Toisessa ketjussa oli puhetta otsikon otuksista, ja avasin ketjun näille. Tein jaon kolmeen osaan: Greenin funktio, Feynmanin propagaattori ja Wightman funktio.
Kaikki liittyvät toisiinsa, mutta perustana on Greenin funktio. Käytän esimerkkinä Klein-Gordon yhtälöä, osin klassisena ja osin kvanttikenttäversiona, joka kuvaa skalaarihiukkasen kenttää.
On laaja aihealue, ja yhteen viestiin ei voi kirjoittaa kaikkea, joten tässä lähinnä määrittelyjä, tuloksia ja nimeämiskäytäntöjä. Ja kuten kvanttiteorioissa on tapana, niin eri lähteissä leijailee runsaasti \(\pm i\) -kertoimia, joiden oikeellisuutta en tässä voi taata. Voidaan tarkistaa myöhemmin, kun mennään yksityiskohtiin.
Asiat tapahtuvat Minkowskin avaruudessa, ja signatuurissa (+,-,-,-). Tapahtuma \(x=(t,\mathbf x)=(x^0,x^i)\) ja vastaava \(y\) ovat Minkowskiavaruuden tapahtumia, \(p=(p^0, \mathbf p)\) on neliliikemäärä, ja sisätulo merkitään \(px=p_0 x^0 - \mathbf p \cdot \mathbf x\).
D'Alembertin operaattori \(\displaystyle \Box = \partial^\mu \partial_\mu = \eta^{\mu\nu} \partial_\nu \partial_\mu = \frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}\).
Greenin funktio ja differentiaalioperaattorin ydin
Epähomogeeninen Klein-Gordon yhtälö kirjoitetaan
\((\Box +m^2)\phi(x)=J(x)\)
missä \(J(x)\) on niin sanottu lähdetermi, ja \(\phi(x)\) on yhtälön klassinen kenttäratkaisu. Yhtälön differentiaalioperaattori on
\(\mathcal L = \Box + m^2\)
Differentiaalioperaattorin ydin määritellään joukkona ratkaisuja \(\phi\), jotka toteuttavat homogeenisen differentiaaliyhtälön
\(\mathcal L \phi = 0\)
Ydin merkitään usein \(\ker \mathcal L\), ja Klein-Gordon differentiaalioperaattorin ydin on siis joukko ratkaisuja
\(\ker \mathcal L = \ker (\Box + m^2) = \left\{ \phi\ |\ (\Box + m^2)\phi = 0\right\}\)
Nämä ovat fysiikassa vapaan kentän ratkaisuja, joista puuttuu lähde \(J(x)\). Voidaan todeta, että esimerkiksi tasoaalto \(\phi(x) = e^{-ipx}\) on eräs tällainen ratkaisu, mutta vain tietyllä ehdolla. Tasoaallon homogeeninen KG yhtälö on
\((\Box + m^2) e^{-ipx} = -(p^2-m^2) e^{-ipx}\)
mistä nähdään, että oikea puoli on nolla, kun \(p^2-m^2=0\). Fysiikassa ehdon nimi on massakuori (mass shell), ja ehto kirjoitetaan positiivisena energiana \(E_\mathbf p = \sqrt{\mathbf p^2 + m^2}\) sekä positiivisena/negatiivisena taajuutena \(\omega = p^0 = \pm E_\mathbf p\).
Greenin funktio \(G(x,y)\) määritellään differentiaalioperaattorille \(\mathcal L\) siten, että \(G(x,y)\) on ratkaisu epähomogeeniseen yhtälöön, jonka lähdetermi on deltafunktio
\(\mathcal L_x\ G(x,y) = \delta^{(4)}(x-y)\)
Kvanttikenttäteorian KG-yhtälölle tuo Greenin funktio saadaan ratkaisemalla (\(-i\) mukana erinäisistä syistä)
\((\Box_x + m^2)\ G(x,y) = -i \delta^{(4)}(x-y)\)
missä oikealla lähdetermi \(J(x) = -i \delta^{(4)}(x-y)\). Greenin funktion \(G(x,y)\) voi tulkita siten, että se kuvaa klassisen kentän \(\phi\) käyttäytymistä tapahtumassa \(x\), kun kenttään vaikuttaa pistemäinen lähde tapahtumassa \(y\). Operaattori \(\Box_x\) kohdistuu tässä tapahtumaan \(x\). Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu \(\phi(x)\) saadaan Greenin funktiosta ja lähdetermistä seuraavasti
\(\displaystyle \phi(x) = i \int d^4y\ G(x,y)\ J(y) + \phi_h(x)\)
missä \(\phi_h(x)\) on homogeenisen yhtälön ratkaisu. \(G(x,y)\) on voimakkuus, jolla lähde \(J\) pisteessä \(y\) vaikuttaa kenttään \(\phi\) pisteessä \(x\). Minkowskin avaruus on translaatioissa invariantti. Kun \(G\) riippuu vain tapahtumista \(x\) ja \(y\), voidaan se kirjoittaa tapahtumien välisen etäisyyden funktiona \(G(x,y) = G(x-y, 0) = G(x-y)\). Tässä muodossa \(G\):n Fourier muunnos on
\(\displaystyle G(x-y)=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\ e^{-ip(x-y)}\ \tilde G(p)\)
Käyttämällä \(\delta\)-funktion määritelmää
\(\displaystyle \delta^{(4)}(x-y)=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\ e^{-ip(x-y)}\)
saa edellä mainittu epähomogeeninen KG yhtälö muodon
\(-(p^2 - m^2) \tilde G(p) = -i\)
Tuosta saadaan suoraan Greenin funktion liikemääräesitys
\(\displaystyle \tilde G(p) = \frac{i}{p^2-m^2}\)
Paikkaesitys saadaan käänteisellä Fourier-muunnoksella
\(\displaystyle G(x,y) = \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p \frac{i\ e^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2}\)
Tässä on kuitenkin kolme asiaa, jotka pitää huomioida: Tapahtumien \(x\) ja \(y\) aikajärjestys ja kausaalisuus, epähomogeenisen yhtälön reunaehto, ja Greenin funktion singulaarinen piste \(p^2-m^2 = 0\). Nämä tulevat huomioiduksi, kun määritellään edistetty (advanced) Greenin funktio \(G_A(x-y)\), viivästetty (retarted) Greenin funktio \(G_R(x-y)\) ja Feynmanin propagaattori \(D_F(x-y)\).
Feynmanin propagaattori
Tarkastellaan vapaan skalaarihiukkasen kvanttikenttää \(\Phi(x)\), joka toteuttaa homogeenisen KG yhtälön. Voidaan kysyä, että mikä on todennäköisyysamplitudi sille, että tapahtumaan \(y\) preparoitu hiukkanen löydetään tapahtumasta \(x\). Periaatteessa tähän voitaisiin vastata käyttämällä operaattorikenttää \(\Phi(x)\) sekä näiden kommutointeja, ja laskemalla
\(\displaystyle D(x-y) = \bra 0 \Phi(x) \Phi(y) \ket 0 = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ e^{-ip(x-y)}\)
Tässä \(p^0 = E_\mathbf p = +\sqrt{\mathbf p^2 + m^2}\), eli \(p^0\) on rajoitettu massakuorelle. Todellisuudessa \(D(x-y)\) ei ole oikein, koska kvanttikentän paikkaesitys ei anna lokalisoitua hiukkasta, ja normitukseen liittyy ongelmia. Kyseessä ei siis ole mitattava todennäköisyyamplitudi. Mutta \(D(x-y)\) on homogeenisen KG yhtälön ratkaisu, eli eräs KG differentiaalioperaattorin ytimen ratkaisuista.
Funktion \(D(x-y)\) nimi on joskus 'propagaattori', ja sen muodosta voi päätellä, että sillä on jokin yhteys Greenin funktioon \(G(x,y)\), vaikka sellaisenaan \(D(x-y)\) ei ole Greenin funktio. Silti \(D(x-y)\) on eräänlainen rakennuspalikka muiden propagaattorien muodostamiseen.
\(D(x-y)\) ei vielä tässä vaiheessa huomioi tapahtumien aikajärjestystä, joka voi olla \(x^0 \gt y^0\) tai \(x^0 \lt y^0\).
Aikajärjestys huomioidaan porrasfunktiolla \(\Theta\), joka saa arvon \(\Theta(x^0-y^0)=0\), kun \(x^0-y^0 \lt 0\), ja muulloin \(\Theta(x^0-y^0)=1\). Joskus määritellään lisäksi \(\Theta(0)=\frac 1 2\). Porrasfunktion avulla voidaan kirjoittaa aikajärjestetty propagaattori
\(\displaystyle D_F(x-y) = \bra 0 \mathcal T \{\Phi(x) \Phi(y)\} \ket 0 = \Theta(x^0-y^0)D(x-y) + \Theta(y^0-x^0)D(y-x)
=\begin{cases}
D(x-y), & \text{kun } x^0 > y^0 \\
D(y-x), & \text{kun } x^0 < y^0 \\
\end{cases}\)
missä \(\mathcal T\) on aikajärjestyksen operaattori, joka kohdistetaan kvanttikenttään seuraavasti
\(\mathcal T \{\Phi(x) \Phi(y)\} = \Theta(x^0-y^0)\Phi(x)\Phi(y)+\Theta(y^0-x^0)\Phi(y)\Phi(x)\)
Funktion \(D_F(x-y)\) nimi on Feynmanin propagaattori, ja se on samalla KG yhtälön Greenin funktio
\((\Box_x + m^2)\ D_F(x-y) = -i \delta^{(4)}(x-y)\)
Greenin funktion ominaisuudet täyttyvät siksi, että \(D_F(x-y)\) sisältää aikajärjestyksen ja kenttäoperaattorien kommutoinnin. Tämä on mielenkiintoinen yksityiskohta, johon voisi joskus palata.
Alussa mainitusta 'propagaattorista' \(D(x-y)\) voidaan muodostaa myös viivästetty (retarted) propagaattori
\(D_R(x-y)
=\begin{cases}
D(x-y)-D(y-x), & \text{kun } x^0 > y^0 \\
0, & \text{kun } x^0 < y^0 \\
\end{cases}\)
ja edistetty (advanced) propagaattori
\(D_A(x-y)
=\begin{cases}
0, & \text{kun } x^0 > y^0 \\
D(y-x)-D(x-y), & \text{kun } x^0 < y^0 \\
\end{cases}\)
Nämä molemmat ovat myös Greenin funktioita. \(D_R\) on hyödyllinen, kun tiedetään (klassisen) kentän konfiguraatio tapahtumassa \(x\), ja halutaan laskea miten kenttä kehittyy ajassa eteenpäin, kun lähde \(J(y)\) vaikuttaa. Viivästetty Greenin funktio tarkoittaa myös sitä, että kentässä ei nähdä muutosta ennen kuin lähde alkaa vaikuttaa.
\(D_A\):ta voidaan käyttää, kun halutaan tietää miten lähde on vaikuttanut kenttään menneisyydessä.
Joskus funktioita \(D_R\) ja \(D_A\) kutsutaan myös nimellä viivästetty ja edistetty Greenin funktio, \(G_R\) ja \(G_A\).
Skalaarikentän Feymanin propagaattorin konkreettinen määrittely on
\(\begin{align}
D_F(x-y)&= \bra 0 \mathcal T \{\Phi(x) \Phi(y)\} \ket 0 \\
&=\frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p\ \frac{i\ e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2 + i\varepsilon} \\
&=\frac{1}{(2\pi)^4} \int d^{3}\textbf{p}\left( \int_{-\infty}^{\infty} dp^0 \ \frac{i\ e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2 + i\varepsilon}\right)
\end{align}
\)
missä nimittäjän \(i\varepsilon\):ssä on pieni reaaliluku \(\varepsilon \gt 0\), jolla integraalin kaksi napaa siirretään pois reaaliselta \(p^0\)-akselilta. Integraali voidaan laskea residylauseen avulla, ja tulos eräässä yleisessä muodossa on
\(\displaystyle D_F(x-y)=\frac{1}{(2\pi)^3} \int d^3 \mathbf p\ \frac{e^{-i E_\mathbf p |x^0-y^0|+ i \mathbf p \cdot(\mathbf x - \mathbf y)}}{2 E_\mathbf p}\)
Feynmanin propagaattori on kvanttikentän aikajärjestetty kahden pisteen korrelaatiofunktio, joka voidaan myös yleistää, kun pisteiden lukumäärä \(n \gt 2\) (n-point correlation function).
Kyseessä ei siis ole klassisen kentän propagaattori, vaan vakuumikorrelaatio, joka antaa kontribuution kvanttikenttäteorian todennäköisyysamplitudeihin. Eräs \(D_F\):n ominaisuus on se, että \(+i\varepsilon\):n avulla saadaan epähomogeenisen KG yhtälön reunaehdot, ja reunaehtoja vastaava Greenin funktio. Tähän asiaan voisi myös palata myöhemmin.
Mainittakoon vielä Feymanin propagaattorin liikemääräesitys
\(\displaystyle \tilde D_F(p) = \frac{i}{p^2-m^2+i\varepsilon}\)
Wightman funktio
Kahden pisteen korrelaatiofunktiot, jotka eivät ole aikajärjestettyjä, voidaan määritellä (massakuoriehto mukana)
\(\displaystyle D_+(x-y)= \bra 0 \Phi(x) \Phi(y) \ket 0 = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ e^{-ip(x-y)} \\
\displaystyle D_-(x-y)= \bra 0 \Phi(y) \Phi(x) \ket 0 = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ e^{+ip(x-y)}\)
Näistä ensimmäinen on sama kuin edellä mainittu 'propagaattori' \(D(x-y)\), joka on tavallaan Greenin funktioiden ja Feynmanin propagaattorin rakennuspalikka. Jälkimmäisessä operaattorikentät ovat eri järjestyksessä. Lorentz-invarianssi näkyy, kun nämä funktiot kirjoitetaan muodossa
\(\displaystyle D_\pm(x-y)= \frac{1}{(2\pi)^3}\int d^4p\ \delta(p^2-m^2)\ \Theta(p^0) \ e^{\mp ip(x-y)}\)
missä \(\delta\) -funktiolla saadaan massakuoriehto. Funktioita kutsutaan Wightman funktioiksi, ja ne eivät ole Greenin funktiota, mutta toteuttavat homogeenisen KG yhtälön
\((\Box_x + m^2) D_\pm(x-y) = 0\)
Wightman funktioiden eräs ominaisuus on \(D_+(x-y) = D_-(y-x)\). Näistä \(D_+\) edustaa positiivista kulmataajuutta \(+p^0\), ja \(D_-\) negatiivista taajuutta \(-p^0\). Feynmanin propagaattori voidaan muodostaa aikajärjestämällä Wightman funktiot
\(D_F(x-y) = \Theta(x^0-y^0)\ D_+(x-y)+\Theta(y^0-x^0)\ D_-(x-y)\).
Iltaa!
Nyt oli kyllä hyvä avaus, tuossa on juuri niitä asioita käsitelty, joita yritin selvitellä, kuten mainitsin siinä toisessa ketjussa, ainoastaan nuo Wightmanin funktiot sellaisia joita en ole edes yrittänyt ymmärtää. Kuitenkin nimi Wightman esiintyy aksiomaattisessa kvanttikenttäteoriassa, siis sellaisessa jossa pyritään kehittämään kvanttikenttäteoriaa matemaattisesti pitävässä muodossa.
Tuossa avauksessa on todella paljon asiaa ja siitä voi haarautua monenlaisia selvitystä vaativia kohtia. Palaan varmasti tähän lähipäivinä.
Nyt oli kyllä hyvä avaus, tuossa on juuri niitä asioita käsitelty, joita yritin selvitellä, kuten mainitsin siinä toisessa ketjussa, ainoastaan nuo Wightmanin funktiot sellaisia joita en ole edes yrittänyt ymmärtää. Kuitenkin nimi Wightman esiintyy aksiomaattisessa kvanttikenttäteoriassa, siis sellaisessa jossa pyritään kehittämään kvanttikenttäteoriaa matemaattisesti pitävässä muodossa.
Tuossa avauksessa on todella paljon asiaa ja siitä voi haarautua monenlaisia selvitystä vaativia kohtia. Palaan varmasti tähän lähipäivinä.
SI Resurrection!