Painovoimaa voi esiintyä ilman massaa

[QS]

Tuli mielen ihan tälläinen, että klassisesti painovoima määritellään gravitaatiopotentiaalin V kautta Poissonin yhtälöllä:

\(\nabla^2 V = 4\pi \rho\),

missä \(\rho\) on tiheys massaan liittyen. Jos koko avaruudessa ei ole yhtään ainetta eli \(\rho\equiv 0\) , joka aiheuttaisi gravitaatiota, niin silloin ylläoleva kaava olisi muotoa:

\(\nabla^2 V =0\).

Yhtälö ei kuitenkaan takaa, että \(V \equiv 0\), vaan V on tuolloin harmoninen funktio Laplacen yhtälön ratkaisuna ja sillä on epätriviaali gradientti eli gravitaatiokentän voimakkuus:

\(g= - \nabla V\)

Eli voiko jo klassisessa fysiikassa olla tilanne, että tyhjässä avaruudessa on epätriviaali gravitaatiokenttä vai miten on?

Jännä kysymys. Jos sain ajatukseni järjestykseen, niin Laplacen yhtälö

\(\nabla \cdot (\nabla V)=0\)

tarkoittaa sitä, että skalaaripotentiaalista \(V\) muodostettu vektorikenttä \(\vec g = \nabla V\) on divergenssitön. Tässä siis vektorikentän divergenssi \(\nabla \cdot \vec g = 0\).

Divergenssitön kenttä \(\vec g\) tarkoittaa sitä, että kyseisessä avaruuden pisteessä 'ei muodostu uutta painovoimaa jo olemassa olevan lisäksi' (keksinpäs villin sanahelinän...)

Heh, muotoilemasi sanallinen periaate kyllä hieman kuulostaa ns. E-fysiikalta, jos nyt tälläinen ilmaisu sallitaan. Vaikka siinä kyllä onkin ihan ajatusta.

Mutta tämä ei kai takaa sitä, että Laplacen yhtälön ratkaisu \(V\) tai \(\vec g\) on yksikäsitteinen. Ratkaisuja ovat kaikki kyseisen paikan lähteettömät kentät, joita on ääretön määrä. Toisin sanoen kaikki painovoimakonfiguraatiot, joiden lähteet ovat muualla kuin tarkastelupisteessä.

Poissonin yhtälö tai vastaava Gaussin painovoimalaki antaa yksikäsitteisen ratkaisun, kun massan tiheys \(\rho\) tunnetaan.

Pitäisikö sitten ajatella, että Poissonin yhtälö on laki painovoimalle, ja Laplacen on vain yleisempi tietyn tyyppisten kenttien ominaisuus.

No, en tiedä vastasinko edes kysymykseen.

Itsekin liikun nyt vähän syvillä vesillä mutta jotenkin tuo että Poissonin yhtälö sellaisenaan määräisi yksikäsitteisen painovoiman potentiaalin ei ehkä ole totta. Ratkaisuja Poisonin yhtälölle löytyy, kuten sanoitkin, ääretön määrä. Tarvittava lisädata on sitten käsittääkseni reunaehdot, joita potentiaalin V tulee toteuttaa.

Ilman reunaehtoja voidaan jokaiseen Poissonin yhtälön ratkaisuun \(V_0\) lisätä Laplacen yhtälön ratkaisu \(V_{Lap}\) ja silloin summa \(V_0 +V_{Lap}\) myös toteuttaa Poissonin yhtälön. Reunaehdot tulee asettaa jotenkin fysikaalisesti järkevällä tavalla ja ne johtavat sitten klassiseen painovoimalakiin. Mutta jos räplää niitä reunaehtoja, saadaan sitten uusia painovoimalakeja?

Toinen asia, joka sivuaa tätä, on se että muistan jostain lukeneeni, että suhteellisuusteorian varhaisaikoina ihan ensimmäinen yritys muokata Poissonin yhtälön määräämää gravitaatiota oletettuun suhtiksen mukaiseen kovarianttiin muotoon oli kai jotain tyyliin:

\(\nabla^2 V -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2V}{\partial t^2} = 4\pi \rho\)

Kun siirrytään uusiin koordinaateihin Lorenntz-muunnoksella \(x' =\lambda x\), voisi tuon Poissonin yhtälön yleistyksen vasen puoli pysyä invarianttina, jos \(V'(x')=V(x)\), siis V(x) on koordinaateista riipumaton aika-avaruuden skalaarifunktio. Kuitenkaan tuo yleistetyn Poissonin oikea puoli eli 3-tiheys ei ole skalaari suhteellisusteorian mielessä, vaan se muuttuu, koska 3-tilavuus \(d^3V = dx dy dz\) muuttuu Lorentz-muunnoksissa (V tuossa kaavassa on tilavuus, ei potentiaali V, kuten asiaan vihkiytyneet toki ymmärtävät)

Okei, elektrodynamiikasta voi ottaa mallia ja tulkita massantiheys \(\rho \) jonkin massan "virrantiheysvektorin" J 0-komponentiksi ja jotenkin yrittää muokata yhtälön

\(\nabla^2 V -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2V}{\partial t^2} = 4\pi \rho\)

oikeaa puolta siten, että se olisi kovariantti, kuten vasen puoli on. Tai sitten keksiä jotain gravitaation magnetismia a la elektrodynamiikka.

Jotain kuitenkin menee pieleen tässä lähestymistavassa ja tälläinen gravitaation yleistäminen suhteellisuusteorian kanssa sopusoinnussa olevaksi gravitaatiolaiksi epäonnistuu. Mulla ei ole mitään lähdettä tälle, koska muistan vain lukeneeni tästä lähestymistavasta ja sen epäonnistumisesta, mutta tarkemmat syyt ovat hämärän peitossa.

Totta, että ysikäsitteinen fysikaalisesti oikea ratkaisu vaatii reunaehdot. Ketjun otsikon artikkelissa kai tehdään reunaehdoille temppuja. En tosin vieläkään ole ehtinyt artikkeliin perehtyä.

Kovariantin Poissonin yhtälön etsijöistä eräs oli muuten suomalainen Gunnar Nordström, mutta ei siitä mitään tullut, vaikka vuosia yritti.

Gravitosähkömagnetismi on osittain toimiva, ja ennustaa jopa gravitaatioaallot, mutta teoria ei käsittääkseni ole kovariantti. Eipä taida noudattaa edes Lorentz-invarianssia täysin.

Tuli aiheen vierestä mieleeni juttuja Einsteinin yhtälöiden, sähkömagnetismin ja Newtonin painovoiman geometrisesta tulkinnasta. Geometrisesti sähkömagnetismin potentiaali \(A_\mu\) voidaan ajatella kentäksi, joka on 1-muoto. Sähkömagneettinen tensori \(F_{\mu\nu}\) on kenttävoimakkuus, joka on 2-muoto.

Riemannin geometriassa konnektio 1-muoto voidaan ajatella kentäksi, joka kuvaa avaruuden rakennetta. Tietyllä tavalla avaruus on siis kenttä. Riemannin tensori muodostetaan tästä 1-muodosta, ja tuloksena on kenttävoimakkuus, minkä voi ajatella avaruuden geometrian voimakkuudeksi. Einsteinin kenttäyhtälöissä on tosin lisäksi metriikka, joten vastaavuus ei ole täydellinen.

Newtonin painovoimassa kenttä on skalaaripotentiaali V, ja kenttävoimakkuus on vektorikenttä \(\vec g\). Tällekin on geometrinen tulkinta, joka kulkee nimellä Newtonin-Cartanin teoria. Tarkkaan en tätä tunne, mutta pääpiirteissään skalaaripotentiaali V edustaa geometriaa, josta muodostetaan konnektiokertoimet ja geodeettinen yhtälö.