Suhteellisuusteoriaa

[QS]

Tein käsin myöhemmässä viestissäsi olleen pienen korjauksen tähän alle. Juuri kun luulin saaneeni dx:n ojennkseen, niin pitää vielä pushforwardit ja pullbackit lisämausteiksi laittaa. Kaikenlaista

Toisaalta tämä on ymmärrettävä lähestymistapa, koska \(T_p M\) ja \(T_{\phi(p)} \mathbb{R}^n\) ovat monistoja, joiden väliset \(\varphi^{*}\) (pullback) ja \( \varphi_{*}\) (pushforward) ovat määriteltävissä.

Tässä muutamia kommentteja tuohon tangettiavaruusasiaa. Olen käynyt läpi sun edellisiä viestejä ja ne ovat mielestäin pääpiirteittäin oikeita. Alla kuitenkin muutama kommentti. Tää aihe on aika raskas, jos tämän käy ihan pedanttisesti läpi, eräänlainen matopurkki siis.

Monisto M, \(p\in U\subset M\). Karttakuvaus \( , \phi:U\to \phi(U)\subset \mathbb{R}^n\). Karttakuvaus on lauseke\(\phi(p)=((x^1 (p)),...,x^n (p))\).

Mun kahdessa kirjassa tehdään ero tangenttiavaruuden \(T_p M\) ja \(T_{\phi(p)} \mathbb{R}^n\) välillä. Jokainen reaalifunktio \(f:U\to \mathbb{R}\) voidaan "laskea" alas funktioksi \(\hat{f}:\phi(U)\to \mathbb{R}\), joka määritellään \(\hat{f} = f\circ \phi^{-1}\). Tätä voidaan kutsua funktion f koordinaattiesitykseksi.

Kirjat määrittelevät \(T_{\phi(p)} \mathbb{R}^n\) kantavektorit \(\partial_{\phi{p},\mu} \), lyhyesti \(\partial_{\mu}\) kuten sullakin ja sitten kirjat siirtävät nämä moniston tangenttiavaruuteen pushforvardilla (kuvausta \(\phi^{-1} \)vastaava pushforward, notaatio mulla alla hieman huono):

\(E_{p,\mu}= \phi_{*}^{-1} (\partial_{\phi(p),\mu}) \)

tai lyhyemmin:

\(E_{\mu}= \phi_{*}^{-1} (\partial_{\mu})\).

Kantavektori \(E_{\mu}\) operoi moniston M reaalifunktioihin kaavan \(E_{p,\mu}f = \partial_{\mu} (f\circ \phi^{-1})(x(p)) =\frac{\partial\hat{f}}{\partial x_{\mu}}|_{x=\phi(p)\) mukaisesti. Tossa oikea ja vasen puoli on lähes samanlaisia ja helposti (virheellisesti pedanttisesti ottaen) samaistaa \(E_{\mu} = \partial_{\mu}\) ja \(\hat{f} =f\).

..

 

Koetan ensin hahmottaa viimeisen kappaleen.

Vasemmalla puolella on kuvaus \((f\circ \phi^{-1}): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), mikä siis kuvaa koordinaatit \(\mathbb{R}^n\) reaaliluvuksi. Tuohon funktioon \((f\circ \phi^{-1})\) operoi TpM:n vektori \(v=(\partial_0,\partial_1,\partial_2,\partial_3)\).

Vektorin operointi tuottaa funktion \((\partial_{\mu} (f\circ \phi^{-1}))(x(p)) = (\partial_{\mu} (f\circ \phi^{-1}))(x^0,x^1,x^2,x^2)\), mikä on siis koordinaattien \(x^{\mu}\) funktio, ja arvo lasketaan pisteessä \(x^{\mu}\).

Tuloksena on käsittääkseni reaaliluku, ja laskutoimitus on funktion \(f \in M\) suunnattu derivaatta vektorin v suuntaan.

Oikealla puolella on koordinaattifunktion \(\hat{f}(x^{\mu})\) osittaisderivaatta koordinaattien \(x^{\mu}\) suhteen, ja tämän arvo pisteessä \(x=\phi(p)=(x^0,x^1,x^2,x^3)\). Mutta mielestäni tuloksena on vektori.

Pitääkö oikea puoli ajatella \(\frac{\partial\hat{f}}{\partial x_{\mu}}|_{x=\phi(p)} = (\partial_{\mu} \hat{f}) (x^0(p),x^1(p),x^2(p),x^3(p))\), vai ovatko nuo \(\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}\) kantavektoreita vektoriavaruudessa \(T_{\phi(p)} \mathbb{R}^n\).

Näitä tuijottaessa mulla menee perusasiatkin sotkuun, että voin olla aivan hukassa tämän kanssa.

[QS]

Tein käsin myöhemmässä viestissäsi olleen pienen korjauksen tähän alle. Juuri kun luulin saaneeni dx:n ojennkseen, niin pitää vielä pushforwardit ja pullbackit lisämausteiksi laittaa. Kaikenlaista

Toisaalta tämä on ymmärrettävä lähestymistapa, koska \(T_p M\) ja \(T_{\phi(p)} \mathbb{R}^n\) ovat monistoja, joiden väliset \(\varphi^{*}\) (pullback) ja \( \varphi_{*}\) (pushforward) ovat määriteltävissä.

Tässä muutamia kommentteja tuohon tangettiavaruusasiaa. Olen käynyt läpi sun edellisiä viestejä ja ne ovat mielestäin pääpiirteittäin oikeita. Alla kuitenkin muutama kommentti. Tää aihe on aika raskas, jos tämän käy ihan pedanttisesti läpi, eräänlainen matopurkki siis.

Monisto M, \(p\in U\subset M\). Karttakuvaus \( , \phi:U\to \phi(U)\subset \mathbb{R}^n\). Karttakuvaus on lauseke\(\phi(p)=((x^1 (p)),...,x^n (p))\).

Mun kahdessa kirjassa tehdään ero tangenttiavaruuden \(T_p M\) ja \(T_{\phi(p)} \mathbb{R}^n\) välillä. Jokainen reaalifunktio \(f:U\to \mathbb{R}\) voidaan "laskea" alas funktioksi \(\hat{f}:\phi(U)\to \mathbb{R}\), joka määritellään \(\hat{f} = f\circ \phi^{-1}\). Tätä voidaan kutsua funktion f koordinaattiesitykseksi.

Kirjat määrittelevät \(T_{\phi(p)} \mathbb{R}^n\) kantavektorit \({\partial_{\phi{p},\mu} \), lyhyesti \(\partial_{\mu}\) kuten sullakin ja sitten kirjat siirtävät nämä moniston tangenttiavaruuteen pushforvardilla (kuvausta \(\phi^{-1} \)vastaava pushforward, notaatio mulla alla hieman huono):

\(E_{p,\mu}= \phi_{*}^{-1} (\partial_{\phi(p),\mu}) \)

tai lyhyemmin:

\(E_{\mu}= \phi_{*}^{-1} (\partial_{\mu})\).

Kantavektori \(E_{\mu}\) operoi moniston M reaalifunktioihin kaavan \(E_{p,\mu}f = \partial_{\mu} (f\circ \phi^{-1})(x(p)) =\frac{\partial\hat{f}}{\partial x_{\mu}}|_{x=\phi(p)\) mukaisesti. Tossa oikea ja vasen puoli on lähes samanlaisia ja helposti (virheellisesti pedanttisesti ottaen) samaistaa \(E_{\mu} = \partial_{\mu}\) ja \(\hat{f} =f\).

..

 

Koetan ensin hahmottaa viimeisen kappaleen.

Vasemmalla puolella on kuvaus \((f\circ \phi^{-1}): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), mikä siis kuvaa koordinaatit \(\mathbb{R}^n\) reaaliluvuksi. Tuohon funktioon \((f\circ \phi^{-1})\) operoi TpM:n vektori \(v=(\partial_0,\partial_1,\partial_2,\partial_3)\).

Vektorin operointi tuottaa funktion \((\partial_{\mu} (f\circ \phi^{-1}))(x(p)) = (\partial_{\mu} (f\circ \phi^{-1}))(x^0,x^1,x^2,x^2)\), mikä on siis koordinaattien \(x^{\mu}\) funktio, ja arvo lasketaan pisteessä \(x^{\mu}\).

Tuloksena on käsittääkseni reaaliluku, ja laskutoimitus on funktion \(f \in M\) suunnattu derivaatta vektorin v suuntaan.

Oikealla puolella on koordinaattifunktion \(\hat{f}(x^{\mu})\) osittaisderivaatta koordinaattien \(x^{\mu}\) suhteen, ja tämän arvo pisteessä \(x=\phi(p)=(x^0,x^1,x^2,x^3)\). Mutta mielestäni tuloksena on vektori.

Pitääkö oikea puoli ajatella \(\frac{\partial\hat{f}}{\partial x_{\mu}}|_{x=\phi(p)} = (\partial_{\mu} \hat{f}) (x^0(p),x^1(p),x^2(p),x^3(p))\), vai ovatko nuo \(\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}\) kantavektoreita vektoriavaruudessa \(T_{\phi(p)} \mathbb{R}^n\).

Näitä tuijottaessa mulla menee perusasiatkin sotkuun, että voin olla aivan hukassa tämän kanssa.

Eikun joo. Sainoitkin sen suoraan tuossa "Kantavektori \(E_{\mu}\) operoi moniston M reaalifunktioihin". En lukenut tarkkaan.

Yksittäiselle kantavektorille \(E_{\mu}\), ja siis jokainen \({\mu}\) erikseen, molemmat puolet tuottavat reaaliluvun, esimerkiksi \(E_{p,1}f = \partial_{1} (f\circ \phi^{-1})(x(p)) =\frac{\partial\hat{f}}{\partial x_{1}}|_{x=\phi(p)}\)

[QS]

Sitten se pahamaineinen d-operaatio, heh. Tässäkin on olemassa oikeastaan kaksi eri d-operaatiota, toinen on määritelty monistolla M kaavalla df(V) = Vf, kuten jo kirjoititkin. Tämä on määritelty ilman koordinaatteja. Sitten on koordinaattiavaruudessa \(\phi(U)\subset \mathbb{R}^n\) määritelty funktion f koordinaattiesityksen \(\hat{f}\) differentiaali

\(d\hat{f} = \frac{\partial \hat{f}}{\partial x_{\mu}}dx^{\mu}\)

Kyllä. Jotta 'gradientti' ei jää puolitiehen, niin pitänee määritellä myös gradienttivektori \(\nabla \hat{f}\). Esimerkiksi Minkowskin avaruudessa signatuurilla (-,+,+,+) ja metriikalla \(g_{\mu\nu}=diag(-1,1,1,1)\) tuo mainittu \(d\hat{f}\) on kovariantti vektori (1-muoto)

\(\begin{align*} d\hat{f} &= \left( \frac{\partial \hat{f}}{\partial x^{\mu}} \right ) dx^{\mu} \\ &= \left( \frac{\partial \hat{f}}{\partial x^0} \right )dx^0 + \left( \frac{\partial \hat{f}}{\partial x^1} \right )dx^1 +\left( \frac{\partial \hat{f}}{\partial x^2} \right )dx^2 +\left( \frac{\partial \hat{f}}{\partial x^3} \right )dx^3 \end{align*}\)

minkä voi kirjoittaa myös vaakavektorina \((d\hat{f})_{\mu}\).

Gradienttivektori on vastaava kontravariantti vektori

\(\begin{align*} \nabla \hat{f} & = g^{\mu\nu} (d\hat{f})_{\nu} \\ & = -\left( \frac{\partial \hat{f}}{\partial x^0} \right )\partial_0 + \left( \frac{\partial \hat{f}}{\partial x^1} \right )\partial_1 +\left( \frac{\partial \hat{f}}{\partial x^2} \right )\partial_2 +\left( \frac{\partial \hat{f}}{\partial x^3} \right )\partial_3 \end{align*}\)

minkä voi kirjoittaa myös pystyvektorina \((\nabla \hat{f})^{\mu}\). Komponentit \(\left( \frac{\partial \hat{f}}{\partial x^{\mu}} \right )\) pitää tässä ajatella samoin kuin yleensäkin skalaarikomponentit \(A^{\mu}\). Osittaiderviaattojen indeksit näyttävä olevan alhaalla, mutta ne ovat derivoinnista saatuja reaalilukuja.

Metriikkaa käyttämällä saadaan vielä \((\nabla \hat{f}) \cdot v \ \), joka on funktion \(\hat{f}\) suunnattu derivaatta vektorin v suuntaan

\((\nabla \hat{f}) \cdot v = g_{\mu\nu}(\nabla \hat{f})^{\mu}v^{\nu} = \partial_{\nu}\hat{f} v^{\nu}\).

[Eusa]

1-muoto on kuin kovektorikenttä, kun taas kovektori on määritelty vain avaruuspisteelle. Siksi tietyn avaruuden gradienttivektoria ei tule samaistaa 1-muotoon.

Puhumme 1-muodosta ideaalina, joka on koestettavissa erilaisiin avaruuksiin löytämällä johdonmukainen vapausastekanta ja metriikka. Esimerkiksi talon ulkonurkka, joka muodostuu kahden pinnan leikkauksena on 1-muoto, kovektorikenttä, joka laatikkotalossa on tylsä suorien arkkityyppien jono, mutta mielenkiintoisemmassa muodonannossa upotettuna taipuu tietysti 3-ulotteisen konkretian geometriana kaarille vaan ei kiharaksi. Topologia rakentuu m-muotoihin - geometria vektoreihin, olivatpa ko- tai kontra-.

Pfaffin ongelma liittyy nippuihin, joissa sovelletaan samaa rinnakkain järjestynyttä 1-muotoa ja kysytään voidaanko sillä geodeettisella logiikalla saada integroitua yleistetysti geometriaa tai mitkä olisivat ehkä esim. topologiset rajoitukset kuten avoimuudet, sulkeumat, jatkuvuus, katkeamattomuus, kompaktius, yhtenäisyys,...

[Disputator]

Tässä ihan pikaisesti kommentoin tuota tangenttiavaruuskonstruktiota, se on välillä melkoista pilkunviilaamista. En nyt tiedä onko hirveästi käytännössä väliä sillä että käyttääkö esimerkiksi monistolla M määriteltyä funktiota f tai sitten f:n lokaalia koordinaattiesitystä \(\hat{f}\) ja vastaavasti differentiaaleja df tai d\(\hat{f}\). Pedanttisesti ajatellen ero on hyvä tehdä, mutta käytännössä voi melkoisen huoletta laskea käyttäen fraaseja "f:n koordinaattiesitys \(f(x_0,x_1,x_2,x_3)\)", kun virallisesti olisi \(\hat{f}(x_0,x_1,x_2,x_3)\). Periaatteessa voi mielestäni laskea melkoisen huolettomasti, kunhan periaatteessa muistaa hienovaraisen eron noiden funktioiden/vektorien tms ja niiden koordinaattiesitysten välillä.

Koko määrittelyn pedanttisuuden tarve syntyy lähinnä siitä, että ihan suoraan pitää jotenkin määritellä \(T_pM\) ja todistaa sen olemassaolo. Jos esimerkiksi tarkastellaan Riemann-geometrian monistoa M=S², varustettuna metriikalla g, joka tekee siitä vakiokaarevuisen pallon, niin silloin voidaan S² upottaa suoraan avaruuteen \( \mathbb{R}^3\). Silloin S²:n pinnalla määriteltyjä polkuja voidaan derivoida ihan tavallisina \( \mathbb{R}^3\):n polkuina, joilla toki on olemassa ihan tavallinen derivaattavektori polkuparametrin suhteen ilman sen kummempia kommervenkkeja. Tällöin siis voidaan käyttää tuota \( \mathbb{R}^3\):n struktuuria apuna tangenttivektorien määritelyssä.

Tämä lähestymistapa on ihan kelvollinen Riemann-monistojen tapauksessa, sillä on aina olemassa (muistaakseni) euklidinen upotusavaruus \( \mathbb{R}^n\), jollain monistosta M riippuvalla kokonaisluvulla n, siten että moniston metrinen tensori g on tuon upotusavaruuden euklidisen metriikan indusoima, siis ihan samalla tavalla kuin pallon S² tapauksessa. Mutta en tiedä miten on, kun tuo moniston M metriikka g ei ole positiividefiniitti (esim. suhteellisuusteoria)

EDIT: palaan myöhemmin tohon esittämääsi gradienttivektoriin, se on kyllä metka, koska siinä on nuo etumerkit mukana.

[Disputator]

Tähän ihan kevennyksenä sellainen faktoidi, että kun puhutaan Riemann-monistosta (M,g), niin tuo merkintä g tulee sanasta geometria (saksa: Geometrie, englanti: geometry), luin tämän hassunhauskan detaljin tässä syksyllä...Kyllä tuli valaistunut olo tästäkin tiedosta . Suhtiksessa toki tulee mieleen ekana g = gravitation.

Olen nyt tässä syksyllä enemmän tai vähemmän yrittänyt ymmärtää spinorin (et. al. ) käsitettä, joka esiintyy esimerkiksi kvanttimekaniikassa termeinä Weylin/Diracin spinori, aihe on laaja. Avaan aiheseen liittyvän ketjun joskus tulevaisuudessa, kunhan jotain ymmärrän ja/tai kerkeän.

[QS]

...
Tämä lähestymistapa on ihan kelvollinen Riemann-monistojen tapauksessa, sillä on aina olemassa (muistaakseni) euklidinen upotusavaruus \( \mathbb{R}^n\), jollain monistosta M riippuvalla kokonaisluvulla n, siten että moniston metrinen tensori g on tuon upotusavaruuden euklidisen metriikan indusoima, siis ihan samalla tavalla kuin pallon S² tapauksessa. Mutta en tiedä miten on, kun tuo moniston M metriikka g ei ole positiividefiniitti (esim. suhteellisuusteoria)

Joo, tämä on varmasti näin. Upotusavaruuden metriikasta saadaan epäilemättä moniston g, ja TpM saadaan todennäköisesti myös upotusavaruudesta muodostettua.

Itse vain jotenkin pidän muotoiluista, joissa monistoa (eli siis luonto, universumi tai jotain muuta mahtipontista) ei upoteta vielä mahtipontisempaan ympäristöön, vaan M:n rakenne saadaan tavallaan sisäisistä ominaisuuksista. Mutta ei tällä väliä ole. Vain mun oma metafyysinen tai filosofinen preferenssi.

Tähän ihan kevennyksenä sellainen faktoidi, että kun puhutaan Riemann-monistosta (M,g), niin tuo merkintä g tulee sanasta geometria (saksa: Geometrie, englanti: geometry), luin tämän hassunhauskan detaljin tässä syksyllä...Kyllä tuli valaistunut olo tästäkin tiedosta . Suhtiksessa toki tulee mieleen ekana g = gravitation.

tärkeä faktoidi tämä .Hyvä muista mihin se g liittyikään.

Josta tuli mieleeni, että g:kin on monipuolisempi kuin päälle päin näyttää. Kun käsitellään yksittäisen pisteen TpM:n sijasta tangenttikimppua TM, niin g:kin pitää määritellä siten, että se toimii TM:n vektorikenttiin. Lopulta kylläkin koordinaateilla g(x) on ihan samankaltainen kuin yksittäisessä pisteessäkin.

Olen nyt tässä syksyllä enemmän tai vähemmän yrittänyt ymmärtää spinorin (et. al. ) käsitettä, joka esiintyy esimerkiksi kvanttimekaniikassa termeinä Weylin/Diracin spinori, aihe on laaja. Avaan aiheseen liittyvän ketjun joskus tulevaisuudessa, kunhan jotain ymmärrän ja/tai kerkeän.

Spinorit ovat todellakin otuksia, joista löytyy aina uusia ominaisuuksia, kun niihin paneutuu. Hämmästyttävä veijari kertakaikkiaan. Itsekin selasin keväällä erästä kenttäteorian juttua, jossa oli spinoreihin lähestymiskulma, jota en ollut ennen nähnyt. Näitä voisi aikanaan ihmetellä omassa ketjussaan.

[olli.santavuori@sa]

Osaatteko muuntaa kaavat 4Dksi ja niin ettei sitten BBssä ole laajenemista?

[QS]

Osaatteko muuntaa kaavat 4Dksi ja niin ettei sitten BBssä ole laajenemista?

ovat jo 4-dimensioisen aika-avaruuden kaavoja, joten ensimmäinen ehdotus on tarpeeton

Laajeneminen (tai supistuminen, jos moisen teorian haluaa laatia) on seuraus siitä, että metriikan avaruudellinen osa mahdollistaa aikariippuvan skaalatekijän, jonka poistaminen teoriasta ei liene mahdollista. Voi toki pakottaa skaalatekijän vakioksi ja 1:ksi, mutta se ei vastaa haivaintoja.

[Eusa]

Osaatteko muuntaa kaavat 4Dksi ja niin ettei sitten BBssä ole laajenemista?

Minulle yleisen suhteellisuusteorian periaate ja Einsteinin yhtälökin antavat tasapainoisesti laajenevan nosteisen kaikkeuden, aika-avaruuden paikallisin kaarevuuksin, jotka laimenevat yleiseksi erillisyyksien laajenemiseksi.

Neliulotteisuus fysiikassa on paremminkin 4 vapausasteen kuin 8 vapausasteen (4 ulottuvuutta eteen-/taaksepäin) geometriaa.