Spinori

[QS]

Kirjoitin aiemmin...

[-A, -B] = (-A)(-B) - (-B)(-A) = AB - BA = [A,B].

...mikä sinänsä on totta, mutta ei tämä nyt selitä sitä, miten \(\mathfrak{so}(1,3)\) generaattorit kommutoivat kokonaisuutena. Tuo kirjoittamani kertoo vain sen, että [-A,-B]=C, mistä seuraa tuo puhtaiden rotaatioiden algebran vaihtunut etumerkki, koska asetettiin myös C -> -C.

Mutta mikä tuossa K-generaattorissa on erikoisuus, joka mahdollistaa etumerkin vapaan valinnan. Hmm?

Itse asiassa tuo K-generaattorien etumerkin vaihtaminen johtaa siihen, että [J,-K] = -[J,K]. Mutta nyt ollaan asetettu myös oikealle puoelle vastaava negatiivinen generaattori, niin kommutoinnin muoto säilyy.

Eli esimerkiksi [J₁,K₂]=K₃. Nyt kun asetetaan K₂ -> -K₂, niin tuloksena on [J₁,-K₂] = -[J₁,K₂] = -K₃, mutta ollaan asetettu myös K₃ -> -K₃, joten muoto on sama kuin ennenkin [J₁,K₂]=K₃

[Disputator]

Aamupäivää! Laitan ihan lyhyesti tähän tuohon miinus vs. plus soppaan höystettynä aktiivinen vs. passiivinen tulkinnoilla vielä (lisää!) yhden näkökannan jonka huomasin tänään, kun selasin kirjaani eteenpäin. Tämä on nuo pariteettimuunnokset johon varmasti palataan vielä tarkemmin, mutta ne mielestäni sopivat mainita nyt tässä yhteydessä.

Kirjoitan alla aika niukasti koska mun pitää mennä kohta asioille. Olen myös lukenut viimeisimmät kirjoituksesi ja komentoin sitten ensi viikolla niihin, tuo aktiivi vs. passiivisoppa on kyllä mulle sellainen ikuinen murheen aihe!

Lainaan aloitusviestistäsi tuon käytetyn Lorentz-ryhmän määritelmän:

...
Ajan suunnan ja avaruuden orientaation säilyttävä Lorentzin ryhmä on \(SO(1,3)^+_\uparrow\), joka tässä alla merkitty yksinkertaisesti \(SO(1,3)\). Vastaava Lien algebra \(\mathfrak{so}(1,3)\) sisältää 6 generaattoria, jotka ovat 4x4 matriiseja.
...

Pariteettimuunnos P on matriisi:

\(P= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 &-1 & 0 & 0\\ 0 & 0 &-1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\)

Ajankääntö T on matriisi:

\(T= \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0 & 0\\ 0 & 0 &1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Nämä eivät kuulu aloitusviestisi määrittelemään \(SO(1,3)^+_\uparrow\), joka on yhtenäinen, vaan laajempaan ryhmään O(1,3), joka koostuu neljästä yhtenäisestä ja topologisesti erillisestä osasta, joista yksi on tuo \(SO(1,3)^+_\uparrow\).

Nyt generaattoreille J, K pätee:

\( \begin{align*} P J_i P^{-1} &= J_i\\ P K_i P^{-1} &= -K_i\\ T J_i T^{-1} &= J_i\\ T K_i T^{-1} &= -K_i\\ \end{align*} \)

Tuossa hienosti sanottuna konjugoidaan Lie-algebran elementtejä J_i ja K_i ryhmään O(1,3) kuuluvilla
alkioilla T ja P tai vielä hienommin käytetään kuvausta Ad:

\( \begin{align*} Ad(P)(J_i) &=J_i\\ Ad(P)(K_i) &=-K_i\\ Ad(T)(J_i) &=J_i\\ Ad(T)(K_i) &=-K_i\\ \end{align*} \)

Laitoin tuon Ad-kuvauksen (adjoint) näkyviin, koska tuo on tavallaan aika hyvä esimerkki miten tuo Ad toimii. Se on Lie ryhmän G esitys ryhmän oman Lien algebran \( \mathfrak{g}\) lineaaristen kuvausten \( Gl(\mathfrak{g})\) joukossa, matriiseille:

\(Ad(g)v = gvg^{-1}\), missä \(g\in G\) ja \( v\in \mathfrak{g}\)

Huomasin tänään kirjaa selaessani, että siellä mainitaan myös aloitusviestin nosto-ja laskuoperaattoreille (ja niiden esityksille ) pätevä tulos:

\( \begin{align*} P N^{+} P^{-1} &= N^{-}\\ P N^{-} P^{-1} &= N^{+}\\ \end{align*} \)

Tuolla on ilmeisesti seurauksena se, että pariteetti/ajankääntö muuntaa oikeakätisen 2-spinorin vasenkätiseksi spinoriksi jne. Tätä täytyy mun kyllä vielä pohtia tarkemmin, miten tuo käytännössä tapahtuu.

Ylläolevassa on unohdettu kaikki kompleksifikaation aiheuttamat oireet ja komplikaatiot...

[Disputator]

Kirjoitin aiemmin...

[-A, -B] = (-A)(-B) - (-B)(-A) = AB - BA = [A,B].

...mikä sinänsä on totta, mutta ei tämä nyt selitä sitä, miten \(\mathfrak{so}(1,3)\) generaattorit kommutoivat kokonaisuutena. Tuo kirjoittamani kertoo vain sen, että [-A,-B]=C, mistä seuraa tuo puhtaiden rotaatioiden algebran vaihtunut etumerkki, koska asetettiin myös C -> -C.

Mutta mikä tuossa K-generaattorissa on erikoisuus, joka mahdollistaa etumerkin vapaan valinnan. Hmm?

Itse asiassa tuo K-generaattorien etumerkin vaihtaminen johtaa siihen, että [J,-K] = -[J,K]. Mutta nyt ollaan asetettu myös oikealle puoelle vastaava negatiivinen generaattori, niin kommutoinnin muoto säilyy.

Eli esimerkiksi [J₁,K₂]=K₃. Nyt kun asetetaan K₂ -> -K₂, niin tuloksena on [J₁,-K₂] = -[J₁,K₂] = -K₃, mutta ollaan asetettu myös K₃ -> -K₃, joten muoto on sama kuin ennenkin [J₁,K₂]=K₃

Kyllä, tuossa viimeisessä nuo merkit menee oikein.

[Disputator]

Lainaan omaa viestiäni, koska siinä on epätäsmällisyyksiä (koskapa niitä ei olisi !) Korjailen ihan pikaisesti.

...
Huomasin tänään kirjaa selaessani, että siellä mainitaan myös aloitusviestin nosto-ja laskuoperaattoreille (ja niiden esityksille ) pätevä tulos:

\( \begin{align*} P N^{+} P^{-1} &= N^{-}\\ P N^{-} P^{-1} &= N^{+}\\ \end{align*} \)

Tuolla on ilmeisesti seurauksena se, että pariteetti/ajankääntö muuntaa oikeakätisen 2-spinorin vasenkätiseksi spinoriksi jne. Tätä täytyy mun kyllä vielä pohtia tarkemmin, miten tuo käytännössä tapahtuu.
...

Nuo notaatiot (plus ja miinus) hämäsivät mua kutsumaan N⁺ ja N^- nosto-ja laskuoperaattoreiksi (voi niillä olla sellainenkin tulkinta) ja indeksit ja ajankääntö unohtui:

\( \begin{align*} P N_i^{+} P^{-1} &= N_i^{-}\\ P N_i^{-} P^{-1} &= N_i^{+}\\ \end{align*} \)

ja

\( \begin{align*} T N_i^{+} T^{-1} &= N_i^{-}\\ T N_i^{-} T^{-1} &= N_i^{+}\\ \end{align*} \)

Nimeän nyt uudestaan:

\(A_i=N_i^{+}\)
\(B_i=N_i^{-}\).

Koska alkioiden \({A_1,A_2,A_3}\) kompleksikertoimiset lineaarikombinaatiot muodostavat LIe algebran \(sl(2,\mathbb{C})\), joka on isomorfinen rotaatioiden generaattoreiden \({J_1,J_2,J_3}\) algebran kanssa, voidaan käyttää J:n käsittelyssä kehitettyjä menetelmiä. Nuo menetelmät löytyvät jokaisesta kvanttimekaniikan kirjasta, niissä tosin rakennetaan usein Lie algebran su(2) esityksiä eikä algebran \(sl(2,\mathbb{C})\) esityksiä. Ero on varsin hämärä, johtuen kompleksifikaatioista ym. mutta ne menetelmät toimivat,

Menetelmistä mainitsen nyt nosto-ja laskuoperaattorit:

\( A^{+} = A_1 + i A_2 \)
\( A^{-} = A_1 - i A_2 \)

Vastaava voidaan tehdä alkoiden \({B_1,B_2,B_3}\) virittämälle Lien algebralle, joka on myös isomorfinen \(sl(2,\mathbb{C})\) kanssa tai su(2):n kanssa:

\( B^{+} = B_1 + i B_2 \)
\( B^{-} = B_1 - i B_2 \)

Sekä \(A^{+}\) ja \(B^{+}\) ovat oikeasti nosto-operaattoreita ja vastaavasti \(A^{-}\) ja \(B^{-}\) ovat laskuoperaattoreita.

Tämä nyt oli sellaista terminologista viilausta, mua vaan häiritsi se edellisessä viestisssä käyttämäni sana nosto-ja laskuoperaattori.

edit: vähän korjailtu

[QS]

Tässä oli taas mielenkiintoisia juttuja, joista poimin pikaisesti tämän.

...
Huomasin tänään kirjaa selaessani, että siellä mainitaan myös aloitusviestin nosto-ja laskuoperaattoreille (ja niiden esityksille ) pätevä tulos:

\( \begin{align*} P N^{+} P^{-1} &= N^{-}\\ P N^{-} P^{-1} &= N^{+}\\ \end{align*} \)

Tuolla on ilmeisesti seurauksena se, että pariteetti/ajankääntö muuntaa oikeakätisen 2-spinorin vasenkätiseksi spinoriksi jne. Tätä täytyy mun kyllä vielä pohtia tarkemmin, miten tuo käytännössä tapahtuu.

Nuo N⁺ ja N^- voidaan kirjoittaa

\(N^+_i = \frac{1}{2} (J_i + iK_i)\)
\(N^-_i = \frac{1}{2} (J_i - iK_i)\).

P (ja myös T) muuntaa nämä \(N^+_i \xrightarrow[]{P} N^-_i\) ja \(N^-_i \xrightarrow[]{P} N^+_i\), missä (0,½) esitys muuntuu (½,0) esitykseksi ja päinvastoin. Tämä on oikeastaan peruste 2-komponenttisten spinorien nimivalintaan oikea- ja vasenkiraalinen. Muunnoksessa spinoriesitysten Lorentzmatriisit

\(\Lambda_{(\frac{1}{2},0)} = \exp \left( i\vec{\theta} \cdot \frac{\vec{\sigma}}{2} + \vec{\phi} \cdot \frac{\vec{\sigma}}{2} \right )\)
\(\Lambda_{(0,\frac{1}{2})} = \exp \left( i\vec{\theta} \cdot \frac{\vec{\sigma}}{2} - \vec{\phi} \cdot \frac{\vec{\sigma}}{2} \right )\)

asettuvat päinvastaisiksi, kun tuo puskun etumerkki vaihtuu. Mulla näköjään tässä nyt +i rotaatiomatriisin edessä, heh. Ja tietysti on olemassa hiukan toisella tavalla pariteettimuunnoksessa käyttäytyvä kuuluisa 4-komponenttinen otus

\(\Psi = \begin{pmatrix} \psi_L\\ \psi_R \\ \end{pmatrix}\)

[QS]

...
Nimeän nyt uudestaan:

\(A_i=N_i^{+}\)
\(B_i=N_i^{-}\).

Koska alkioiden \({A_1,A_2,A_3}\) kompleksikertoimiset lineaarikombinaatiot muodostavat LIe algebran \(sl(2,\mathbb{C})\), joka on isomorfinen rotaatioiden generaattoreiden \({J_1,J_2,J_3}\) algebran kanssa, voidaan käyttää J:n käsittelyssä kehitettyjä menetelmiä. Nuo menetelmät löytyvät jokaisesta kvanttimekaniikan kirjasta, niissä tosin rakennetaan usein Lie algebran su(2) esityksiä eikä algebran \(sl(2,\mathbb{C})\) esityksiä. Ero on varsin hämärä, johtuen kompleksifikaatioista ym. mutta ne menetelmät toimivat,

Menetelmistä mainitsen nyt nosto-ja laskuoperaattorit:

\( A^{+} = A_1 + i A_2 \)
\( A^{-} = A_1 - i A_2 \)

Vastaava voidaan tehdä alkoiden \({B_1,B_2,B_3}\) virittämälle Lien algebralle, joka on myös isomorfinen \(sl(2,\mathbb{C})\) kanssa tai su(2):n kanssa:

\( B^{+} = B_1 + i B_2 \)
\( B^{-} = B_1 - i B_2 \)

Sekä \(A^{+}\) ja \(B^{+}\) ovat oikeasti nosto-operaattoreita ja vastaavasti \(A^{-}\) ja \(B^{-}\) ovat laskuoperaattoreita.

Joo, noin sen täytyy olla. Minun pitää vaan taas osoittaa tämä itselleni palikkalaskulla. Jos lähden liikkeelle \(\mathfrak{so}(3)\):sta

\([J_i,J_j]=\epsilon_{ijk}J_k\)

sekä nosto- ja laskuoperaattoreista

\(J_+ = J_1+iJ_2\)
\(J_- = J_1-iJ_2\)

joiden kommutaattorit J₃:n kanssa ovat

\([J_3,J_+]=J_+\)
\([J_3,J_-]=-J_-\)
\([J_+,J_-]=2J_3\).

Algebran \(\mathfrak{su}(2)\) tapauksessa voidaan kirjoittaa Paulin matriiseilla \(J_k=\frac{1}{2}\sigma_k\), jonka jälkeen algebra on täysin sama. Tämän algebran kompleksifikaatio \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\) voidaan edelleen kirjoittaa

\(J_+ = J_1+iJ_2\)
\(J_- = J_1-iJ_2\)

ja kommutoinnit

\([J_3,J_+]=J_+\)
\([J_3,J_-]=-J_-\)
\([J_+,J_-]=2J_3\)

mikä on sama kuin aiemman \(\mathfrak{so}(3)\) nosto- ja laskuoperaattoreilla. Merkitään kirjoittallasi tavalla

\(A_i = N^+_i = \frac{1}{2} (J_i + iK_i)\)
\(B_i = N^-_i = \frac{1}{2} (J_i - iK_i)\)

missä A_i ja B_i ovat peräisin \(\mathfrak{so}(1,3)\):n kompleksifikaatiosta, ja edustavat algebran \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\) 'puolikkaita' (A_i ensimmäinen ja B_i toinen). Kun otan käsittelyyn esityksen (½,0), niin voin asettaa

\(A_i = \frac{\sigma_i}{2}\)
\(B_i = 0\)

Tämän perusteena se, että \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\) on rotaatioalgebra, jonka kantavektorina Paulin matriisi. Toinen puolikas B_i jää nollaksi. Nyt sitten kirjoitan \(B_i = \frac{1}{2} (J_i - iK_i) = 0\), ja ratkaisen \(J_i = iK_i\).

Vastaavasti kirjoitan \(A_i = \frac{1}{2} (J_i + iK_i) = \frac{\sigma_i}{2}\), ja ratkaisen edellisestä saamaani J_i:tä käyttäen \( K_i = \frac{\sigma_i}{2i}\). Nämä yhdistämällä

\(J_i = \frac{\sigma_i}{2}\)
\(K_i = \frac{\sigma_i}{2i} = \frac{-i\sigma_i}{2}\)

Nyt saan laskettua konkreettisesti A⁺ ja A^-, kun sijoitan J_i ja K_i

\(A^+ = A_1 + iA_2 = \frac{1}{2} (J_1 + iK_1) + i(\frac{1}{2} (J_2 + iK_2)) = \frac{\sigma_1}{2} + i \frac{\sigma_2}{2}\)
\(A^- = A_1 - iA_2 = \frac{1}{2} (J_1 + iK_1) - i(\frac{1}{2} (J_2 + iK_2)) = \frac{\sigma_1}{2} - i \frac{\sigma_2}{2}\)

Nämä tunnistan nosto- ja laskuoperaattoreiksi! Sama toiminee B:lle ja kommutoinnit lienevät samat kuin ylempänä kirjoittamani \(J_3\) ja \(J_{\pm}\) kommutaattorit.

Hämmentävää, että voin asettaa puskugeneraattorin ja i*Paulimatriisin välille yhtäsuuruusmerkin. Tuolle on vaikea luoda fysiaalista mielikuvaa.

[Eusa]

Tervehdys tänne.

[QS]

Hiipi epäilys, että mun puskun etumerkki oli taas väärin aktiivista muunnosta koskevassa viestissä. Tämä rotaatio...

Yleisesti kierto z-akselin ympäri on Lorentzmatriisi

\(R_z(\theta)=\exp (-i\theta J_3) = \exp \left (-i\theta \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -i & 0\\ 0 & i & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0\\ 0 & \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

\(\theta\) on positiivinen vastapäivään, ja negatiivinen myötäpäivään. Voidaan kuitenkin sopia, että etumerkki on toisin päin. Tuossa tapauksessa matriisi olisi \(R_z(\theta)=\exp (+i\theta J_3)\). Tässä mielessä +/- eksponentissa on sopimuskysymys.

...on oikein. Mutta tämä...

Seuraavaksi aktiivinen pusku. \(\Phi\) pusketaan nopeuteen +v, ja x-akselin suuntaan. Kuten rotaatiossa, tässäkin kentän arvo pisteessä p saadaan paikasta, jossa se oli ennen muunnosta

\( \Phi'(p) = D[P]\ \Phi(P^{-1}\mathbf{x}) \)

missä P on puskumatriisi nopeudelle +v, mutta aktiivisen puskun jälkeen arvo pisteessä p saadaan käänteismuunnoksesta P^-1. Tuo D[P] on kentän tyypistä riippuva matriisi, johon ei oteta vielä kantaa. Pusku x-akselin suuntaan on matriisi

\(P_x(\phi)=\exp (i\phi K_1) = \exp \left (i\phi\begin{bmatrix} 0 & i & 0 & 0\\ i & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} \cosh \phi & -\sinh \phi & 0 & 0\\ -\sinh \phi & \cosh \phi & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Tässä parametri \(\theta = \pm \tanh^{-1}(v)\). Nopeus on +v, kun aktiivinen pusku positiivisen x-akselin suuntaan, ja negatiivisen suuntaan -v.

... on väärin päin . Eksponentissa pitää olla -i, kun halutaan aktiivinen pusku nopeudelle +v havaitsijan suhteen. Miten plussat ja miinukset voi olla mulle näin h****tin vaikeita Huomasin virheen, kun pähkäilin muunnosmatriiseja eri tilanteissa.

Koordinaatisto on siis oikeakätinen, ja kierto vastapäivään positiivisella kiertokulmalla, ja oikean käden säännöllä.

Kantavektoreilla {e_i} varustetussa koordinaatistossa vektori kirjoitetaan \(\mathbf{x} = x^i\mathbf{e}_i\). Rotaatio \(R(\theta)\) muuntaa komponentit siten, että muunnettu vektori on

\( \mathbf{x'} = R(\theta)\mathbf{x} = x'^j\mathbf{e}_j\)

missä komponentit \(x'^j = {R(\theta)^j}_i\ x^i\). Vektori x' lausutaan alkuperäisellä kannalla {e_i}, johon rotaatio ei kohdistu. Vektorin komponentin sen sijaan muuntuvat.

Esimerkiksi kvanttimekaniikan aaltofunktio \(\psi(\mathbf{x}) \in \mathbb{C}\) muuntuu kuten klassinen skalaarikenttä

\(\psi(\mathbf{x}) \to \psi'(\mathbf{x})=\psi(R^{-1}\mathbf{x})\)

Klassinen vektorikenttä \(V^{\mu}(x)\) muuntuu Minkowskiavaruudessa

\(V'^\nu(x) = {(D[R])^\nu}_\mu\ V^\mu(R^{-1}x)\)

missä koordinaatit muuntuvat matriisilla R^-1 ja V:n komponentit 4-vektoriesityksen matriisilla D[R]. Mielikuvana "komponentit haetaan paikasta R^-1x, missä sijaitsivat ennen rotaatiota, mutta komponentit käännetään rotaation R mukaiseen asentoon".

Epärelativistinen spin-½ tilavektori, jonka paikkaesityksen kanta on \( \left \{ | \mathbf{x},\sigma \rangle, \sigma=\pm \frac{1}{2} \right\}\), muuntuu rotaatiossa

\(|\mathbf{x},\sigma \rangle \to U[R]\ | \mathbf{x},\sigma \rangle={(D^{1/2}[R])^\lambda}_\sigma \ |R\mathbf{x},\sigma \rangle\)

missä U[R] on unitaari rotaatio-operaattori. Tuo U[R] on spin-½ rotaatiomatriisi \({(D^{1/2}[R])^\lambda}_\sigma\), missä rivi- ja sarakeindeksit\( \lambda\) ja \(\sigma\). Tila | x, +½ > muuntuu lineaarikombinaatioksi

\(c_1|R\mathbf{x},+\frac{1}{2} \rangle\ +\ c_2|R\mathbf{x},-\frac{1}{2} \rangle\)

Tässä nyt paikkavektori x on osa tilavektoria, joten se muuntuu kuten vektori (ei siis R^-1x). Tilavektori pyörähtää x-akselin ympäri muunnoksella

\(D^{1/2}[R] = D^{1/2}[R_x(\theta)] = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & i\sin\frac{\theta}{2} \\ i\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\)

Nyt kuitenkin aaltofunktioesityksen

\(\psi^\lambda(\mathbf{x}) = (\ \psi^1(\mathbf{x}), \psi^2(\mathbf{x})\ )^T\)

muunnos tehdään

\(\psi^\lambda(\mathbf{x}) \to \psi'^\lambda(\mathbf{x})={(D^{1/2}[R])^\lambda}_\sigma\psi^\sigma(R^{-1}\mathbf{x})\)

missä sama matriisi \(D^{1/2}[R]\), mutta koordinaatteina R^-1x.

Ja vielä relativistinen spin-½ tila, joka muuntuu

\(|p,\sigma \rangle \to U[R]\ |p,\sigma \rangle={\left (D^{1/2}[\Lambda,p]\right )^\lambda}_\sigma \ |\Lambda p,\sigma \rangle\)

missä D sisältää mm. Wignerin rotaatioon liittyviä komponentteja. Tässä liikemäärätila | p > ja | Λp > ovat eri tiloja, jonka takia muunnettu p on mukana tilavektorissa. Tuosta nyt näkee, että esim x-akselin suuntaan nopeudelle +v pusketun tilavektorin Λp:ssä on positiivinen komponentti p_x. Se mun aiempi Lorentzmatriisini oli väärin päin.

Sitten olisi vielä kvantisoitu skalaari-, vektori- ja spinorikenttä. Nämä oma lukunsa, koska operaattoriarvoisen kentän muunnos poikkeaa edellä mainituista.

[Disputator]

Aamupäivää! Tähän on kertynyt niin paljon mielenkiintoista kommentoitavaa, ettei meinaa mukana pysyä. Palaankin ihan aloitukseen ensiksi. Alla on poimittu sun aloitusviestistäsi muutamia kaavoja:

...
Ajan suunnan ja avaruuden orientaation säilyttävä Lorentzin ryhmä on \(SO(1,3)^+_\uparrow\), joka tässä alla merkitty yksinkertaisesti \(SO(1,3)\). Vastaava Lien algebra \(\mathfrak{so}(1,3)\) sisältää 6 generaattoria, jotka ovat 4x4 matriiseja. Puskujen generaattorit ovat K₁, K₂, K₃, ja rotaatioiden J₁, J₂, J₃. Lien algebran kommutoinnit voidaan kirjoittaa

\([J_i,J_j]=i\epsilon_{ijk}J_k\)
\([J_i,K_j]=i\epsilon_{ijk}K_k\)
\([K_i,K_j]=-i\epsilon_{ijk}J_k\)

Lorentzryhmän 4x4 matriisi \(\Lambda \in SO(1,3)\) saadaan generaattoreista

\(\Lambda = \exp (i\vec{J} \cdot \vec{\theta}+ i\vec{K} \cdot \vec{\phi})\)

missä generaattorit J = (J₁, J₂, J₃) ja K = (K₁, K₂, K₃) ovat vektorimuodossa. Rotaation ja puskun parametrit ovat vektoreina \(\vec{\theta}\) ja \(\vec{\phi}\). Nämä matriisit \(\Lambda\) muuntavat Minkowskin avaruuden nelivektorit \(x^\mu\) siten, että sisätulo on invariantti

\(x^\mu \eta_{\mu\nu}x^\nu \to x'^\sigma \eta_{\sigma\rho}x'^\rho = (x^\mu \Lambda^\rho_\mu)\eta_{\sigma\rho}(\Lambda^\rho_\nu x^\nu) = x^\mu \eta_{\mu\nu}x^\nu\)

Invarianssi on seuraus Lorentz-symmetriasta. Lien algebran \(\mathfrak{so}(1,3)\) kompleksifikaatio saadaan kirjoittamalla generaattorit N⁺ ja N^-

\(N^{\pm}_i = \frac{1}{2} (J_i \pm iK_i)\)

missä \(N^{\pm}_i\) muodostuu siten, että \(\mathfrak{so}(1,3)\):n generaattori J_i on reaaliosa ja iK_i on imaginaariosa. Näin saadaan kommutoinnit

\([N^+_i,N^+_j]=i\epsilon_{ijk}N^+_k\)
\([N^-_i,N^-_j]=i\epsilon_{ijk}N^-_k\)
\([N^+_i,N^-_j]=0\)
...

Kaavat ovat kaikki ihan oikein. Käytän tuossa alla noita sun kaavoja alla apuna.

Usein fysiikan kirjoissa käytetään samoja notaatioita noille so(1,3) generaattoreille ja niiden esityksille, mikä on usein hämmentävää. Laitan tässä lyhyen minikoosteen joistain jutuista:

Lien algebran \( \mathfrak{g} \) (matriisi)esitys on lineaarinen kuvaus \(\pi: \mathfrak{g}\to gl(n,\mathbb{C})\), jolle \( \forall\: a,b\in \mathfrak{g}\) pätee:

\(\pi([a,b])=[\pi(a),\pi(b)]=pi(a)\pi(b)-\pi(b)\pi(a)\).

missä vasemmanpuolinen kommutaattori [a,b] on Lie algebran \(\mathfrak{g}\) (abstrakti) kommutaattori. Määritelmä on tuollaisenaan epätäsmällinen, koska kuvauksen \(\pi \) lineaarisuus edellyttää, että kummallakin puolella on sama kerroinkunta, joka meillä on
\(\mathbb{R} \) tai \(\mathbb{C}\), siis kuvaus\( \pi \)on joko \(\mathbb{R}\)-lineaarinen tai \(\mathbb{C}-\) lineaarinen. Noihin ei mielestäni kannata liikaa vaivata aikaa, riittää kun meillä on kyky muodostaa reaali-ja kompleksilineaarikombinaatioita vektoreista ja matriiseista.

Nyt jos \(\pi:so(1,3)\to gl(n,\mathbb{C})\) on Lie algebran \(\mathfrak{so}(1,3)\):n esitys, niin silloin esitykselle pätee:

\([\pi(J_i),\pi(J_j)]=i\epsilon_{ijk}\pi(J_k)\)
\([\pi(J_i),\pi(K_j)]=i\epsilon_{ijk}\pi(K_k)\)
\([\pi(K_i),\pi(K_j)]=-i\epsilon_{ijk}\pi(J_k)\)

Allaolevat neljä kaavaa asuvat so(1,3):n kompleksifikaation esityksessä, johon tuo alkuperäinen kuvaus \(\pi\) laajennetaan oletetun kompleksilineaarisuuden perusteella (ja käytään samaa merkintää \( \pi\) sille, oikeampi olisi joku alaindeksi \(\pi_{\mathbb{C}}\)

\(\pi(N^{\pm}_i) = \frac{1}{2} (\pi(J_i )\pm i \pi( K_i))\)

\([\pi(N^+_i),\pi(N^+_j)]=i\epsilon_{ijk}\pi(N^+_k)\)
\([\pi(N^-_i),\pi(N^-_j)]=i\epsilon_{ijk}\pi(N^-_k)\)
\([\pi(N^+_i),\pi(N^-_j)]=0\).

Siis \(\pi(J_i)\),\(\pi(N^-_i)\),\( \pi(N^+_i)\) ja \(\pi(K_j)\) ovat nxn-kompleksimatriiseja. Yleensä tätä korostetaan vielä lisäämällä tuohon kuvaukseen \( \pi\) alaindeksi:

\(\pi_n: so(1,3)\to gl(n,\mathbb{C})\)

Fyysikot suosivat tässä Lorentz-keississä j-indeksiä, joka viittaa hiukkasen spiniin, siis \(2j\in \mathbb{N}\), yritän käyttää tätä jatkossa:

\(\pi_j: so(1,3)\to gl(2j+1,\mathbb{C})\).

Reality check, kun j=1/2, saadaan 2x2-matriiseja, toimii...heh

Ylläolevan tarkoitus ei ollut turhaan viilata pilkkua, yleensä voi mielestäni oikein hyvin jättää tuon kuvauksen \(\pi \) merkitsemättä ja kirjoittaa meidän vanhoilla merkinnöillä. Mulla on tuossa kaavoja joista kirjoittelen myöhemmin, niissä kuitenkin esiintyy samassa kaavassa sekä \(J_i\) ja \(\pi_j(J_i)\). Ilman kuvausta \( \pi\) kaavassa tulee häiritsevällä tavalla virheellinen.

[Disputator]

...
Jos lähden liikkeelle \(\mathfrak{so}(3)\):sta

\([J_i,J_j]=\epsilon_{ijk}J_k\)

sekä nosto- ja laskuoperaattoreista

\(J_+ = J_1+iJ_2\)
\(J_- = J_1-iJ_2\)

joiden kommutaattorit J₃:n kanssa ovat

\([J_3,J_+]=J_+\)
\([J_3,J_-]=-J_-\)
\([J_+,J_-]=2J_3\).

Algebran \(\mathfrak{su}(2)\) tapauksessa voidaan kirjoittaa Paulin matriiseilla \(J_k=\frac{1}{2}\sigma_k\), jonka jälkeen algebra on täysin sama. Tämän algebran kompleksifikaatio \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\) voidaan edelleen kirjoittaa

\(J_+ = J_1+iJ_2\)
\(J_- = J_1-iJ_2\)

ja kommutoinnit

\([J_3,J_+]=J_+\)
\([J_3,J_-]=-J_-\)
\([J_+,J_-]=2J_3\)

mikä on sama kuin aiemman \(\mathfrak{so}(3)\) nosto- ja laskuoperaattoreilla. Merkitään kirjoittallasi tavalla

\(A_i = N^+_i = \frac{1}{2} (J_i + iK_i)\)
\(B_i = N^-_i = \frac{1}{2} (J_i - iK_i)\)

missä A_i ja B_i ovat peräisin \(\mathfrak{so}(1,3)\):n kompleksifikaatiosta, ja edustavat algebran \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\) 'puolikkaita' (A_i ensimmäinen ja B_i toinen). Kun otan käsittelyyn esityksen (½,0), niin voin asettaa

\(A_i = \frac{\sigma_i}{2}\)
\(B_i = 0\)

Tämän perusteena se, että \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\) on rotaatioalgebra, jonka kantavektorina Paulin matriisi. Toinen puolikas B_i jää nollaksi. Nyt sitten kirjoitan \(B_i = \frac{1}{2} (J_i - iK_i) = 0\), ja ratkaisen \(J_i = iK_i\).

Vastaavasti kirjoitan \(A_i = \frac{1}{2} (J_i + iK_i) = \frac{\sigma_i}{2}\), ja ratkaisen edellisestä saamaani J_i:tä käyttäen \( K_i = \frac{\sigma_i}{2i}\). Nämä yhdistämällä

\(J_i = \frac{\sigma_i}{2}\)
\(K_i = \frac{\sigma_i}{2i} = \frac{-i\sigma_i}{2}\)

Nyt saan laskettua konkreettisesti A⁺ ja A^-, kun sijoitan J_i ja K_i

\(A^+ = A_1 + iA_2 = \frac{1}{2} (J_1 + iK_1) + i(\frac{1}{2} (J_2 + iK_2)) = \frac{\sigma_1}{2} + i \frac{\sigma_2}{2}\)
\(A^- = A_1 - iA_2 = \frac{1}{2} (J_1 + iK_1) - i(\frac{1}{2} (J_2 + iK_2)) = \frac{\sigma_1}{2} - i \frac{\sigma_2}{2}\)

Nämä tunnistan nosto- ja laskuoperaattoreiksi! Sama toiminee B:lle ja kommutoinnit lienevät samat kuin ylempänä kirjoittamani \(J_3\) ja \(J_{\pm}\) kommutaattorit.

Yes! Otin talteen tämän laskun, koska siinä on esplisiittisesti laskettu alkaen noista A:n määritelmistä niiden muoto j=\( \frac{1}{2}\) tapauksessa. Siis että ne tosiaankin palautuvat noiden spinmatriisien avulla esitetyiksi kaavoiksi.

Hämmentävää, että voin asettaa puskugeneraattorin ja i*Paulimatriisin välille yhtäsuuruusmerkin. Tuolle on vaikea luoda fysiaalista mielikuvaa.

Yllättävän monelle on vaikeaaa luoda fysiaalisia mielikuvia...heh joku muunnos:

fysiaalinen mielikuva = i * (fysikaalinen mielikuva)

voisi toimia..

Joo, huumori sikseen. Tuota pitää pohtia tosiaankin, siinä voi olla jotain ovelaa menossa. Mä en ole vielä ihan sinut noiden Paulin matriisien kaikkien kommervenkkejen kanssa, vaikka jotain osaan laskea.