Paska Hilbertin hotelli

[Keckman]

Olkoon Hilbertin hotellit täynnä. Väitetään, että sinne voidaan silti lisätä esimerkiksi yksi asukas, kun kaikkia siirretään yksi eteenpäin. Mutta ennen kuin 1 siirretään 2:een, täytyisi 2 olla vapaa eli 2 siirrettynä 3:een. Mutta ennen kuin 2 voidaan siirtää 3:een täytyy 3 olla vapaana, mutta ... Aivan paska hotelli. Siirrot pitäisi aloittaa peräpäästä eli äärettömästä. Siinäpähän aloitatte tai edes yritätte. Paska ja ihan perseestä revitty tuo Hilbertin hotelli

[Abezethibou]

Olkoon Hilbertin hotellit täynnä. Väitetään, että sinne voidaan silti lisätä esimerkiksi yksi asukas, kun kaikkia siirretään yksi eteenpäin. Mutta ennen kuin 1 siirretään 2:een, täytyisi 2 olla vapaa eli 2 siirrettynä 3:een. Mutta ennen kuin 2 voidaan siirtää 3:een täytyy 3 olla vapaana, mutta ... Aivan paska hotelli. Siirrot pitäisi aloittaa peräpäästä eli äärettömästä. Siinäpähän aloitatte tai edes yritätte. Paska ja ihan perseestä revitty tuo Hilbertin hotelli

Muistelen sen alkujaan menneen niin, että hotellivieraat vaihtavat huoneeseen jonka numero on kaksi kertaa nykyisen huoneen numero. Esimerkiksi huoneesta yksi siirrytään huoneeseen kaksi ja huoneesta kaksi huoneeseen neljä. Jokainen pystyy laskemaan uuden huoneen numeron joten kaikki voivat siirtyä samanaikaisesti. Tällä tavalla kaikki parittomat huoneet vapautuvat uusille vieraille. Saatan muistella väärinkin. Tarina muistaakseni kertoo, että hotellin pihaan tulee ääretön määrä linja-autoja joissa jokaisessa on ääretön määrä matkustajia ja kaikille löytyy täydestä hotellista huoneet.

Se että vieraat eivät voi yksi kerrallaan siirtyä kertoo kai siitä, että äärettömyyksiä ei voi käsitellä samalla tavalla kun äärellisiä asioita.

[Keckman]

Samuli Siltanen, proffessori, hs:ssä esittie edellä mainitun version:

[Keckman]

Muistelen sen alkujaan menneen niin, että hotellivieraat vaihtavat huoneeseen jonka numero on kaksi kertaa nykyisen huoneen numero. Esimerkiksi huoneesta yksi siirrytään huoneeseen kaksi ja huoneesta kaksi huoneeseen neljä. Jokainen pystyy laskemaan uuden huoneen numeron joten kaikki voivat siirtyä samanaikaisesti.

"Samanaikaisesti"? - ennen kuin 1 pystyy siirtymään 2:seen, on täytynyt 2:n tyhjentyä. 2:n on lähdettävä liikkeelle ennen. Mitään ei voi tapahtua 0 pituisessa ajanvälissä. Vaaditaan aikaa: lähtö ja siirtymä. Tästä seuraa, että siirtymät täytyy tehdä jossakin järjestyksessä ja jotta siirtymät olisiavt mahdollisia, täytyy ensimmäinen siirtymä olla suurin luvuista, jollaista N:ssä ei ole.

[QS]

Siirrot pitäisi aloittaa peräpäästä eli äärettömästä.

Miksi pitäisi aloittaa äärettömästä? Sanot 1:lle, että siirry 2:een. Huone 1 vapautuu sillä hetkellä, ja uusi vieras sisään 1:een. Aiempi asukas on samalla häätämässä huoneen 2 asukasta, ja asettuu sinne. Huoneen 2 asukas siirtyy kohti 3:sta ja niin edelleen.

Kun seuraava uusi asukas tulee aulaan, niin sama prosessi käynnistyy. Kun homma on tahdistettu, niin ei tässä teoreettisesti ajateltuna sumppuuntumistakaan ole.

[Keckman]

Siirrot pitäisi aloittaa peräpäästä eli äärettömästä.

Miksi pitäisi aloittaa äärettömästä? Sanot 1:lle, että siirry 2:een. Huone 1 vapautuu sillä hetkellä, ja uusi vieras sisään 1:een. Aiempi asukas on samalla häätämässä huoneen 2 asukasta, ja asettuu sinne. Huoneen 2 asukas siirtyy kohti 3:sta ja niin edelleen.

Kun seuraava uusi asukas tulee aulaan, niin sama prosessi käynnistyy. Kun homma on tahdistettu, niin ei tässä teoreettisesti ajateltuna sumppuuntumistakaan ole.

QS, kuvaat nyt prosessia, joka toimii vain, jos hyväksytään valmis ääretön ketju. Juuri sitä minä kyseenalaistan.

Jos huoneen 1 asukas siirtyy kohti huonetta 2, hän syrjäyttää huoneen 2 asukkaan, joka syrjäyttää huoneen 3 asukkaan ja niin edelleen. Missä kohtaa tämä prosessi alkaa? Äärellisessä hotellissa aloitettaisiin viimeisestä huoneesta, mutta luonnollisissa luvuissa ei ole viimeistä huonetta.

Matemaatikot ratkaisevat tämän sanomalla, että kaikki siirtyvät "samanaikaisesti". Minusta se ei kuitenkaan selitä ongelmaa vaan siirtää sen maton alle. Samanaikaisuus ei poista sitä, että jokaisen siirtymän onnistuminen riippuu seuraavasta siirtymästä.

Täsmälleen sama ongelma näkyy mielestäni äärettömien joukkojen luetteloinnissa. Kun sanotaan, että kaikki luonnolliset luvut ovat valmiina olemassa olevana joukkona, voidaan tehdä temppuja kuten Hilbertin hotellissa tai Cantorin todistuksissa. Mutta jos tarkastellaan asiaa prosessina, jota rakennetaan askel askeleelta, "kaikki luonnolliset luvut" eivät koskaan tule valmiiksi.

Siksi väitän, että Hilbertin hotellin temppu ei todista mitään reaalimaailman kaltaisesta hotellista. Se todistaa vain, että jos oletetaan valmis ääretön kokonaisuus, sille voidaan määritellä kuvaus n↦n+1. Se on matemaattinen uudelleennimeäminen, ei toteutettava siirto-operaatio.

Minun mielestäni koko paradoksi lepää saman oletuksen varassa kuin suuri osa äärettömien joukkojen teoriasta: oletetaan etukäteen, että valmis ääretön joukko on olemassa. Juuri tämä oletus on se, jota en hyväksy.

[QS]

Ei luonnossa tarvitse esiintyä ääretöntä, ja ääretön ei ole osa normaaleja lukujoukkoja. Sen sijaan ääretön voidaan liittää osaksi ordinaali- tai kardinaalilukuja. Luonnon itsensä ei tarvitse toteuttaa näitä mainittuja millään havaittavalla tavalla.

[Keckman]

Kardinaalilukuja on nykymatikassa ääretön määrä, koska jokaisen joukon potenssijoukon kardinaaliluku on astetta suurempi kuin joukon. Äärettömyyden eri asteita on ääretön määrä. Kuulostaa minun korvissani ja tuntuu minun sielussani järjettömyydeltä, mutta siinäpähän leikitte. Minä en leiki paskalla.

[QS]

Mielestäni ääretön on yhtä hyvin määritelty käsite kuin tyhjä joukko tai nolla, joita ei myöskään esiinny luonnossa.

[Keckman]

Kaikki mitä on, on vain tietoisuudessa olevaa. Saamme aistiemme kautta käsityksiä tajuntaamme. Ulkopuolinen maailma, jota sinä materialistina kutsut luonnoksi ei eroa matematiikan olioista: molemmat ovat jotain olemassa olevaa vain tietoisuudessamme. Ei ole muuta. Joten argumenttiisi ei puhu ja käytä samaa kieltä kuin minä, joten voin sen sivuuttaa täytetnä hölynpölynä.