), mutta usein se kuvataan komponentilla \(T_3\).
Kvanttilukujen yhteys on varsin helppo \(Q = T_3 + \frac 1 2 Y\).
Neutriinon \(T_3 = +\frac 1 2\) ja \(Y = -1\), joista saadaan sähkövaraus \(Q = 0\). Elektronille vastaavat ovat \(T_3 = -\frac 1 2\) ja \(Y = -1\), ja näistä sähkövaraus \(Q = -1\). Molemmilla on sama \(Y\), mutta eri \(T_3\) ja eri sähkövaraus.
Alkuperäinen teoria on kuitenkin ongelmallinen. Heikon vuorovaikutuksen \(Z^\pm\) kytkeytyy vain vasenkiraaliseen leptoniin, jonka takia teoriaan asetetaan vasenkiraalinen leptoni (esim. elektroni) ja vasenkiraalinen leptonin neutriino (esim elektronin neutriino). Neutraali \(Z^0\) kytkeytyy myös oikeakiraaliseen leptoniin.
Teoriaan tarvitaan oikeakiraalinen leptoni, mutta oikeakiraalinen leptonin neutriino jätetään pois. Higgsin mekanismi kytkee vasen- ja oikeakiraaliset komponentit, ja leptoni saa massan. Oikeakiraalinen neutriino puuttuu, jonka takia neutriino ei saa massaa Higgsin mekanismista. Alkuperäisen sähköheikon teorian neutriino on massaton, mutta kokeellisesti on todettu, että näin ei voi olla.
Kaksi mahdollista ratkaisua ovat Diracin massa ja Majorana massa. Ensiksi mainittu on yhteensopiva sähköheikon teorian \(\text{SU}(2)_L\) -symmetrin kanssa, mutta neutriinon pieni massa johtaa kysymyksiin Higgsin kentän Yukawa kytkennästä. Leptonin ja neutriinon kytkennät poikkeavat \(10^7\) kertaisesti, ja tälle ei ole selitystä. Majorana massa ei ole osa sähköheikkoa teoriaa, ja sen seurauksena leptoniluvut eivät säily. Tämä ei välttämättä ole ongelma, vaan voi olla viite siitä, että leptoniluvun säilymistä ei ole.
Neutriinon massalle on toki muitakin teorioita, joista seesaw-mekanismi sisältää molemmat massat, Diracin ja Majoranan.
Neutriinolle voidaan määritellä kolme massan ominaistilaa, joita merkitään \(\nu_1\), \(\nu_2\) ja \(\nu_3\). Neutriino-oskillaatio on seuraus siitä, että kolme neutriinolajia (\(\nu_e\), \(\nu_\mu\), \(\nu_\tau\)) ovat kolmen massatilan lineaarikombinaatioita (superpositioita).
On mahdollista, että painavampi massatila hajoaa kevyemmäksi, ja samalla vapautuu fotoni. Hajoaminen tapahtuisi esimerkiksi \(\nu_3 \to \nu_2 + \gamma\), missä \(m_3 > m_2\), ja osa \(\nu_3\):n energiasta siirtyy fotoniin \(\gamma\). Mielenkiintoisena yksityiskohtana, että neutriino ei osallistu sähkömagneettiseen vuorovaikutukseen, mutta hajoamisesta voi muodostua sähkömagnetismin välittäjä eli fotoni.
Massallisia neutriinoja tulisi olla havaittuina useissa eri nopeuksissa, mutta toistaiseksi ei ole voitu todeta poikkeamista kausaliteetin vauhdista c. No - syy on siinä, että mitä tarkemmin mittauksia analysoidaan, eikä eroa neutriinon vauhdille c-vauhtiin nähden saada, sitä matalammalle massatilan yläraja vain asetetaan.
Hienorakennevakio lukuteoriana vapausasteista: (1⁰+2¹+3²+5³+1/2¹×3²/5³-(3²×5³)⁻²)⁻¹ = 137,03599921⁻¹
Neutriinon tarkka nopeus saattaa jäädä mittaamatta vielä sata tai pari sataa vuotta, koska ihmiskunnan mittausteknologiat ovat rajalliset. Pitäisi päästä tarkkuuteen, joka on luokkaa \(10^{-20}\) osa valon nopeudesta.Eusa kirjoitti: ↑11.10.2026, 17:10Massallisia neutriinoja tulisi olla havaittuina useissa eri nopeuksissa, mutta toistaiseksi ei ole voitu todeta poikkeamista kausaliteetin vauhdista c. No - syy on siinä, että mitä tarkemmin mittauksia analysoidaan, eikä eroa neutriinon vauhdille c-vauhtiin nähden saada, sitä matalammalle massatilan yläraja vain asetetaan.
Neutriino-oskillaatio kuitenkin vahvistaa melko jykevästi neutriinon massallisuuden. Vaikka yksi kolmesta massan ominaistilasta voi olla nolla, niin mitattava fysikaalinen hiukkastila on massallinen. Oskillaatio on todettu myös hiukkaskiihdyttimissä.
Massan tarkka mittaus on kylläkin lähes yhtä haastava kuin nopeuden mittaaminen, osin samoista syistä. Mutta oskillaation avulla voidaan selvittää massatiloihin m1, m2 ja m3 liittyvä massojen erotuksen neliö.
Yksi vaihtoehto olisi matalan energian neutriinot (massan ominaistilojen nopeusero on jo merkittävä), mutta vastaan tulee toinen haaste: mitä matalampi energia, sitä heikommin neutriino ja muu aine vuorovaikuttavat. Matalaenergiset neutriinot eivät jää mittalaitteisiin, tai ainakaan sellaisiin, joista voisi määritellä nopeuden. Toisaalta on mahdollista selvittää neutriinon energia esimerkiksi käänteisen beta-hajoamisen kautta, mutta se ei vahvista nopeutta, koska tarkka massa ei ole tiedossa. Neutriinon ominaisuudet ovat muna-kana-tyyppisiä probleemeja.
Kunhan kaikkeus ikääntyy biljoonan vuoden luokkaan, massallisilla neutriinoilla olisi lopulta jo niin useita eri nopeuksia heikon voiman vaellustapahtumista, että eiköhän sitten jo mittalaitteetkin saa erot esiin - tai sitten oskillaatiolla onkin muu mekanismi kuin neutriinojen mukana kulkevat massatilat.
Hienorakennevakio lukuteoriana vapausasteista: (1⁰+2¹+3²+5³+1/2¹×3²/5³-(3²×5³)⁻²)⁻¹ = 137,03599921⁻¹
Voisivatko oskillaatioiden massaneliöparametrit kuvata läpäistävän tyhjön ominaisvastetta? Seuraava efektiivimalli osoittaa tämän mahdolliseksi koherentin makusiirron tasolla.
Käytetään yksiköitä \(\hbar=c=1\). Olkoon \(\nu(t,x)\in\mathbb C^3\) etenevän neutriinokentän makuamplitudi yhdessä helisiteettikanavassa ja \(\eta(t,x)\) tyhjön paikallinen muistiamplitudi. Koordinaatti \(x\) seuraa etenemisreittiä. Yksinkertaisin koherentti muistiraja on
\(
i\partial_t\nu=(-i\partial_x+V)\nu+G^\dagger\eta,
\qquad
i\partial_t\eta=G\nu,
\qquad V^\dagger=V.
\)
Stationaarinen kytkentä \(G(x)\) välittää amplitudia neutriinokentän ja paikallisen muistisektorin välillä. Muistilla ei ole omaa avaruudellista kuljetustermiä: seuraava tyhjöalue aktivoituu paikallisesti etenevän kentän saapuessa.
Kytkentä on hermiittinen, ja suoraan yhtälöistä seuraa
\(
\partial_t(\nu^\dagger\nu+\eta^\dagger\eta)
+\partial_x(\nu^\dagger\nu)=0.
\)
Kokonaiseksitaation normi siis säilyy. Muistin eliminointi antaa ilman vapaata alkuherätettä valitun retardoidun vasteen
\(
\Sigma_R(E,x)=\frac{G^\dagger(x)G(x)}{E+i0}.
\)
Tämä on mekanismin olennainen kohta: ajallinen muisti tuottaa käänteisen energiariippuvuuden.
Asetetaan harmoniselle ratkaisulle \(E>0\)
\(
\nu(t,x)=e^{-iEt+iEx}a(x),
\qquad
\eta=\frac{G\nu}{E}.
\)
Sijoittaminen alkuperäiseen yhtälöön antaa täsmälleen
\(
i\frac{da}{dx}
=
\left[V(x)+\frac{\mathcal Q(x)}{2E}\right]a,
\qquad
\mathcal Q=2G^\dagger G\succeq0.
\)
Tämä on tavallinen ultrarelativistinen neutriinojen oskillaatio-Hamiltoniaani, mutta sen massaneliömatriisin tehtävän hoitaa nyt tyhjön muistivaste. Hermiittisyys takaa unitaarisen makusiirron myös reitin varrella vaihteleville vasteille ja ainepotentiaalille.
Homogeenisessa tyhjössä kirjoitetaan
\(
\mathcal Q
=
U\,\mathrm{diag}(q_1,q_2,q_3)\,U^\dagger.
\)
Heikon vuorovaikutuksen valmistamien ja lukemien makujen välille saadaan
\(
P_{\alpha\to\beta}(L,E)
=
\left|
\sum_i
U_{\beta i}U_{\alpha i}^{*}
e^{-iq_iL/(2E)}
\right|^2.
\)
Kun \(q_i-q_j=\Delta m_{ij}^2\) ja \(U\) on sama havaintoihin sovitettu sekoitusmatriisi, saadaan sama kolmimakuinen oskillaatiotodennäköisyys. Myös tavanomainen koherentti aine-eteneminen sisältyy samaan differentiaaliyhtälöön. Parametreja on tässä sovitettu vastaavasti kuin tavallisessa kuvauksessa; niiden mikroskooppinen alkuperä sijoitetaan muistirakenteeseen.
Maku voidaan tulkita kulkevan amplitudin jatkuvaksi orientaatioksi suhteessa tyhjön vastekantaan ja heikon vuorovaikutuksen lukusuuntiin. Tyhjön ominaisvasteet ovat paikallisia, mutta etenevä ratkaisu on kentän ja muistin kytketty eksitaatio.
Aaltopaketin tarkistus kuuluu samaan johtoon. Ominaiskanavassa
\(
p_i(E)=E-\frac{q_i}{2E},
\qquad
v_i=\left(1+\frac{q_i}{2E^2}\right)^{-1},
\qquad
\Delta\tau_{ij}=\frac{L\Delta q_{ij}}{2E^2}.
\)
Mallilla on yhteinen nopein kausaalinen eturintama, mutta äärellisen paketin ominaiskomponenteille syntyy pieniä viive-eroja. Koherentti yhteispaketti säilyy, kun \(|\Delta\tau_{ij}|\ll\sigma_t\). Muistivaste tuottaa siten sekä oskillaatiovaiheen että tavallisen kuvauksen johtavan ryhmäviiveen.
Näyttö koskee täsmällistä vastaavuutta koherentin oskillaatiosiirron tasolla. Paikallaan oleva muistiraja valitsee taustan lepokehyksen; täydellinen vaihtoehtoinen kenttäteoria tarvitsee lisäksi relativistisen täydennyksen, lisämoodien hallinnan sekä tuotannon ja havaitsemisen johtamisen. Muistihypoteesin erottava fysikaalinen sisältö olisi ennen kaikkea \(\mathcal Q\):n arvojen ja mahdollisen historia- tai ympäristöriippuvuuden johtaminen tyhjön dynamiikasta.
Luettavaa: Oksanen, Stirling ja Tureanu (2025).
Käytetään yksiköitä \(\hbar=c=1\). Olkoon \(\nu(t,x)\in\mathbb C^3\) etenevän neutriinokentän makuamplitudi yhdessä helisiteettikanavassa ja \(\eta(t,x)\) tyhjön paikallinen muistiamplitudi. Koordinaatti \(x\) seuraa etenemisreittiä. Yksinkertaisin koherentti muistiraja on
\(
i\partial_t\nu=(-i\partial_x+V)\nu+G^\dagger\eta,
\qquad
i\partial_t\eta=G\nu,
\qquad V^\dagger=V.
\)
Stationaarinen kytkentä \(G(x)\) välittää amplitudia neutriinokentän ja paikallisen muistisektorin välillä. Muistilla ei ole omaa avaruudellista kuljetustermiä: seuraava tyhjöalue aktivoituu paikallisesti etenevän kentän saapuessa.
Kytkentä on hermiittinen, ja suoraan yhtälöistä seuraa
\(
\partial_t(\nu^\dagger\nu+\eta^\dagger\eta)
+\partial_x(\nu^\dagger\nu)=0.
\)
Kokonaiseksitaation normi siis säilyy. Muistin eliminointi antaa ilman vapaata alkuherätettä valitun retardoidun vasteen
\(
\Sigma_R(E,x)=\frac{G^\dagger(x)G(x)}{E+i0}.
\)
Tämä on mekanismin olennainen kohta: ajallinen muisti tuottaa käänteisen energiariippuvuuden.
Asetetaan harmoniselle ratkaisulle \(E>0\)
\(
\nu(t,x)=e^{-iEt+iEx}a(x),
\qquad
\eta=\frac{G\nu}{E}.
\)
Sijoittaminen alkuperäiseen yhtälöön antaa täsmälleen
\(
i\frac{da}{dx}
=
\left[V(x)+\frac{\mathcal Q(x)}{2E}\right]a,
\qquad
\mathcal Q=2G^\dagger G\succeq0.
\)
Tämä on tavallinen ultrarelativistinen neutriinojen oskillaatio-Hamiltoniaani, mutta sen massaneliömatriisin tehtävän hoitaa nyt tyhjön muistivaste. Hermiittisyys takaa unitaarisen makusiirron myös reitin varrella vaihteleville vasteille ja ainepotentiaalille.
Homogeenisessa tyhjössä kirjoitetaan
\(
\mathcal Q
=
U\,\mathrm{diag}(q_1,q_2,q_3)\,U^\dagger.
\)
Heikon vuorovaikutuksen valmistamien ja lukemien makujen välille saadaan
\(
P_{\alpha\to\beta}(L,E)
=
\left|
\sum_i
U_{\beta i}U_{\alpha i}^{*}
e^{-iq_iL/(2E)}
\right|^2.
\)
Kun \(q_i-q_j=\Delta m_{ij}^2\) ja \(U\) on sama havaintoihin sovitettu sekoitusmatriisi, saadaan sama kolmimakuinen oskillaatiotodennäköisyys. Myös tavanomainen koherentti aine-eteneminen sisältyy samaan differentiaaliyhtälöön. Parametreja on tässä sovitettu vastaavasti kuin tavallisessa kuvauksessa; niiden mikroskooppinen alkuperä sijoitetaan muistirakenteeseen.
Maku voidaan tulkita kulkevan amplitudin jatkuvaksi orientaatioksi suhteessa tyhjön vastekantaan ja heikon vuorovaikutuksen lukusuuntiin. Tyhjön ominaisvasteet ovat paikallisia, mutta etenevä ratkaisu on kentän ja muistin kytketty eksitaatio.
Aaltopaketin tarkistus kuuluu samaan johtoon. Ominaiskanavassa
\(
p_i(E)=E-\frac{q_i}{2E},
\qquad
v_i=\left(1+\frac{q_i}{2E^2}\right)^{-1},
\qquad
\Delta\tau_{ij}=\frac{L\Delta q_{ij}}{2E^2}.
\)
Mallilla on yhteinen nopein kausaalinen eturintama, mutta äärellisen paketin ominaiskomponenteille syntyy pieniä viive-eroja. Koherentti yhteispaketti säilyy, kun \(|\Delta\tau_{ij}|\ll\sigma_t\). Muistivaste tuottaa siten sekä oskillaatiovaiheen että tavallisen kuvauksen johtavan ryhmäviiveen.
Näyttö koskee täsmällistä vastaavuutta koherentin oskillaatiosiirron tasolla. Paikallaan oleva muistiraja valitsee taustan lepokehyksen; täydellinen vaihtoehtoinen kenttäteoria tarvitsee lisäksi relativistisen täydennyksen, lisämoodien hallinnan sekä tuotannon ja havaitsemisen johtamisen. Muistihypoteesin erottava fysikaalinen sisältö olisi ennen kaikkea \(\mathcal Q\):n arvojen ja mahdollisen historia- tai ympäristöriippuvuuden johtaminen tyhjön dynamiikasta.
Luettavaa: Oksanen, Stirling ja Tureanu (2025).
Hienorakennevakio lukuteoriana vapausasteista: (1⁰+2¹+3²+5³+1/2¹×3²/5³-(3²×5³)⁻²)⁻¹ = 137,03599921⁻¹
Miksi muisti-tyhjön lähtötasoksi spin½?
Fermioninen spin½-rakenne on tässä muistimallissa luonteva, koska se yhdistää muistikanavien poissulkevuuden, neutriinon kytkennän ja sähkömagneettisen parivasteen. Tyhjön perustila voi olla kokonaisuutena parillinen ja isotrooppinen; spin½ kuuluu sen parittomiin alkeisherätteisiin.
Paulin ekskluusio antaa erillisyyksille algebrallisen toteutuksen:
\(
\{c_i,c_j^\dagger\}=\delta_{ij},
\qquad
(c_i^\dagger)^2=0,
\qquad
\mathcal H_n=\Lambda^n\mathcal H_1.
\)
Sama yhden fermionin muistimuoto voidaan miehittää vain kerran. Usean herätteen rakenne käyttää riippumattomia tilasuuntia ja säilyttää niiden antisymmetrisen vaihtosuhteen. Erillisyys on siten kvanttitilojen rakenteellinen ominaisuus. Bosonisessa spin1-lähtötasossa saman moodin monimiehitys on sallittu, joten vastaava poissulkevuus tarvitsisi lisärajoitteen tai vuorovaikutuksen.
Neutriinolle fermioninen muistikanava tarjoaa suoran, fermionipariteetin säilyttävän kytkennän:
\(
H_{\mathrm{int}}
=
\nu^\dagger G^\dagger\chi+\chi^\dagger G\nu.
\)
Tässä sekä \(\nu\) että \(\chi\) ovat parittomia, joten vuorovaikutus on parillinen. Bosoninen muistikanava kytkeytyisi luontevasti neutriinon parilliseen virtaan; kyseessä olisi silloin toisenlainen muistimekanismi.
Sähkömagneettisen podaliteetin puolifotonitila täydentää rakennepostulaatin. Kahden saman kiraalisuuden fermionisen Weyl-spinorin symplektinen pari antaa bilineaarin
\(
\mathcal B_{ab}
=
\epsilon^{AB}\chi_{Aa}\chi_{Bb}
=
\mathcal B_{ba}.
\)
Fermionisen vaihdon ja sisäisen symplektisen antisymmetrian miinusmerkit kumoutuvat. Tulos on fysikaalisissa spinori-indekseissä \(a,b\) symmetrinen eli spin1:n itse-duaalisen tensorin muotoinen. Kahden spin½-muodon mahdollisista spin0- ja spin1-kytkennöistä tämä rakenne valitsee spin1-kanavan.
Sama alusrakenne tarjoaa näin kaksi vastetta: pariton spin½-kanava neutriinon muistivuorovaikutukselle ja kahden spin½-muodon parillinen spin1-kanava sähkömagneettiselle kollektiiviaallolle. Fermionisen lähtötason etu on tämän työnjaon taloudellisuus: yksittäisten muistimuotojen poissulku tulee suoraan algebrasta, ja koherentti säteily voi rakentua niiden parivasteeseen.
Rakenne antaa siten valolle ja neutriinovuolle yhteisen tyhjöperustan eri vastekanavina. Kun niiden kineettinen pääosa määrää saman kausaalikartion, toteutuu myös aiemmassa kausaalirintamavertailussa tarkoitettu yhteinen kausaalinen etenemisrakenne. Vaihe- ja ryhmäviiveet kuvaavat tällöin tämän yhteisen tyhjön kanavakohtaisia vasteita.
Fermioninen spin½-rakenne on tässä muistimallissa luonteva, koska se yhdistää muistikanavien poissulkevuuden, neutriinon kytkennän ja sähkömagneettisen parivasteen. Tyhjön perustila voi olla kokonaisuutena parillinen ja isotrooppinen; spin½ kuuluu sen parittomiin alkeisherätteisiin.
Paulin ekskluusio antaa erillisyyksille algebrallisen toteutuksen:
\(
\{c_i,c_j^\dagger\}=\delta_{ij},
\qquad
(c_i^\dagger)^2=0,
\qquad
\mathcal H_n=\Lambda^n\mathcal H_1.
\)
Sama yhden fermionin muistimuoto voidaan miehittää vain kerran. Usean herätteen rakenne käyttää riippumattomia tilasuuntia ja säilyttää niiden antisymmetrisen vaihtosuhteen. Erillisyys on siten kvanttitilojen rakenteellinen ominaisuus. Bosonisessa spin1-lähtötasossa saman moodin monimiehitys on sallittu, joten vastaava poissulkevuus tarvitsisi lisärajoitteen tai vuorovaikutuksen.
Neutriinolle fermioninen muistikanava tarjoaa suoran, fermionipariteetin säilyttävän kytkennän:
\(
H_{\mathrm{int}}
=
\nu^\dagger G^\dagger\chi+\chi^\dagger G\nu.
\)
Tässä sekä \(\nu\) että \(\chi\) ovat parittomia, joten vuorovaikutus on parillinen. Bosoninen muistikanava kytkeytyisi luontevasti neutriinon parilliseen virtaan; kyseessä olisi silloin toisenlainen muistimekanismi.
Sähkömagneettisen podaliteetin puolifotonitila täydentää rakennepostulaatin. Kahden saman kiraalisuuden fermionisen Weyl-spinorin symplektinen pari antaa bilineaarin
\(
\mathcal B_{ab}
=
\epsilon^{AB}\chi_{Aa}\chi_{Bb}
=
\mathcal B_{ba}.
\)
Fermionisen vaihdon ja sisäisen symplektisen antisymmetrian miinusmerkit kumoutuvat. Tulos on fysikaalisissa spinori-indekseissä \(a,b\) symmetrinen eli spin1:n itse-duaalisen tensorin muotoinen. Kahden spin½-muodon mahdollisista spin0- ja spin1-kytkennöistä tämä rakenne valitsee spin1-kanavan.
Sama alusrakenne tarjoaa näin kaksi vastetta: pariton spin½-kanava neutriinon muistivuorovaikutukselle ja kahden spin½-muodon parillinen spin1-kanava sähkömagneettiselle kollektiiviaallolle. Fermionisen lähtötason etu on tämän työnjaon taloudellisuus: yksittäisten muistimuotojen poissulku tulee suoraan algebrasta, ja koherentti säteily voi rakentua niiden parivasteeseen.
Rakenne antaa siten valolle ja neutriinovuolle yhteisen tyhjöperustan eri vastekanavina. Kun niiden kineettinen pääosa määrää saman kausaalikartion, toteutuu myös aiemmassa kausaalirintamavertailussa tarkoitettu yhteinen kausaalinen etenemisrakenne. Vaihe- ja ryhmäviiveet kuvaavat tällöin tämän yhteisen tyhjön kanavakohtaisia vasteita.
Hienorakennevakio lukuteoriana vapausasteista: (1⁰+2¹+3²+5³+1/2¹×3²/5³-(3²×5³)⁻²)⁻¹ = 137,03599921⁻¹
Hmm, taitaa se Eusan (nykyään) tekoälyavustettu sanallinen mopo taas kerran karkailla käsistä. No ei siinä mitään, kun tuntee potilaan diagnoosin, niin kaikki oireilut ovat täysin ymmärrettäviä, sanoisi lääkäri. 
SI Resurrection!
Hienorakennevakio lukuteoriana vapausasteista: (1⁰+2¹+3²+5³+1/2¹×3²/5³-(3²×5³)⁻²)⁻¹ = 137,03599921⁻¹
Majoranalla neutriino ja antineutriino ovat saman hiukkasen eri kvanttitiloja vai miten se pitää tulkita?QS kirjoitti: ↑11.10.2026, 15:23Nyt kun fysiikan Nobel on oikeutetusti myönnetty IceCube Neutrino Observatoryn merkkihahmolle Francis Halzenille, niin pieni yhteenveto neutriinosta, joka on edelleen melko huonosti tunnettu alkeishiukkanen. Tämä on pintaraapaisu, ja tarkempaan teoriaan voidaan ehkä syventyä myöhemmin.
Neutriino kuuluu leptoneihin, joiden vuorovaikutukset ovat heikko vuorovaikutus ja sähkömagneettinen vuorovaikutus. Neutriinon sähkövaraus on kuitenkin nolla, joten jäljelle jää heikko vuorovaikutus.
Leptoneita ovat elektroni, myoni ja tau (\(e^-\), \(\mu^-\), \(\tau^-\)) sekä näiden antihiukkaset positroni, antimyoni ja antitau (\(e^+\), \(\mu^+\), \(\tau^+\)). Vastaavat neutriinot ovat elektronin neutriino, myonin neutriino ja taun neutriino (\(\nu_e\), \(\nu_\mu\), \(\nu_\tau\)), sekä näiden antihiukkaset (\(\bar \nu_e\), \(\bar \nu_\mu\),\( \bar \nu_\tau\)). Neutriino on spin-1/2 hiukkanen kuten muutkin leptonit. Majorana neutriinot olisivat itsensä antihiukkasia, jolloin erillistä antihiukkasta ei olisi (\(\nu = \bar \nu\)).
Neutriinoja syntyy suuria määriä heikossa vuorovaikutuksessa, johon osallistuvat leptonien lisäksi myös kvarkit, jotka ovat fermioneita kuten kaikki leptonitkin. Näitä vuorovaikutuksia ilmenee, kun tapahtuu esimerkiksi beta-hajoaminen, tähden ydinfuusio, supernovan räjähdys tai suuren energian hiukkastörmäys. Osassa syntyy neutriinoja ja osassa antineutriinoja. Joka sekunti ihmisen kokoisen pinta-alan läpi kulkee arviolta \(10^{14}\) neutriinoa.
Neutriino on kevyt, vain noin alle \(\mathrm{0.45\ eV/c^2}\) (elektronin neutriino). Seuraavaksi kevyimmän alkeishiukkasen (elektroni) massa on noin \(\mathrm{0.511\ MeV/c^2}\), joka on neutriinoon verrattuna vähintään miljoona kertainen. Neutriinon massaa ei tarkkaan tunneta, ja teoreettisesti on mahdollista, että alin massatila on jopa massaton. Neutriinon hajoamista ei ole havaittu, ja neutriinoja on universumissa todennäköisesti valtavia määriä.
Auringon pp-ketjussa syntyvän ja lähellä valon nopeutta liikkuvan neutriinon energia on suhteellisen suuri, noin luokkaa \(\mathrm{0.5\ MeV}\). Tämä on suurempi kuin yksittäisen näkyvän valon fotonin energia, joka on luokkaa \(\mathrm{2\ eV}\). Neutriinolla on siis noin \(10^5\) kertaa suurempi energia, mutta auringon energiasta siirtyy ulos neutriinojen mukana vain noin 1-2 %. Loput käytännössä fotonien mukana.
IceCube on mitannut kosmisia neutriinoja, joiden energia on jopa \(\mathrm{10\ PeV}\), ja näiden nopeus on siis suurempi kuin Auringon tuottamien.
Neutriinot ja muut hiukkaset vuorovaikuttavat vain harvoin. Sähkömagneettinen ja vahva vuorovaikutus puuttuvat, ja heikon vuorovaikutuksen kantama on lyhyt, sillä sen välittäjähiukkaset \(W^\pm\) ja \(Z^0\) ovat massaltaan raskaita, noin \(\mathrm{80-91\ GeV/c^2}\).
Auringossa syntyneen neutriinon energia on huomattavan pieni välittäjäbosoneihin verrattuna, ja muun muassa siksi vuorovaikutuksen todennäköisyys on pieni. Kosmisen neutriinon energia on suhteellisen suuri, jonka takia vuorovaikutus on todennäköisempi. Silti olematon verrattuna fotonin sähkömagneettiseen vuorovaikutukseen, koska heikko vuorovaikutus on nimensä mukaisesti heikko (epätodennäköinen).
Käytännössä neutriino läpäisee atomiytimenkin lähes ilman vuorovaikutusta. Maapallon läpäisseiden neutriinojen avulla on jopa kuvattu Aurinko siten, että kuva on planeetan läpi. Tosin valotusaika (paremminkin 'neutriintumisaika') on hurjan pitkä.
Historiallisesti neutriinot ovat osa sähköheikkoa yhtenäisteoriaa, joka yhdistää heikon ja sähkömagneettisen vuorovaikutuksen \(\text{SU}(2)_L \times \text U(1)_Y\) -mittasymmetrialla. Teoriaan liittyvät kvanttiluvut ovat heikko isospin \(T\) ja heikko hypervaraus \(Y\). Lisäksi sähkömagneettisen mittasymmetrian \(\text U(1)_{EM}\) kvanttiluku on \(Q\), sähkövaraus.
Heikko isospin sisältää kolme komponenttia \(T_1\), \(T_2\) ja \(T_3\), mutta usein se kuvataan komponentilla \(T_3\).
Kvanttilukujen yhteys on varsin helppo \(Q = T_3 + \frac 1 2 Y\).
Neutriinon \(T_3 = +\frac 1 2\) ja \(Y = -1\), joista saadaan sähkövaraus \(Q = 0\). Elektronille vastaavat ovat \(T_3 = -\frac 1 2\) ja \(Y = -1\), ja näistä sähkövaraus \(Q = -1\). Molemmilla on sama \(Y\), mutta eri \(T_3\) ja eri sähkövaraus.
Alkuperäinen teoria on kuitenkin ongelmallinen. Heikon vuorovaikutuksen \(Z^\pm\) kytkeytyy vain vasenkiraaliseen leptoniin, jonka takia teoriaan asetetaan vasenkiraalinen leptoni (esim. elektroni) ja vasenkiraalinen leptonin neutriino (esim elektronin neutriino). Neutraali \(Z^0\) kytkeytyy myös oikeakiraaliseen leptoniin.
Teoriaan tarvitaan oikeakiraalinen leptoni, mutta oikeakiraalinen leptonin neutriino jätetään pois. Higgsin mekanismi kytkee vasen- ja oikeakiraaliset komponentit, ja leptoni saa massan. Oikeakiraalinen neutriino puuttuu, jonka takia neutriino ei saa massaa Higgsin mekanismista. Alkuperäisen sähköheikon teorian neutriino on massaton, mutta kokeellisesti on todettu, että näin ei voi olla.
Kaksi mahdollista ratkaisua ovat Diracin massa ja Majorana massa. Ensiksi mainittu on yhteensopiva sähköheikon teorian \(\text{SU}(2)_L\) -symmetrin kanssa, mutta neutriinon pieni massa johtaa kysymyksiin Higgsin kentän Yukawa kytkennästä. Leptonin ja neutriinon kytkennät poikkeavat \(10^7\) kertaisesti, ja tälle ei ole selitystä. Majorana massa ei ole osa sähköheikkoa teoriaa, ja sen seurauksena leptoniluvut eivät säily. Tämä ei välttämättä ole ongelma, vaan voi olla viite siitä, että leptoniluvun säilymistä ei ole.
Neutriinon massalle on toki muitakin teorioita, joista seesaw-mekanismi sisältää molemmat massat, Diracin ja Majoranan.
Neutriinolle voidaan määritellä kolme massan ominaistilaa, joita merkitään \(\nu_1\), \(\nu_2\) ja \(\nu_3\). Neutriino-oskillaatio on seuraus siitä, että kolme neutriinolajia (\(\nu_e\), \(\nu_\mu\), \(\nu_\tau\)) ovat kolmen massatilan lineaarikombinaatioita (superpositioita).
On mahdollista, että painavampi massatila hajoaa kevyemmäksi, ja samalla vapautuu fotoni. Hajoaminen tapahtuisi esimerkiksi \(\nu_3 \to \nu_2 + \gamma\), missä \(m_3 > m_2\), ja osa \(\nu_3\):n energiasta siirtyy fotoniin \(\gamma\). Mielenkiintoisena yksityiskohtana, että neutriino ei osallistu sähkömagneettiseen vuorovaikutukseen, mutta hajoamisesta voi muodostua sähkömagnetismin välittäjä eli fotoni.
Abezethibou·daemon unimanus et unialis·abyssorum legatus·cuius nomen terram scindit. In tenebris lucet·in luce obscuratur. Per fractas alas suadet·per manum perditam ligat.
Per sigillum Beelzebub·Abezethibou inferorum·per sanguinem et ignem·responde mihi!
Per sigillum Beelzebub·Abezethibou inferorum·per sanguinem et ignem·responde mihi!
Harjoitan hiukan sähköheikkoa neutriinoteoriaa, jotta otuksen historia valottuu. Lähteenä tietysti Steven Weinberg, Quantum Theory Of Fields, Vol 2 Modern Applications, 21.3 The Electroweak Theory. Voidaan sanoa, että ensimmäinen neutriino-Nobel jaettiin 1979 kolmikolle Glashow-Salam-Weinberg.
Kirja on kryptinen, ja notaatiot, konventiot tai rakenteet jäävät usein ilman selitystä. Jos kuitenkin tuntee aiheen ennestään, niin kirja on antoisa, sillä lukija joutuu muodostamaan teorian yksityiskohdat itse. Edellyttäen, että on "arvannut" kirjoittajan konventiot.
Jaan viestin kahteen osaan, joista ensimmäisessä sähköheikko teoria yleisesti, sekä pintapuolisesti elektronin ja välittäjäbosonien massa. Toisessa viestissä sitten neutriinon massasta, mutta se joskus myöhemmin.
Ensin perusasiat siten kuin kirja ne pelkistetysti esittelee. Elektroni (\(e\)) rakentuu kentän vasen- ja oikeakiraalisista osista (\(e_L, e_R\)), ja elektronin neutriino (\(\nu_e\)) vain vasenkiraalisesta (\(\nu_{eL}\)) osasta. Historiallisesti neutriino oli massaton ja vain vasenkätisiä havaittu. Massattoman neutriinon kiraalisuus ja kätisyys ovat samat, joten oikeakiraalinen osa poistettiin.
\(\displaystyle e_L = \frac{1}{2}(1+\gamma_5)e, \quad e_R = \frac{1}{2}(1-\gamma_5)e, \quad \gamma_5\nu_{eL} = \nu_{eL}\)
Mittaryhmien esitykset ovat vasenkiraalinen dupletti \((\nu_{eL}, e_L)^T\) ja oikeakiraalinen singletti \(e_R\). Suurin mahdollinen mittaryhmä on \(SU(2)_L \times U(1)_L \times U(1)_R\), jonka infinitesimaalinen muunnos kohdistuu duplettiin seuraavasti
\(\delta \begin{pmatrix}\nu_e \\ e\end{pmatrix} = i[\ \vec\epsilon\cdot\vec t+\epsilon_Lt_L+\epsilon_Rt_R\ ]\begin{pmatrix}\nu_e \\ e\end{pmatrix}\)
Ryhmän generaattorit ovat
\(\begin{align}
\vec t &= \frac{g}{4}(1+\gamma_5)\left\{
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\right\}\\
t_L &\propto (1+\gamma_5) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\
t_R &\propto (1-\gamma_5)
\end{align}\)
missä \(g\) on kytkentävakio. Generaattorien \(t_L\) ja \(t_R\) tilalle määritellään kuitenkin eri generaattorit sekä vakiot \(g'\) ja \(g''\)
\(\begin{align}
y &\equiv g'\left[\left(\frac{1+\gamma_5}{4}\right)\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}+
\left(\frac{1-\gamma_5}{2}\right)\right] \\
n_e &\equiv g''\left[\left(\frac{1+\gamma_5}{2}\right)\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}+
\left(\frac{1-\gamma_5}{2}\right)\right]
\end{align}\)
Näistä \(n_e\) jätetään pois, ja jäljelle jääneistä \(\vec t\) ja \(y\) saadaan pienempi mittaryhmä \(SU(2)_L \times U(1)\).
Edellä listattuja määrittelyjä käsiteltiin taannoin Mittakenttäteoriaa-ketjussa, jolloin tein matikkasoftalla erinäisiä matriiseja, jotka sain nyt lopulta toimimaan muutaman virheen korjattuani. Muissa alan kirjoissa teorian perusrakenne kerrotaan selvemmin.
Weinberg jättää kertomatta miten mittaryhmä konkreettisesti toimii Hilbertin avaruudessa, jonka kaksi osaa ovat heikko isospin \(\mathcal H_{\rm{I}}\) ja spinori \(\mathcal H_{\rm{S}}\). Näistä \(\mathcal H_{\rm{I}}\) on selvästi 2-dimensioinen, ja \(SU(2)\) esitetään 2x2-matriisina. Spinori-estiykselle \(\mathcal H_{\rm{S}}\) jää ainakin kaksi mahdollisuutta.
Helpommissa lähteissä \(\mathcal H_{\rm{S}}\) on 2-dimensioinen, ja se esittää vasenkiraalisia komponentteja \((\nu_{eL}, e_L)^T\), jotka ovat kaksi Weylin spinoria. Esitysavaruus on tämän ja isospinin tensoritulo \(\mathcal H = \mathcal H_{\rm{I}} \otimes \mathcal H_{\rm{S}} = \mathbb C^2 \otimes \mathbb C^2\), jonka dimensio on 2x2 = 4. Oikeakiraalinen elektroni esitetään yhtenä Weylin spinorina \(e_R\).
Weinbergin Volume 1:ssä fermioni-kenttä on Lorentz-ryhmän redusoituva esitys \((\frac 12, 0) \oplus (0, \frac 12)\), joka on Diracin spinori. Siksi sähköheikon teorian \(\mathcal H_{\rm{S}}\):ksi on luonnollista valita 4-komponenttinen Diracin spinori \((\psi_L^1,\psi_L^2,\psi_R^3,\psi_R^4)^T\). Isospin- ja spinori-avaruuden tensoritulo on \(\mathcal H = \mathcal H_{\rm{I}} \otimes \mathcal H_{\rm{S}} = \mathbb C^2 \otimes \mathbb C^4\), jonka dimensio on 2x4 = 8. Kuitenkin neutriinon oikeakiraaliset komponentit ovat aina nolla, ja merkitseviä komponentteja on 6. Mielestäni on mahdollista valita myös 4-komponenttinen käsittely, mutta mennään nyt 8-komponenttisella, jotta ei päästä liian helpolla.
Rakennetta käsiteltiin tässä viestissä. Tensoritulon järjestys on merkitsevä, ja aikanaan sattumalta poimin \(\mathcal H_{\rm{I}} \otimes \mathcal H_{\rm{S}}\), mutta laskin matriisit eri järjestyksessä, jonka takia oli virheitä. Weinbergin notaatio tosin viittaa järjestykseen \(\mathcal H_{\rm{S}} \otimes \mathcal H_{\rm{I}}\), mutta järjestyksen voi valita, kun muistaa valita Kroneckerin tulon ja dupletin komponentit oikeaan järjestykseen.
Signatuuri on (-,+,+,+), ja dupletti on \((\nu, e)^T = (\nu_L^1, \nu_L^2, 0,0 ,\ e_L^1, e_L^2, e_R^3, e_R^4)^T \in \mathcal H_{\rm{I}} \otimes \mathcal H_{\rm{S}}\), missä siis kaksi Diracin spinoria. Neutriinon R-komponentit ovat nolla. Diracin matriisit sekä kiraalisuuden projektiot \(P_L\) ja \(P_R\) ovat 4x4-matriiseja
\(\gamma^0=-i\begin{bmatrix}
0 & \mathbb I_2 \\
\mathbb I_2 & 0
\end{bmatrix}, \quad
\gamma^i=-i\begin{bmatrix}
0 & \sigma_i \\
-\sigma_i & 0
\end{bmatrix}, \quad
\gamma_\mu =\eta_{\mu\nu}\gamma^\nu = \{-\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3\}, \quad
\gamma_5=i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3 =
\begin{bmatrix}
\mathbb I_2 & 0 \\
0 & -\mathbb I_2
\end{bmatrix}\\ \\
P_L = \frac{1}{2}(1+\gamma_5) = \begin{bmatrix}
\mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}, \quad
P_R = \frac{1}{2}(1-\gamma_5) = \begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & \mathbb I_2
\end{bmatrix}
\)
Alussa mainitut 8x8-generaattorit voidaan laskea (järjestys \(\mathcal H_I \otimes \mathcal H_S\))
\(
\begin{align} \vec t &= \{t_1,t_2,t_3\}= \frac g 2 \left\{ \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \right\} \otimes P_L = \frac g 2 \left\{\begin{pmatrix}0 & P_L \\ P_L & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & -iP_L \\ iP_L & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}P_L & 0 \\ 0 & -P_L \end{pmatrix} \right\} \\\\
t_L & \propto \mathbb I_2 \otimes (2P_L) = 2 \begin{pmatrix}
P_L & 0 \\
0 & P_L
\end{pmatrix}, \quad t_R \propto \mathbb I_2 \otimes (2P_R) = 2 \begin{pmatrix}
P_R & 0 \\
0 & P_R
\end{pmatrix} \\\\
y &= g'\left(\frac12 \mathbb I_2 \otimes P_L + \mathbb I_2 \otimes P_R\right) =
g' \begin{pmatrix}
\frac12 \mathbb I_2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \mathbb I_2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac12 \mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mathbb I_2
\end{pmatrix} \\\\
n_e &= g''\left( \mathbb I_2 \otimes P_L + \mathbb I_2 \otimes P_R \right) = g''\ \mathbb I_8
\end{align}
\)
Tuossa \(\vec t\):ssä on projektio \(P_L\), joten heikko isospin kohdistuu vain \(e_L\)- ja \(\nu_L\)-komponentteihin. Myös \(t_L\) kohdistuu vain L-komponentteihin. Kahteen alimpaan \(e_R\)-komponenttiin kohdistuu \(t_R\). Generaattoreista \(t_L\) ja \(t_R\) saadut äärelliset muunnokset tuottavat vaihekertoimen, jonka eksponentissa on 2, tai jokin muu verrannollisuus-kerroin. Generaattorit \(\{\vec t, t_L, t_R\}\) ovat kanta Lien algebralle \(\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak u(1) \oplus \mathfrak u(1) \), jota vastaa mittaryhmä \(SU(2)_L \times U(1)_L \times U(1)_R\).
Kirjassa tehdään kantamuunnos \(\{\vec t, t_L, t_R\} \to \{\vec t, y, n_e\}\). Edellisistä matriiseista näkeekin, että
\(\displaystyle y \sim g'\left( \frac 12 t_L + t_R \right) \\\\ n_e \sim g''(t_L+t_R) \)
Generaattori \(n_e\) (ja myös \(t_L\) ja \(t_R\)) poistetaan perustuen siihen, että kaikkiin elektroni- ja neutriino-komponentteihin kytkeytyvä mittakenttä olisi pitkälle kantava, ja sähkömagnetismin kaltainen, jollaista ei ole havaittu. Jäljelle jää ryhmä \(SU(2)_L \times U(1)_Y\), ja \(\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak u(1)\):n kanta \(\{\vec t, y\}\). Näitä symmetrian generaattoreita vastaa neljä mittakenttää, jotka ovat \(\vec A^\mu=(A_1^\mu, A_2^\mu, A_3^\mu)^T\) ja \(B^\mu\).
Valitaan parametri \(\vec \alpha\) generaattorille \(\vec t = \frac g 2 \vec \sigma \otimes P_L\), ja \(\beta\) generaattorille \(y = g'\left(\frac12 \mathbb I_2 \otimes P_L + \mathbb I_2 \otimes P_R\right)\). Mittaryhmän äärellinen muunnos on
\(\displaystyle U(\vec \alpha, \beta) = \exp(i \vec \alpha \cdot \vec t + i \beta y) = \exp \left[ i \left(\frac g 2 \vec \alpha \cdot \vec \sigma + \frac{g'}{2} \beta\ \mathbb I_2 \right) \otimes P_L + i \left( g' \beta\ \mathbb I_2 \right) \otimes P_R \right]\)
Projektiot \(P_L\) ja \(P_R\) jakavat \(U\):n vasen- ja oikeakiraaliseen osaan.
Rotaatio \(\exp \left[ i \left(\frac g 2 \vec \alpha \cdot \vec \sigma \right) \otimes P_L \right] \in SU(2)_L \) kohdistuu neljään L-komponenttiin \((\nu_L, e_L)^T\), joka on alussa mainittu dupletti.
Neutriinon R-komponentit ovat nolla, ja \(\exp \left[ i \left( g' \beta\ \mathbb I_2 \right) \otimes P_R \right] \in U(1)_Y\) kohdistuu kahteen elektronin R-komponenttiin \((e_R^3,e_R^4)^T\), joka on singletti. Muunnos tuottaa vaiheen \((e_R^3,e_R^4)^T \to e^{ig'\beta}\ (e_R^3,e_R^4)^T\). Kantamuunnoksen takia myös vasenkiraalisessa osassa on termi \(\exp\left[ \left(\frac{ig'}{2}\beta\ \mathbb I_2 \right) \otimes P_L\right] \in U(1)_Y\), ja se kytkeytyy komponentteihin \((\nu_L, e_L)^T\).
Tässä vaiheessa hypervarauksen \(U(1)_Y\) massaton mittakenttä \(B^\mu\) on kytketty kahteen massattomaan kenttään, elektroniin ja elektronin neutriinoon. Kytkennöissä esiintyy sama kytkentävakio \(g'\). Massaton \(SU(2)_L\)-mittakenttä \(\vec A^\mu\) on kytketty niin ikään \(\nu_e\): ja \(e\):n L-komponentteihin. Näin on varhaisessa universumissa voinut ollakin, kaksi pitkän kantaman vuorovaikutusta, ja ilman sähkömagnetismia.
Merkitään neutriinon ja elektronin 8-komponenttinen dupltetti \(\ell=(\nu, e)^T\), ja vastaava \(\overline\ell=(\overline \nu, \overline e)\). Muodostetaan Lorentz- ja mittainvariantti Lagrangen tiheys (ylempi rivi Yang-Mills- ja alempi leptoniosa)
\(\begin{align}
\mathcal L_{YM}+\mathcal L_e = &-\frac14(\partial_\mu\vec A_\nu-\partial_\nu\vec A_\mu+g\vec A_\mu \times \vec A_\nu)^2 -\frac14(\partial_\mu B_\nu-\partial_\nu B_\mu)^2 \\
&- \mathscr{\overline l}(\partial\!\!\!/ -i\vec A\!\!\!/ \cdot \vec t - iB\!\!\!/ y)\mathscr l
\end{align}\)
Kun määritellään kovariantti derivaatta \(D_\mu=\partial_\mu-i\vec A_\mu \cdot \vec t - iB_\mu y\), niin leptoniosa voidaan kirjoittaa \(-\mathscr{\overline l}\gamma^\mu D_\mu \mathscr{l}\). Termi \(\vec A_\mu \cdot \vec t = \vec A_\mu \cdot (\frac g 2 \vec \sigma \otimes P_L)\), joten \(\vec A^\mu\) kytkeytyy vain L-komponentteihin. Vastaavasti \(B^\mu\) kytkeytyy L- ja R-komponentteihin.
Elektroni voitaisiin yrittää saada massalliseksi Lortenz-invariantilla termillä \(\mathcal L_m = -m\overline e e = -m (\overline e_L\ e_R + \overline e_R\ e_L)\). Lorentz-invarianssi toteutuukin, mutta L- ja R-komponentit sekoittuvat ja saavat kertoimia, kun tehdään muunnos \(SU(2)_L \times U(1)_Y\), joten mittainvarianssi ei toteudu. Neutriinon vastaavaa termi on nolla, koska \(\nu_R = 0\). Vaikka \(\nu_R\)-komponentit lisättäisiin, niin invarianssi ei toteutuisi.
Spinori-sisätulon \(\overline e e\) notaatiossa \(e = ( e_L^1, e_L^2, e_R^3, e_R^4)^T\) ja \(\overline e = e^\dagger i \gamma^0 = ( {e_R^3}^*, {e_R^4}^*, {e_L^1}^*, {e_L^2}^*)\). Esimerkiksi termi \(\overline e_R\ e_L = {e_R^3}^*\ e_L^1 + {e_R^4}^*\ e_L^2\). Voidaan myös kirjoittaa \(e_L = P_L\ e = (e_L^1, e_L^2, 0,0)^T \) ja \(\overline e_L = \overline e\ P_R = (0,0,{e_L^1}^*, {e_L^2}^*)\), sekä vastaavat \(e_R = P_R\ e\) ja \(\overline e_R = \overline e\ P_L\).
Seuraavaksi kirja käsittelee sähköheikon symmetriarikon, jonka jätän väliin, koska on laaja kokonaisuus. Lyhyesti kyse on siitä, että symmetriarikon jälkeen \(SU(2)_L \times U(1)_Y\)-symmetria ei enää toteudu, vaan ryhmä rikkoutuu aliryhmäksi \(U(1)_{EM}\), joka kuvaa sähkömagneettista vuorovaikutusta. Generaattori on isospinin \(t_3\):n ja heikon hypervarauksen \(y\):n lineaarikombinaatio (vakio \(e\) on sähkövaraus)
\(\displaystyle q = \frac e g t_3 - \frac{e}{g'}y =- \sin\theta\ t_3 + \cos\theta\ y =
-e \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \mathbb I_2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mathbb I_2
\end{pmatrix} \)
missä \(\sin\theta=-e/g\) ja \(\cos\theta=-e/g'\). Tätä Lien algebran kantavektoria vastaa fotonin mittakenttä \(A^\mu\). Matriisin muodosta näkee, että se kytkeytyy elektronin L- ja R-komponentteihin, ja periaatteessa myös neutriinon R-komponentteihin, jotka ovat kuitenkin nolla, ja neutriinon sähkövaraus on siis nolla. Neljä mittakenttää muuttuvat alkuperäisten \(\vec A^\mu\) ja \(B^\mu\) lineaarikombinaatioiksi
\(\displaystyle W^\mu=\frac{1}{\sqrt{2}}(A_1^\mu+i\ A_2^\mu), \quad W^{\mu*}=\frac{1}{\sqrt{2}}(A_1^\mu-i\ A_2^\mu), \quad Z^\mu=\cos\theta\ A_3^\mu+\sin\theta\ B^\mu, \quad A^\mu=-\sin\theta\ A_3^\mu+\cos\theta\ B^\mu\)
Jätän näiden neljän mittakentän ja leptonien kytkennän väliin, koska on melko pitkä (löytyy tästä viestistä). Mittakentille ja elektronille tulee saada massatermit, jotka toteuttavat mittasymmetrian. Tätä varten esitellään Higgsin 2-komponenttinen dupletti \(\phi = (\phi^+, \phi^0)^T\), ja tälle dupletille mittaryhmän generaattorit
\(\displaystyle \vec t^{(\phi)}=\frac g 2 \vec\sigma,\quad y^{(\phi)}=-\frac{g'}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad q^{(\phi)}=e\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Lagrangen tiheyteen lisätään termi, joka kytkee elektronin L- ja R-komponentit siten, että kytkentään käytetään Higgsin duplettia ja vakiota \(G_e\). Weinbergin kirja antaa alla olevasta vain ensimmäisen rivin, mutta lasken sen auki.
Tähän tarvitaan notaatio \(\overline{(\nu_{eL}, e_L)^T} = (\overline \nu_{eL}, \overline e_L) = (0,0,\nu_1^*, \nu_2^*, 0,0,e_1^*,e_2^*)\), jossa mukana L-konjugoinnit. Laskin auki konkreettiset vektorit, jotta näiden tulot ovat ehkä selvempiä
\(
\begin{align}
\mathscr L_{\phi e} &= -G_e \overline{\begin{pmatrix}\nu_e \\ e \end{pmatrix}}_L \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix} e_R + h.c \\
& = -G_e\ (\overline \nu_{eL}, \overline e_L) \left[ \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix} \otimes
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
e_3 \\
e_4
\end{pmatrix} \right]+ h.c \\\\
& = -G_e \left( 0,0,\nu_1^*,\nu_2^*,\ 0,0,e_1^*,e_2^*\right)\ \left(0,0,e_3\phi^+,e_4\phi^+,0,0,e_3\phi^0,e_4\phi^0 \right)^T+ h.c \\\\
&= -G_e \left(\overline \nu_{eL}\ e_R\ \phi^+ + \overline e_L\ e_R\ \phi^0 \right) -G_e^* \left(\phi^{+*}\ \overline e_R\ \nu_{eL} + \phi^{0*}\ \overline e_R\ e_L \right)
\end{align}
\)
Massatermi \(\mathscr L_e = -m (\overline e_L\ e_R + \overline e_R\ e_L)\) ei toteuttanut mittainvarianssia, mutta Higgsin dupletti muuntuu siten, että elektronin R- ja L-muunnokset kumoutuvat, ja \(\mathscr L_{\phi e}\) on invariantti. Tämän jälkeen lasketaan Higgsin dupletin vakuumiodotusarvot \(\langle \phi^+ \rangle = 0\), ja \(\langle \phi^0 \rangle = v >0\). Lagrangen tiheyden termi on nyt
\(\mathscr L_{\phi e} = -G_e \langle\phi^0\rangle\ \overline e_L\ e_R - G_e^* \langle\phi^0\rangle^*\ \overline e_R\ e_L = -G_e\ v\ \bar e e\)
Elektroni on saanut Higgsin mekanismista massan \(m_e = G_e v\), jota kutsutaan nimellä Diracin massa. Samankaltainen käsittely tuottaa mittabosoneille \(W^\pm\) ja \(Z^0\) massat \(m_w = \frac{v|g|}{2}\), ja \(m_z = \frac{v\sqrt{g^2 + g'^2}}{2}\). Fotoni \(A^\mu\) jää massattomaksi.
Esimerkiksi neutriinon ja positronin sironnan \(\nu_e + e^+ \to \nu_e + e^+\) välittäjä on \(W^+\). Myonin hajoamisen \(\mu^- \to e^- + \bar \nu_e + \nu_\mu\) välittäjä on \(W^-\). Neutriinon ja elektronin sironnan \(\nu_\mu + e^- \to \nu_\mu + e^-\) välittäjä on neutraali \(Z^0\). Tosin noissa kaikissa voi olla muutkin mittabosonit mukana, mutta esimerkkeinä.
Joskus kun saan kirjoitettua tälle jatko-osan, niin sitten neutriinon massa.
Kirja on kryptinen, ja notaatiot, konventiot tai rakenteet jäävät usein ilman selitystä. Jos kuitenkin tuntee aiheen ennestään, niin kirja on antoisa, sillä lukija joutuu muodostamaan teorian yksityiskohdat itse. Edellyttäen, että on "arvannut" kirjoittajan konventiot.
Jaan viestin kahteen osaan, joista ensimmäisessä sähköheikko teoria yleisesti, sekä pintapuolisesti elektronin ja välittäjäbosonien massa. Toisessa viestissä sitten neutriinon massasta, mutta se joskus myöhemmin.
Ensin perusasiat siten kuin kirja ne pelkistetysti esittelee. Elektroni (\(e\)) rakentuu kentän vasen- ja oikeakiraalisista osista (\(e_L, e_R\)), ja elektronin neutriino (\(\nu_e\)) vain vasenkiraalisesta (\(\nu_{eL}\)) osasta. Historiallisesti neutriino oli massaton ja vain vasenkätisiä havaittu. Massattoman neutriinon kiraalisuus ja kätisyys ovat samat, joten oikeakiraalinen osa poistettiin.
\(\displaystyle e_L = \frac{1}{2}(1+\gamma_5)e, \quad e_R = \frac{1}{2}(1-\gamma_5)e, \quad \gamma_5\nu_{eL} = \nu_{eL}\)
Mittaryhmien esitykset ovat vasenkiraalinen dupletti \((\nu_{eL}, e_L)^T\) ja oikeakiraalinen singletti \(e_R\). Suurin mahdollinen mittaryhmä on \(SU(2)_L \times U(1)_L \times U(1)_R\), jonka infinitesimaalinen muunnos kohdistuu duplettiin seuraavasti
\(\delta \begin{pmatrix}\nu_e \\ e\end{pmatrix} = i[\ \vec\epsilon\cdot\vec t+\epsilon_Lt_L+\epsilon_Rt_R\ ]\begin{pmatrix}\nu_e \\ e\end{pmatrix}\)
Ryhmän generaattorit ovat
\(\begin{align}
\vec t &= \frac{g}{4}(1+\gamma_5)\left\{
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\right\}\\
t_L &\propto (1+\gamma_5) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\
t_R &\propto (1-\gamma_5)
\end{align}\)
missä \(g\) on kytkentävakio. Generaattorien \(t_L\) ja \(t_R\) tilalle määritellään kuitenkin eri generaattorit sekä vakiot \(g'\) ja \(g''\)
\(\begin{align}
y &\equiv g'\left[\left(\frac{1+\gamma_5}{4}\right)\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}+
\left(\frac{1-\gamma_5}{2}\right)\right] \\
n_e &\equiv g''\left[\left(\frac{1+\gamma_5}{2}\right)\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}+
\left(\frac{1-\gamma_5}{2}\right)\right]
\end{align}\)
Näistä \(n_e\) jätetään pois, ja jäljelle jääneistä \(\vec t\) ja \(y\) saadaan pienempi mittaryhmä \(SU(2)_L \times U(1)\).
Edellä listattuja määrittelyjä käsiteltiin taannoin Mittakenttäteoriaa-ketjussa, jolloin tein matikkasoftalla erinäisiä matriiseja, jotka sain nyt lopulta toimimaan muutaman virheen korjattuani. Muissa alan kirjoissa teorian perusrakenne kerrotaan selvemmin.
Weinberg jättää kertomatta miten mittaryhmä konkreettisesti toimii Hilbertin avaruudessa, jonka kaksi osaa ovat heikko isospin \(\mathcal H_{\rm{I}}\) ja spinori \(\mathcal H_{\rm{S}}\). Näistä \(\mathcal H_{\rm{I}}\) on selvästi 2-dimensioinen, ja \(SU(2)\) esitetään 2x2-matriisina. Spinori-estiykselle \(\mathcal H_{\rm{S}}\) jää ainakin kaksi mahdollisuutta.
Helpommissa lähteissä \(\mathcal H_{\rm{S}}\) on 2-dimensioinen, ja se esittää vasenkiraalisia komponentteja \((\nu_{eL}, e_L)^T\), jotka ovat kaksi Weylin spinoria. Esitysavaruus on tämän ja isospinin tensoritulo \(\mathcal H = \mathcal H_{\rm{I}} \otimes \mathcal H_{\rm{S}} = \mathbb C^2 \otimes \mathbb C^2\), jonka dimensio on 2x2 = 4. Oikeakiraalinen elektroni esitetään yhtenä Weylin spinorina \(e_R\).
Weinbergin Volume 1:ssä fermioni-kenttä on Lorentz-ryhmän redusoituva esitys \((\frac 12, 0) \oplus (0, \frac 12)\), joka on Diracin spinori. Siksi sähköheikon teorian \(\mathcal H_{\rm{S}}\):ksi on luonnollista valita 4-komponenttinen Diracin spinori \((\psi_L^1,\psi_L^2,\psi_R^3,\psi_R^4)^T\). Isospin- ja spinori-avaruuden tensoritulo on \(\mathcal H = \mathcal H_{\rm{I}} \otimes \mathcal H_{\rm{S}} = \mathbb C^2 \otimes \mathbb C^4\), jonka dimensio on 2x4 = 8. Kuitenkin neutriinon oikeakiraaliset komponentit ovat aina nolla, ja merkitseviä komponentteja on 6. Mielestäni on mahdollista valita myös 4-komponenttinen käsittely, mutta mennään nyt 8-komponenttisella, jotta ei päästä liian helpolla.
Rakennetta käsiteltiin tässä viestissä. Tensoritulon järjestys on merkitsevä, ja aikanaan sattumalta poimin \(\mathcal H_{\rm{I}} \otimes \mathcal H_{\rm{S}}\), mutta laskin matriisit eri järjestyksessä, jonka takia oli virheitä. Weinbergin notaatio tosin viittaa järjestykseen \(\mathcal H_{\rm{S}} \otimes \mathcal H_{\rm{I}}\), mutta järjestyksen voi valita, kun muistaa valita Kroneckerin tulon ja dupletin komponentit oikeaan järjestykseen.
Signatuuri on (-,+,+,+), ja dupletti on \((\nu, e)^T = (\nu_L^1, \nu_L^2, 0,0 ,\ e_L^1, e_L^2, e_R^3, e_R^4)^T \in \mathcal H_{\rm{I}} \otimes \mathcal H_{\rm{S}}\), missä siis kaksi Diracin spinoria. Neutriinon R-komponentit ovat nolla. Diracin matriisit sekä kiraalisuuden projektiot \(P_L\) ja \(P_R\) ovat 4x4-matriiseja
\(\gamma^0=-i\begin{bmatrix}
0 & \mathbb I_2 \\
\mathbb I_2 & 0
\end{bmatrix}, \quad
\gamma^i=-i\begin{bmatrix}
0 & \sigma_i \\
-\sigma_i & 0
\end{bmatrix}, \quad
\gamma_\mu =\eta_{\mu\nu}\gamma^\nu = \{-\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3\}, \quad
\gamma_5=i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3 =
\begin{bmatrix}
\mathbb I_2 & 0 \\
0 & -\mathbb I_2
\end{bmatrix}\\ \\
P_L = \frac{1}{2}(1+\gamma_5) = \begin{bmatrix}
\mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}, \quad
P_R = \frac{1}{2}(1-\gamma_5) = \begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & \mathbb I_2
\end{bmatrix}
\)
Alussa mainitut 8x8-generaattorit voidaan laskea (järjestys \(\mathcal H_I \otimes \mathcal H_S\))
\(
\begin{align} \vec t &= \{t_1,t_2,t_3\}= \frac g 2 \left\{ \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \right\} \otimes P_L = \frac g 2 \left\{\begin{pmatrix}0 & P_L \\ P_L & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & -iP_L \\ iP_L & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}P_L & 0 \\ 0 & -P_L \end{pmatrix} \right\} \\\\
t_L & \propto \mathbb I_2 \otimes (2P_L) = 2 \begin{pmatrix}
P_L & 0 \\
0 & P_L
\end{pmatrix}, \quad t_R \propto \mathbb I_2 \otimes (2P_R) = 2 \begin{pmatrix}
P_R & 0 \\
0 & P_R
\end{pmatrix} \\\\
y &= g'\left(\frac12 \mathbb I_2 \otimes P_L + \mathbb I_2 \otimes P_R\right) =
g' \begin{pmatrix}
\frac12 \mathbb I_2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \mathbb I_2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac12 \mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mathbb I_2
\end{pmatrix} \\\\
n_e &= g''\left( \mathbb I_2 \otimes P_L + \mathbb I_2 \otimes P_R \right) = g''\ \mathbb I_8
\end{align}
\)
Tuossa \(\vec t\):ssä on projektio \(P_L\), joten heikko isospin kohdistuu vain \(e_L\)- ja \(\nu_L\)-komponentteihin. Myös \(t_L\) kohdistuu vain L-komponentteihin. Kahteen alimpaan \(e_R\)-komponenttiin kohdistuu \(t_R\). Generaattoreista \(t_L\) ja \(t_R\) saadut äärelliset muunnokset tuottavat vaihekertoimen, jonka eksponentissa on 2, tai jokin muu verrannollisuus-kerroin. Generaattorit \(\{\vec t, t_L, t_R\}\) ovat kanta Lien algebralle \(\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak u(1) \oplus \mathfrak u(1) \), jota vastaa mittaryhmä \(SU(2)_L \times U(1)_L \times U(1)_R\).
Kirjassa tehdään kantamuunnos \(\{\vec t, t_L, t_R\} \to \{\vec t, y, n_e\}\). Edellisistä matriiseista näkeekin, että
\(\displaystyle y \sim g'\left( \frac 12 t_L + t_R \right) \\\\ n_e \sim g''(t_L+t_R) \)
Generaattori \(n_e\) (ja myös \(t_L\) ja \(t_R\)) poistetaan perustuen siihen, että kaikkiin elektroni- ja neutriino-komponentteihin kytkeytyvä mittakenttä olisi pitkälle kantava, ja sähkömagnetismin kaltainen, jollaista ei ole havaittu. Jäljelle jää ryhmä \(SU(2)_L \times U(1)_Y\), ja \(\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak u(1)\):n kanta \(\{\vec t, y\}\). Näitä symmetrian generaattoreita vastaa neljä mittakenttää, jotka ovat \(\vec A^\mu=(A_1^\mu, A_2^\mu, A_3^\mu)^T\) ja \(B^\mu\).
Valitaan parametri \(\vec \alpha\) generaattorille \(\vec t = \frac g 2 \vec \sigma \otimes P_L\), ja \(\beta\) generaattorille \(y = g'\left(\frac12 \mathbb I_2 \otimes P_L + \mathbb I_2 \otimes P_R\right)\). Mittaryhmän äärellinen muunnos on
\(\displaystyle U(\vec \alpha, \beta) = \exp(i \vec \alpha \cdot \vec t + i \beta y) = \exp \left[ i \left(\frac g 2 \vec \alpha \cdot \vec \sigma + \frac{g'}{2} \beta\ \mathbb I_2 \right) \otimes P_L + i \left( g' \beta\ \mathbb I_2 \right) \otimes P_R \right]\)
Projektiot \(P_L\) ja \(P_R\) jakavat \(U\):n vasen- ja oikeakiraaliseen osaan.
Rotaatio \(\exp \left[ i \left(\frac g 2 \vec \alpha \cdot \vec \sigma \right) \otimes P_L \right] \in SU(2)_L \) kohdistuu neljään L-komponenttiin \((\nu_L, e_L)^T\), joka on alussa mainittu dupletti.
Neutriinon R-komponentit ovat nolla, ja \(\exp \left[ i \left( g' \beta\ \mathbb I_2 \right) \otimes P_R \right] \in U(1)_Y\) kohdistuu kahteen elektronin R-komponenttiin \((e_R^3,e_R^4)^T\), joka on singletti. Muunnos tuottaa vaiheen \((e_R^3,e_R^4)^T \to e^{ig'\beta}\ (e_R^3,e_R^4)^T\). Kantamuunnoksen takia myös vasenkiraalisessa osassa on termi \(\exp\left[ \left(\frac{ig'}{2}\beta\ \mathbb I_2 \right) \otimes P_L\right] \in U(1)_Y\), ja se kytkeytyy komponentteihin \((\nu_L, e_L)^T\).
Tässä vaiheessa hypervarauksen \(U(1)_Y\) massaton mittakenttä \(B^\mu\) on kytketty kahteen massattomaan kenttään, elektroniin ja elektronin neutriinoon. Kytkennöissä esiintyy sama kytkentävakio \(g'\). Massaton \(SU(2)_L\)-mittakenttä \(\vec A^\mu\) on kytketty niin ikään \(\nu_e\): ja \(e\):n L-komponentteihin. Näin on varhaisessa universumissa voinut ollakin, kaksi pitkän kantaman vuorovaikutusta, ja ilman sähkömagnetismia.
Merkitään neutriinon ja elektronin 8-komponenttinen dupltetti \(\ell=(\nu, e)^T\), ja vastaava \(\overline\ell=(\overline \nu, \overline e)\). Muodostetaan Lorentz- ja mittainvariantti Lagrangen tiheys (ylempi rivi Yang-Mills- ja alempi leptoniosa)
\(\begin{align}
\mathcal L_{YM}+\mathcal L_e = &-\frac14(\partial_\mu\vec A_\nu-\partial_\nu\vec A_\mu+g\vec A_\mu \times \vec A_\nu)^2 -\frac14(\partial_\mu B_\nu-\partial_\nu B_\mu)^2 \\
&- \mathscr{\overline l}(\partial\!\!\!/ -i\vec A\!\!\!/ \cdot \vec t - iB\!\!\!/ y)\mathscr l
\end{align}\)
Kun määritellään kovariantti derivaatta \(D_\mu=\partial_\mu-i\vec A_\mu \cdot \vec t - iB_\mu y\), niin leptoniosa voidaan kirjoittaa \(-\mathscr{\overline l}\gamma^\mu D_\mu \mathscr{l}\). Termi \(\vec A_\mu \cdot \vec t = \vec A_\mu \cdot (\frac g 2 \vec \sigma \otimes P_L)\), joten \(\vec A^\mu\) kytkeytyy vain L-komponentteihin. Vastaavasti \(B^\mu\) kytkeytyy L- ja R-komponentteihin.
Elektroni voitaisiin yrittää saada massalliseksi Lortenz-invariantilla termillä \(\mathcal L_m = -m\overline e e = -m (\overline e_L\ e_R + \overline e_R\ e_L)\). Lorentz-invarianssi toteutuukin, mutta L- ja R-komponentit sekoittuvat ja saavat kertoimia, kun tehdään muunnos \(SU(2)_L \times U(1)_Y\), joten mittainvarianssi ei toteudu. Neutriinon vastaavaa termi on nolla, koska \(\nu_R = 0\). Vaikka \(\nu_R\)-komponentit lisättäisiin, niin invarianssi ei toteutuisi.
Spinori-sisätulon \(\overline e e\) notaatiossa \(e = ( e_L^1, e_L^2, e_R^3, e_R^4)^T\) ja \(\overline e = e^\dagger i \gamma^0 = ( {e_R^3}^*, {e_R^4}^*, {e_L^1}^*, {e_L^2}^*)\). Esimerkiksi termi \(\overline e_R\ e_L = {e_R^3}^*\ e_L^1 + {e_R^4}^*\ e_L^2\). Voidaan myös kirjoittaa \(e_L = P_L\ e = (e_L^1, e_L^2, 0,0)^T \) ja \(\overline e_L = \overline e\ P_R = (0,0,{e_L^1}^*, {e_L^2}^*)\), sekä vastaavat \(e_R = P_R\ e\) ja \(\overline e_R = \overline e\ P_L\).
Seuraavaksi kirja käsittelee sähköheikon symmetriarikon, jonka jätän väliin, koska on laaja kokonaisuus. Lyhyesti kyse on siitä, että symmetriarikon jälkeen \(SU(2)_L \times U(1)_Y\)-symmetria ei enää toteudu, vaan ryhmä rikkoutuu aliryhmäksi \(U(1)_{EM}\), joka kuvaa sähkömagneettista vuorovaikutusta. Generaattori on isospinin \(t_3\):n ja heikon hypervarauksen \(y\):n lineaarikombinaatio (vakio \(e\) on sähkövaraus)
\(\displaystyle q = \frac e g t_3 - \frac{e}{g'}y =- \sin\theta\ t_3 + \cos\theta\ y =
-e \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \mathbb I_2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mathbb I_2
\end{pmatrix} \)
missä \(\sin\theta=-e/g\) ja \(\cos\theta=-e/g'\). Tätä Lien algebran kantavektoria vastaa fotonin mittakenttä \(A^\mu\). Matriisin muodosta näkee, että se kytkeytyy elektronin L- ja R-komponentteihin, ja periaatteessa myös neutriinon R-komponentteihin, jotka ovat kuitenkin nolla, ja neutriinon sähkövaraus on siis nolla. Neljä mittakenttää muuttuvat alkuperäisten \(\vec A^\mu\) ja \(B^\mu\) lineaarikombinaatioiksi
\(\displaystyle W^\mu=\frac{1}{\sqrt{2}}(A_1^\mu+i\ A_2^\mu), \quad W^{\mu*}=\frac{1}{\sqrt{2}}(A_1^\mu-i\ A_2^\mu), \quad Z^\mu=\cos\theta\ A_3^\mu+\sin\theta\ B^\mu, \quad A^\mu=-\sin\theta\ A_3^\mu+\cos\theta\ B^\mu\)
Jätän näiden neljän mittakentän ja leptonien kytkennän väliin, koska on melko pitkä (löytyy tästä viestistä). Mittakentille ja elektronille tulee saada massatermit, jotka toteuttavat mittasymmetrian. Tätä varten esitellään Higgsin 2-komponenttinen dupletti \(\phi = (\phi^+, \phi^0)^T\), ja tälle dupletille mittaryhmän generaattorit
\(\displaystyle \vec t^{(\phi)}=\frac g 2 \vec\sigma,\quad y^{(\phi)}=-\frac{g'}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad q^{(\phi)}=e\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Lagrangen tiheyteen lisätään termi, joka kytkee elektronin L- ja R-komponentit siten, että kytkentään käytetään Higgsin duplettia ja vakiota \(G_e\). Weinbergin kirja antaa alla olevasta vain ensimmäisen rivin, mutta lasken sen auki.
Tähän tarvitaan notaatio \(\overline{(\nu_{eL}, e_L)^T} = (\overline \nu_{eL}, \overline e_L) = (0,0,\nu_1^*, \nu_2^*, 0,0,e_1^*,e_2^*)\), jossa mukana L-konjugoinnit. Laskin auki konkreettiset vektorit, jotta näiden tulot ovat ehkä selvempiä
\(
\begin{align}
\mathscr L_{\phi e} &= -G_e \overline{\begin{pmatrix}\nu_e \\ e \end{pmatrix}}_L \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix} e_R + h.c \\
& = -G_e\ (\overline \nu_{eL}, \overline e_L) \left[ \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix} \otimes
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
e_3 \\
e_4
\end{pmatrix} \right]+ h.c \\\\
& = -G_e \left( 0,0,\nu_1^*,\nu_2^*,\ 0,0,e_1^*,e_2^*\right)\ \left(0,0,e_3\phi^+,e_4\phi^+,0,0,e_3\phi^0,e_4\phi^0 \right)^T+ h.c \\\\
&= -G_e \left(\overline \nu_{eL}\ e_R\ \phi^+ + \overline e_L\ e_R\ \phi^0 \right) -G_e^* \left(\phi^{+*}\ \overline e_R\ \nu_{eL} + \phi^{0*}\ \overline e_R\ e_L \right)
\end{align}
\)
Massatermi \(\mathscr L_e = -m (\overline e_L\ e_R + \overline e_R\ e_L)\) ei toteuttanut mittainvarianssia, mutta Higgsin dupletti muuntuu siten, että elektronin R- ja L-muunnokset kumoutuvat, ja \(\mathscr L_{\phi e}\) on invariantti. Tämän jälkeen lasketaan Higgsin dupletin vakuumiodotusarvot \(\langle \phi^+ \rangle = 0\), ja \(\langle \phi^0 \rangle = v >0\). Lagrangen tiheyden termi on nyt
\(\mathscr L_{\phi e} = -G_e \langle\phi^0\rangle\ \overline e_L\ e_R - G_e^* \langle\phi^0\rangle^*\ \overline e_R\ e_L = -G_e\ v\ \bar e e\)
Elektroni on saanut Higgsin mekanismista massan \(m_e = G_e v\), jota kutsutaan nimellä Diracin massa. Samankaltainen käsittely tuottaa mittabosoneille \(W^\pm\) ja \(Z^0\) massat \(m_w = \frac{v|g|}{2}\), ja \(m_z = \frac{v\sqrt{g^2 + g'^2}}{2}\). Fotoni \(A^\mu\) jää massattomaksi.
Esimerkiksi neutriinon ja positronin sironnan \(\nu_e + e^+ \to \nu_e + e^+\) välittäjä on \(W^+\). Myonin hajoamisen \(\mu^- \to e^- + \bar \nu_e + \nu_\mu\) välittäjä on \(W^-\). Neutriinon ja elektronin sironnan \(\nu_\mu + e^- \to \nu_\mu + e^-\) välittäjä on neutraali \(Z^0\). Tosin noissa kaikissa voi olla muutkin mittabosonit mukana, mutta esimerkkeinä.
Joskus kun saan kirjoitettua tälle jatko-osan, niin sitten neutriinon massa.