Spinori

[Disputator]

Alkavaa iltapäivää!

Laitan tähän ihan lyhyen väliaikapäivityksen. Palaan tuohon Wigner/Weinberg-juttuun kyllä varmasti, mutta koska aihe on hankala, se viekin enemmän aikaa kuin odotin. Vastaan kyllä varmasti aikanaan.

[QS]

...
missä eksponenttifunktiossa Minkowskisisätulo \(p(\Lambda x)\). Tuo voidaan kirjoittaa \(p(\Lambda x) = (\Lambda p)x\) , minkä seurauksena ...

Heh, tuli muuten jostain kesken kaiken mieleeni, että eipä taida väitteeni \(p(\Lambda x) = (\Lambda p)x\) pitää paikkaansa.

Voisi päteä puhtaalle rotaatiolle, jos kirjoittaisin \(p(\Lambda x) = (\Lambda^{-1} p)x\). Tai puhtaalle puskulle, jolloin \(\Lambda^T = \Lambda\).

Mutta yleistettynä kaikkiin Lorentzmuunnoksiin \(\Lambda\), tuo väitteeni ei pitäne paikkaansa.

[QS]

Ajan kuluksi ihmettelin luonti/poisto-operaattorien parametrien muuntumattomuutta, kun tehdään koko kentän muunnos. Yksinkertainen vapaa skalaarikenttä on

\(\Phi(x) = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}\sqrt{2p^0}}\ \left( \ a(\mathbf{p})\ e^{ipx}\ + \ a^{\dagger}(\mathbf{p})\ e^{-ipx}\ \right )\)

missä kerroin \(1/\sqrt{2p^0}\) on skalaarikentän vastine Diracin kentän u:lle ja v:lle. Kentän Hamilton-operaattori on

\(\hat{H} = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ p^0\ a^{\dagger}(\mathbf{p})\ a(\mathbf{p})\)

mistä tosin pyyhitty pois vakuumin ääretön energia. Vapaan kentän Hamilton lasketaan Lagrangesta (muitakin keinoja kai on)

\(\hat{H}=\frac{1}{2} \int d^3\mathbf{x}\ (\Pi^2+(\partial_i\Phi)^2+m^2\Phi^2)\)

missä \(\Pi = \partial_0 \Phi\). Tästä lausekkeesta saadussa operaattorissa on sitten mukana tuo \(p^0\), joka on seuraus osittaisderivaatoista \(\partial_\mu e^{ipx}.\) Hamiltonin odotusarvo yksihiukkastilassa \(|\mathbf{p}\rangle\) on

\(\langle \mathbf{p}|\ \hat{H}\ |\mathbf{p}\rangle = p^0\)

Skalaarikenttä muuntuu triviaalina SO(1,3)-esityksenä

\(\Phi(x)\to\Phi(\Lambda x) = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}\sqrt{2p^0}}\ \left( \ a(\mathbf{p})\ e^{ip(\Lambda x)}\ + \ a^{\dagger}(\mathbf{p})\ e^{-ip(\Lambda x)}\ \right )\)

missä eksponenttifunktiossa Minkowskisisätulo \(p(\Lambda x)\). Tuo voidaan kirjoittaa \(p(\Lambda x) = (\Lambda p)x\) , minkä seurauksena derivaatat poimivat muunnetun kentän tapauksessa Hamiltoniin \(p^0\):n tilalle \((p^0)'={\Lambda^0}_\mu p^\mu\)

\(\hat{H} = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ {\Lambda^0}_\mu p^\mu\ a^{\dagger}(\mathbf{p})\ a(\mathbf{p})\)

Vaikka luonti/poisto-operaattorin ja tilavektorin \(\mathbf{p}\) ei muunnu, on muunnetun kentän Hamilton oikein. Odotusarvo muuntuu

\(\langle \mathbf{p}|\ \hat{H}\ |\mathbf{p}\rangle \to \langle \mathbf{p}|\ \hat{H}'\ |\mathbf{p}\rangle = (p^0)'\)

mikä mielestäni muistuttaa kvanttimekaniikan operaattorin passiivista muunnosta.
 

Tämä palasi mieleeni. Yleinen muunnosmatriisi \(\Lambda\) ei ole symmetrinen eikä antisymmetrinen, joten väitteeni sisätulosta \(p(\Lambda x) = (\Lambda p)x\) ei voi pitää paikkaansa.

Mutta huomasin, että Hamilton

\(\hat{H}=\frac{1}{2} \int d^3\mathbf{x}\ [ (\partial_0\Phi)^2+(\partial_i\Phi)^2+m^2\Phi^2 ]\)

riippuu kentän derivaatoista. Noille osittaisderivaatoille on olemassa muunnos. Skalaarikvanttikenttä muuntuu

\(\Phi(x)\to\Phi'(x') = \Phi'(\Lambda x) = \Phi(x)\)

Osittaisderivaatta \( \partial_\mu \Phi(x) = \frac{\partial \Phi(x)}{\partial x^\mu}\) muuntuu

\(\frac{\partial \Phi(x)}{\partial x^\mu} \to \frac{\partial \Phi'(x')}{\partial x'^\mu} = \frac{\partial \Phi(x)}{\partial x^\nu} \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu}=(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu\ \partial_\nu\Phi(x)\)

Hamiltonissa on esimerkiksi lauseke

\(\partial_0\Phi(x) = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi)^{3/2}} \frac{i}{\sqrt{2p^0}}\ \partial_0(px)\ (\ a(\mathbf{p})e^{ipx}-a^\dagger(\mathbf{p})e^{-ipx})\)

missä \(\partial_0(px) = -p^0\). Muunnettuna tuo on

\((\Lambda^{-1})^\mu{}_0\ \partial_\mu\Phi(x) = \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi)^{3/2}} \frac{i}{\sqrt{2p^0}}\ (\Lambda^{-1})^\mu{}_0\ \partial_\mu(px)\ (\ a(\mathbf{p})e^{ipx}-a^\dagger(\mathbf{p})e^{-ipx})\)

missä muunnettu energiakomponentti

\((\Lambda^{-1})^\mu{}_0\ \partial_\mu(px) = -(p^0)'\)

Hamiltonin termi \((\partial_i\Phi)\) sisältää vastaavan muunnetun liikemäärän \(\mathbf{p}\)'. Näiden ja massatermin \(m^2\Phi^2\) yhdistämisen jälkeen Hamiltoniin jää varmasti tuo \((p^0)'\).

Etumerkit ja muunnoksen suunnan toki olen hukannut, mutta periaate ehkä oikein.

[Disputator]

Maanantai-iltaa! Olen opiskellut näitä tämän ketjun juttuja aika- ja kykyrajoitteiden ( ) asettamissa raameissa ja täytyy kyllä sanoa niin, että paljon on opittavaa vielä. Sulla on paljon mielenkiintoisia kaavoja joita olen yrittänyt ymmärtää vaihtelevalla menestyksellä. Palaan tässä ihan perusjuttuihin, kirjoittelen sitten niistä Weinberg/Wigner jutuista kyllä ihan varmasti, kun aika koittaa. Samoin myös nuo esittämäsi kentän muunnoskaavat, palaan niihinkin kyllä.

Mulla on ollut vähän hankaluuksia hahmottaa näitä spinoriasioita kunnolla, koska niissä esiintyy jotenkin mielivaltaisesti asetettuja spinoriavaruuden kantoja ym. settiä. Lisäksi spinoriavaruudessa \(\mathbf{C^4}\) voidaan tehdä unitaarisia muunnoksia, niistä myöhemmin.

Yksi ongelmakohta on näiden gammamatriisien valinta, koska niillä on suoraan vaikutusta Diracin yhtälön komponenttiyhtälöihin. Alla notaatioita:

\( I=\sigma_0= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} , \sigma_1= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} , \sigma_2= \begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix} , \sigma_3= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)

Gamma-matriisit Diracin-Paulin esityksessä:

\(\gamma^0 =\begin{bmatrix} I & 0\\ 0 & -I \end{bmatrix}, \gamma^i =\begin{bmatrix} 0 & \sigma_i\\ -\sigma_i & 0 \end{bmatrix}\)


Gamma-matriisit Weylin tai kiraaliesityksessä:

\(\gamma^0 =\begin{bmatrix} 0 & I\\ I & 0 \end{bmatrix}, \gamma^i =\begin{bmatrix} 0 & \sigma_i\\ -\sigma_i & 0 \end{bmatrix}\)

Mulla on yksi vanha QFT:n luentomoniste pritattuna (en tiedä mistä peräisin), josta olen aikanaan näitä alkeita opiskellut. Se on erittäin hyvä, kun olen verrannut sitä useasti muihin netistä löytämiin esityksiin. Se on pedagogisesti hyvin kirjoitettu, siinä lasketaan paljon auki asioita, joita muissa lähteissä pidetään kai itsestään selvänä. Yksi jännä yksityiskohta on se, että siinä käytetään Diracin-Paulin esitystä gammamatriiseille. Siitä seuraa jännästi se, että useat monisteen kaavat eivät ole samanlaisia kuin muissa lähteissä ja siksi niitä täytyy yrittää muuntaa muiden lähteiden kaavoiksi erilaisilla muunoksilla. Puskut ovat esimerkiksi erilaisia, kun muissa.

Siinä onneksi mainitaan myös Paulin fundamentaali teoreema, joka koskee gammamatriisien valintaa:
Jos 4x4-matriisit \(\gamma^\mu\) toteuttavat:

\(\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}= 2 g^{\mu\nu}\\\)

ja 4x4-matriisit \(\hat{\gamma}^\mu\) toteuttavat:

\(\{\hat{\gamma}^\mu,\hat{\gamma}^\nu\}= 2 g^{\mu\nu}\),

niin silloin on olemassa vakiokerrointa vaille yksikäsitteinen matriisi V jolle pätee:

\(\hat{\gamma^{\mu}}=V \gamma^{\mu} V^{-1}\).

Tämä V voidaan asettaa unitaariseksi, kun \( \gamma ^\mu\) ja \(\hat{\gamma}^\mu\) toteuttavat tietyt lisäehdot. Kirjoitin tähän alunperin mitkä lisäehdot, mutta huomasin tiettyjä detaljeja, joita en osaa nyt selittää, joten palaan näihin lisäehtoihin myöhemmin.

Kun V on unitaarinen (kun mainitut lisäehdot voimassa) on Diracin yhtälö miellyttävällä tavalla samannäköinen kummallakin gammamatriisien valinnalla:

\((i\gamma^{\mu}\partial_\mu -m)\psi = 0\)
\((i\hat{\gamma}^{\mu}\partial_\mu -m)\hat{\psi} = 0\)

Lisäksi eri gammamatriisien valinnat (+ lisäyhdot yllä) antavat hienon relaation ratkaisuiden välillä:

\( \hat{\psi}= V\psi\).

[Disputator]

Jotenkin tuo alla oleva kopsaamani notaatio gammamatriisien relaatiolle alkoi häritsemään:

...
Siinä onneksi mainitaan myös Paulin fundamentaali teoreema, joka koskee gammamatriisien valintaa:
Jos 4x4-matriisit \(\gamma^\mu\) toteuttavat:

\(\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}= 2 g^{\mu\nu}\\\)
...

Jotenkin tuon voisi lukea (virheellisesti) siten että fermioninen kommutaattori tuottaa matriisin \(g^{\mu\nu}\) eli siis 4x4 matriisin, joka on siis metriikan kontravariantti muoto. Siis oikeaoppisempi kirjoitustapa olisi:

\(\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}= 2 g^{\mu\nu} I_{4x4}\\\)

missä tuo \(g^{\mu\nu}\) on tulkittava numeerisena lukuna, miten se aina nähdäänkin ja \( I_{4x4}\) on yksikkömatriisi.

[QS]

Maanantai-iltaa! Olen opiskellut näitä tämän ketjun juttuja aika- ja kykyrajoitteiden ( ) asettamissa raameissa ja täytyy kyllä sanoa niin, että paljon on opittavaa vielä. Sulla on paljon mielenkiintoisia kaavoja joita olen yrittänyt ymmärtää vaihtelevalla menestyksellä. Palaan tässä ihan perusjuttuihin, kirjoittelen sitten niistä Weinberg/Wigner jutuista kyllä ihan varmasti, kun aika koittaa. Samoin myös nuo esittämäsi kentän muunnoskaavat, palaan niihinkin kyllä.

Mulla on ollut vähän hankaluuksia hahmottaa näitä spinoriasioita kunnolla, koska niissä esiintyy jotenkin mielivaltaisesti asetettuja spinoriavaruuden kantoja ym. settiä. Lisäksi spinoriavaruudessa \(\mathbf{C^4}\) voidaan tehdä unitaarisia muunnoksia, niistä myöhemmin.

Yksi ongelmakohta on näiden gammamatriisien valinta, koska niillä on suoraan vaikutusta Diracin yhtälön komponenttiyhtälöihin. Alla notaatioita:

\( I=\sigma_0= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} , \sigma_1= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} , \sigma_2= \begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix} , \sigma_3= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)

Gamma-matriisit Diracin-Paulin esityksessä:

\(\gamma^0 =\begin{bmatrix} I & 0\\ 0 & -I \end{bmatrix}, \gamma^i =\begin{bmatrix} 0 & \sigma_i\\ -\sigma_i & 0 \end{bmatrix}\)


Gamma-matriisit Weylin tai kiraaliesityksessä:

\(\gamma^0 =\begin{bmatrix} 0 & I\\ I & 0 \end{bmatrix}, \gamma^i =\begin{bmatrix} 0 & \sigma_i\\ -\sigma_i & 0 \end{bmatrix}\)

Mulla on yksi vanha QFT:n luentomoniste pritattuna (en tiedä mistä peräisin), josta olen aikanaan näitä alkeita opiskellut. Se on erittäin hyvä, kun olen verrannut sitä useasti muihin netistä löytämiin esityksiin. Se on pedagogisesti hyvin kirjoitettu, siinä lasketaan paljon auki asioita, joita muissa lähteissä pidetään kai itsestään selvänä. Yksi jännä yksityiskohta on se, että siinä käytetään Diracin-Paulin esitystä gammamatriiseille. Siitä seuraa jännästi se, että useat monisteen kaavat eivät ole samanlaisia kuin muissa lähteissä ja siksi niitä täytyy yrittää muuntaa muiden lähteiden kaavoiksi erilaisilla muunoksilla. Puskut ovat esimerkiksi erilaisia, kun muissa.

Siinä onneksi mainitaan myös Paulin fundamentaali teoreema, joka koskee gammamatriisien valintaa:
Jos 4x4-matriisit \(\gamma^\mu\) toteuttavat:

\(\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}= 2 g^{\mu\nu}\\\)

ja 4x4-matriisit \(\hat{\gamma}^\mu\) toteuttavat:

\(\{\hat{\gamma}^\mu,\hat{\gamma}^\nu\}= 2 g^{\mu\nu}\),

niin silloin on olemassa vakiokerrointa vaille yksikäsitteinen matriisi V jolle pätee:

\(\hat{\gamma^{\mu}}=V \gamma^{\mu} V^{-1}\).

Tämä V voidaan asettaa unitaariseksi, kun \( \gamma ^\mu\) ja \(\hat{\gamma}^\mu\) toteuttavat tietyt lisäehdot. Kirjoitin tähän alunperin mitkä lisäehdot, mutta huomasin tiettyjä detaljeja, joita en osaa nyt selittää, joten palaan näihin lisäehtoihin myöhemmin.

Kun V on unitaarinen (kun mainitut lisäehdot voimassa) on Diracin yhtälö miellyttävällä tavalla samannäköinen kummallakin gammamatriisien valinnalla:

\((i\gamma^{\mu}\partial_\mu -m)\psi = 0\)
\((i\hat{\gamma}^{\mu}\partial_\mu -m)\hat{\psi} = 0\)

Lisäksi eri gammamatriisien valinnat (+ lisäyhdot yllä) antavat hienon relaation ratkaisuiden välillä:

\( \hat{\psi}= V\psi\).

Olen joskus nähnyt Paulin fundamentaaliteoreeman, mutta en tiedä miten se todistetaan tai mitä nuo lisäehdot ovat.

Viestistäsi tuli mieleeni eräs Diracin yhtälön erikoinen ominaisuus. Yleensä Diracin teoria muotoillaan siten, että Lorentzmuunnoksessa spinori \(\psi\) muuntuu, mutta matriisit \(\gamma^\mu\) eivät muunnu.

Kirjoittamassasi gammamatriisien kantamuunnoksessa on sama periaate. Yhtälöiden \((i\gamma^\mu\partial_\mu -m)\psi = 0\) ja \((i\hat{\gamma}^\mu\partial_\mu -m)\hat{\psi} = 0\) muuntuvat objektit ovat \(\psi\) ja \(\hat{\psi}\). Vastaavat \(\gamma^\mu\) ja \(\hat{\gamma}^\mu\) eivät muunnu.

Asian voi tehdä myös päinvastoin. Käytän tässä nyt notaatiota \( \hat{\gamma}\) eri tarkoitukseen. Kirjoitetaan Diracin yhtälö

\((i\hat{\gamma}^\mu\partial_\mu -m)\hat{\psi} = 0\)

ja oletetaan, että 4-komponenttinen spinori \(\hat{\psi}\) on invariantti. Kuitenkin \(\hat{\gamma}^{\mu}\) muuntuu kuten 4-vektori, toisin sanoen

\(\hat{\gamma}^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu\hat{\gamma}'^\nu\)
\(\hat{\psi} =\hat{\psi}'\)

Tämän oletuksen voi itse asiassa melko helposti osoittaa päteväksi. Näin tehtynä muunnettu yhtälö onkin

\((i\ \Lambda^\mu{}_\nu\hat{\gamma}^\nu\ \partial_\mu -m)\hat{\psi} = 0\)

missä erikoisuus, että matriisit \(\hat{\gamma}^\nu\) muuntuvat nelivektoreina, mutta spinori \(\hat{\psi}\) ja derivaatta \(\partial_\mu\) ovat invariantteja.

Sitten voikin jäädä pohtimaan, että ovatko spinorit fysikaalisia objekteja, vai sittenkin \(\gamma\)-matriisit fysikaalisia muuntuvia objekteja. Vai onko niin, että Diracin yhtälössä on vain abstrakteja objekteja, ja mitattavat spinit ovat jossain muualla. Missä lie.

p.s mainintasi puuttuvasta yksikkömatriisista on ihan totta. Weinbergin kirjassakin I muistaakseni puuttuu, mikä on hämäävää, kuten sanoitkin.

[Disputator]

...
Siinä onneksi mainitaan myös Paulin fundamentaali teoreema, joka koskee gammamatriisien valintaa:
Jos 4x4-matriisit \(\gamma^\mu\) toteuttavat:

\(\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}= 2 g^{\mu\nu}\\\)

ja 4x4-matriisit \(\hat{\gamma}^\mu\) toteuttavat:

\(\{\hat{\gamma}^\mu,\hat{\gamma}^\nu\}= 2 g^{\mu\nu}\),

niin silloin on olemassa vakiokerrointa vaille yksikäsitteinen matriisi V jolle pätee:

\(\hat{\gamma^{\mu}}=V \gamma^{\mu} V^{-1}\).

Tämä V voidaan asettaa unitaariseksi, kun \( \gamma ^\mu\) ja \(\hat{\gamma}^\mu\) toteuttavat tietyt lisäehdot. Kirjoitin tähän alunperin mitkä lisäehdot, mutta huomasin tiettyjä detaljeja, joita en osaa nyt selittää, joten palaan näihin lisäehtoihin myöhemmin.

Kun V on unitaarinen (kun mainitut lisäehdot voimassa) on Diracin yhtälö miellyttävällä tavalla samannäköinen kummallakin gammamatriisien valinnalla:

\((i\gamma^{\mu}\partial_\mu -m)\psi = 0\)
\((i\hat{\gamma}^{\mu}\partial_\mu -m)\hat{\psi} = 0\)

Lisäksi eri gammamatriisien valinnat (+ lisäyhdot yllä) antavat hienon relaation ratkaisuiden välillä:

\( \hat{\psi}= V\psi\).

Olen joskus nähnyt Paulin fundamentaaliteoreeman, mutta en tiedä miten se todistetaan tai mitä nuo lisäehdot ovat.

 

Joo, en tiedä minäkään miten todistus tehdään. Nuo lisäehdot oli mun lähteessä ilmaistu tavalla joka on mielenkiintoinen ja palaan siihen myöhemmin. Mutta tässä ne ovat standardimmalla tavalla:

Matriisit \(\gamma^{\mu} \) toteuttavat:

\(\gamma^{0\ \dagger}= \gamma^0\)
\(\gamma^{i\ \dagger}= -\gamma^i\)

ja matriisit \(\hat{\gamma}^{\mu} \) toteuttavat:

\(\hat{\gamma}^{0\ \dagger}= \hat{\gamma}^0\)
\(\hat{\gamma}^{i\ \dagger}= -\hat{\gamma}^i\)

Alla merkitty ylläolevia juttuja vain eri symboleilla. Tämä vain jatkoa varten.

Mä kirjoitan nuo kaikki nyt hieman eri tavalla, koska hattujen, indeksien ja hermiittisen transpoosin merkitseminen tekee hommasta vähän hankalaa. Merkitsen toista settiä gammamatriiseja \( \alpha^{\mu}\) ja toista \(\beta^{\mu}\).

\(\{\alpha^\mu,\alpha^\nu\}= 2 g^{\mu\nu}\\\)

ja

\(\{\beta^\mu,\beta^\nu\}= 2 g^{\mu\nu}\\\).

Diracin yhtälö \(\alpha\)-systeemissä (omakeksimä nimi heh..) ja ratkaisua merkitsen isolla A-kirjaimella:

\((i\alpha^{\mu}\partial_\mu -m)A = 0\)

ja \(\beta\)-systeemissä (ratkaisu B):

\((i\beta^{\mu}\partial_\mu -m)B = 0\).

Ehdot Paulin teoreeman muunnoksen V unitaarisuudelle:

\(\alpha^{0\ \dagger}= \alpha^0\)
\(\alpha^{i\ \dagger}= -\alpha^i\)

ja

\(\beta^{0\ \dagger}= \beta^0\)
\(\beta^{i\ \dagger}= -\beta^i\)

Ylläolevien ehtojen ollessa voimassa on olemassa yksikäsitteinen unitaarinen matriisi V siten että:

\( B=VA\)

Tuossa siis A=A(x) ja B=B(x) ovat 4-komponenttisia spinoreita.

[Disputator]

....
Asian voi tehdä myös päinvastoin. Käytän tässä nyt notaatiota \( \hat{\gamma}\) eri tarkoitukseen. Kirjoitetaan Diracin yhtälö

\((i\hat{\gamma}^\mu\partial_\mu -m)\hat{\psi} = 0\)

ja oletetaan, että 4-komponenttinen spinori \(\hat{\psi}\) on invariantti. Kuitenkin \(\hat{\gamma}^{\mu}\) muuntuu kuten 4-vektori, toisin sanoen

\(\hat{\gamma}^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu\hat{\gamma}'^\nu\)
\(\hat{\psi} =\hat{\psi}'\)

Tämän oletuksen voi itse asiassa melko helposti osoittaa päteväksi. Näin tehtynä muunnettu yhtälö onkin

\((i\ \Lambda^\mu{}_\nu\hat{\gamma}^\nu\ \partial_\mu -m)\hat{\psi} = 0\)

missä erikoisuus, että matriisit \(\hat{\gamma}^\nu\) muuntuvat nelivektoreina, mutta spinori \(\hat{\psi}\) ja derivaatta \(\partial_\mu\) ovat invariantteja.

Sitten voikin jäädä pohtimaan, että ovatko spinorit fysikaalisia objekteja, vai sittenkin \(\gamma\)-matriisit fysikaalisia muuntuvia objekteja. Vai onko niin, että Diracin yhtälössä on vain abstrakteja objekteja, ja mitattavat spinit ovat jossain muualla. Missä lie.

p.s mainintasi puuttuvasta yksikkömatriisista on ihan totta. Weinbergin kirjassakin I muistaakseni puuttuu, mikä on hämäävää, kuten sanoitkin.

Kyllä, tuo että gammamatriisit muuttuisivat ja ratkaisu pysyisi invarianttina on oikein hyvä huomio ja mun täytyy tutustua tuohon tarkemmin, olen nähnyt tuon jossakin Mun luentomonisteeni mainitsee tuon ja suhtautuu tuohon ...hmm, no kielteisesti.

Tuo kuitenkin sivuaa hyvin läheltä Diracin yhtälön invarianssia Lorentzin muunnoksissa, jossa Lorentz-muunnos \(\Lambda\) indusoi muunnoksen \(S(\Lambda) \) spinoriavaruuteen. Ehto Diracin yhtälön invarianssille on:

\(S(\Lambda)^{-1} \gamma^{\nu} S(\Lambda) = \Lambda^{\nu}{}_{\mu} \gamma^{\mu} \).

Luentomonisteeni varoittaa tulkitsemasta tuota jonkinlaisena gammamatriisien muunnoskaavana. Sen sijaan tuo pitää nähdä ehtona muunnokselle \( S(\Lambda)\). Mutta kuten sanoit, tuo gammojen muunnos on ollut jossain kyllä.

Tuon toteuttava \(S(\Lambda)\) muuntaa spinoria:

\(\psi' (x')=S(\Lambda) \psi(x)\)

ja Diracin yhtälö säilyy invarianttina.

[QS]

....
Asian voi tehdä myös päinvastoin. Käytän tässä nyt notaatiota \( \hat{\gamma}\) eri tarkoitukseen. Kirjoitetaan Diracin yhtälö

\((i\hat{\gamma}^\mu\partial_\mu -m)\hat{\psi} = 0\)

ja oletetaan, että 4-komponenttinen spinori \(\hat{\psi}\) on invariantti. Kuitenkin \(\hat{\gamma}^{\mu}\) muuntuu kuten 4-vektori, toisin sanoen

\(\hat{\gamma}^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu\hat{\gamma}'^\nu\)
\(\hat{\psi} =\hat{\psi}'\)

Tämän oletuksen voi itse asiassa melko helposti osoittaa päteväksi. Näin tehtynä muunnettu yhtälö onkin

\((i\ \Lambda^\mu{}_\nu\hat{\gamma}^\nu\ \partial_\mu -m)\hat{\psi} = 0\)

missä erikoisuus, että matriisit \(\hat{\gamma}^\nu\) muuntuvat nelivektoreina, mutta spinori \(\hat{\psi}\) ja derivaatta \(\partial_\mu\) ovat invariantteja.

Sitten voikin jäädä pohtimaan, että ovatko spinorit fysikaalisia objekteja, vai sittenkin \(\gamma\)-matriisit fysikaalisia muuntuvia objekteja. Vai onko niin, että Diracin yhtälössä on vain abstrakteja objekteja, ja mitattavat spinit ovat jossain muualla. Missä lie.

p.s mainintasi puuttuvasta yksikkömatriisista on ihan totta. Weinbergin kirjassakin I muistaakseni puuttuu, mikä on hämäävää, kuten sanoitkin.

Kyllä, tuo että gammamatriisit muuttuisivat ja ratkaisu pysyisi invarianttina on oikein hyvä huomio ja mun täytyy tutustua tuohon tarkemmin, olen nähnyt tuon jossakin Mun luentomonisteeni mainitsee tuon ja suhtautuu tuohon ...hmm, no kielteisesti.

Tuo kuitenkin sivuaa hyvin läheltä Diracin yhtälön invarianssia Lorentzin muunnoksissa, jossa Lorentz-muunnos \(\Lambda\) indusoi muunnoksen \(S(\Lambda) \) spinoriavaruuteen. Ehto Diracin yhtälön invarianssille on:

\(S(\Lambda)^{-1} \gamma^{\nu} S(\Lambda) = \Lambda^{\nu}{}_{\mu} \gamma^{\mu} \).

Luentomonisteeni varoittaa tulkitsemasta tuota jonkinlaisena gammamatriisien muunnoskaavana. Sen sijaan tuo pitää nähdä ehtona muunnokselle \( S(\Lambda)\). Mutta kuten sanoit, tuo gammojen muunnos on ollut jossain kyllä.

Tuon toteuttava \(S(\Lambda)\) muuntaa spinoria:

\(\psi' (x')=S(\Lambda) \psi(x)\)

ja Diracin yhtälö säilyy invarianttina.

Joo, kirjoittamani on hämyinen juttu. Spinorimuunnos on mainitsemasi

\(\psi'=S\psi\)

Voidaan asettaa \( \psi=S^{-1}\psi\), ja sijoittaa edelliseen

\((S^{-1}\psi)'=S(S^{-1}\psi) = \psi\)

Tämän perusteella \(S^{-1}\psi\) on invariantti, mikä tuossa edellä perustuu siihen, että S on kääntyvä matriisi. Aiemmassa viestissäni käytännössä asetetaan \(\hat{\psi} = S^{-1}\psi\), ja muodostetaan tästä Diracin yhtälö. Munkin mielestä lähinnä kikkailua.

[QS]

Maanantai-iltaa! Olen opiskellut näitä tämän ketjun juttuja aika- ja kykyrajoitteiden ( ) asettamissa raameissa ja täytyy kyllä sanoa niin, että paljon on opittavaa vielä. Sulla on paljon mielenkiintoisia kaavoja joita olen yrittänyt ymmärtää vaihtelevalla menestyksellä. Palaan tässä ihan perusjuttuihin, kirjoittelen sitten niistä Weinberg/Wigner jutuista kyllä ihan varmasti, kun aika koittaa. Samoin myös nuo esittämäsi kentän muunnoskaavat, palaan niihinkin kyllä.

Mulla on ollut vähän hankaluuksia hahmottaa näitä spinoriasioita kunnolla, koska niissä esiintyy jotenkin mielivaltaisesti asetettuja spinoriavaruuden kantoja ym. settiä. Lisäksi spinoriavaruudessa \(\mathbf{C^4}\) voidaan tehdä unitaarisia muunnoksia, niistä myöhemmin.

Yksi ongelmakohta on näiden gammamatriisien valinta, koska niillä on suoraan vaikutusta Diracin yhtälön komponenttiyhtälöihin. Alla notaatioita:

\(
I=\sigma_0= \begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
,
\sigma_1= \begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
,
\sigma_2= \begin{bmatrix}
0 & -i\\
i & 0
\end{bmatrix}
,
\sigma_3= \begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}

\)

Gamma-matriisit Diracin-Paulin esityksessä:

\(\gamma^0 =\begin{bmatrix}
I & 0\\
0 & -I
\end{bmatrix},
\gamma^i =\begin{bmatrix}
0 & \sigma_i\\
-\sigma_i & 0
\end{bmatrix}\)


Gamma-matriisit Weylin tai kiraaliesityksessä:

\(\gamma^0 =\begin{bmatrix}
0 & I\\
I & 0
\end{bmatrix},
\gamma^i =\begin{bmatrix}
0 & \sigma_i\\
-\sigma_i & 0
\end{bmatrix}\)

Mulla on yksi vanha QFT:n luentomoniste pritattuna (en tiedä mistä peräisin), josta olen aikanaan näitä alkeita opiskellut. Se on erittäin hyvä, kun olen verrannut sitä useasti muihin netistä löytämiin esityksiin. Se on pedagogisesti hyvin kirjoitettu, siinä lasketaan paljon auki asioita, joita muissa lähteissä pidetään kai itsestään selvänä. Yksi jännä yksityiskohta on se, että siinä käytetään Diracin-Paulin esitystä gammamatriiseille. Siitä seuraa jännästi se, että useat monisteen kaavat eivät ole samanlaisia kuin muissa lähteissä ja siksi niitä täytyy yrittää muuntaa muiden lähteiden kaavoiksi erilaisilla muunoksilla. Puskut ovat esimerkiksi erilaisia, kun muissa.

Siinä onneksi mainitaan myös Paulin fundamentaali teoreema, joka koskee gammamatriisien valintaa:
Jos 4x4-matriisit \(\gamma^\mu\) toteuttavat:

\(\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}= 2 g^{\mu\nu}\\\)

ja 4x4-matriisit \(\hat{\gamma}^\mu\) toteuttavat:

\(\{\hat{\gamma}^\mu,\hat{\gamma}^\nu\}= 2 g^{\mu\nu}\),

niin silloin on olemassa vakiokerrointa vaille yksikäsitteinen matriisi V jolle pätee:

\(\hat{\gamma^{\mu}}=V \gamma^{\mu} V^{-1}\).

Tämä V voidaan asettaa unitaariseksi, kun \( \gamma ^\mu\) ja \(\hat{\gamma}^\mu\) toteuttavat tietyt lisäehdot. Kirjoitin tähän alunperin mitkä lisäehdot, mutta huomasin tiettyjä detaljeja, joita en osaa nyt selittää, joten palaan näihin lisäehtoihin myöhemmin.

Kun V on unitaarinen (kun mainitut lisäehdot voimassa) on Diracin yhtälö miellyttävällä tavalla samannäköinen kummallakin gammamatriisien valinnalla:

\((i\gamma^{\mu}\partial_\mu -m)\psi = 0\)
\((i\hat{\gamma}^{\mu}\partial_\mu -m)\hat{\psi} = 0\)

Lisäksi eri gammamatriisien valinnat (+ lisäyhdot yllä) antavat hienon relaation ratkaisuiden välillä:

\( \hat{\psi}= V\psi\).

Päätin ajan kuluksi kokeilla tätä palikkalaskulla. Valitsen Weinbergin laskemat spinorit (ilman normitusta) liikemäärällä p=0

\(\begin{align*} u(\mathbf{0},\frac{1}{2})&=\begin{bmatrix}1\\0\\1\\0 \end{bmatrix}, u(\mathbf{0},-\frac{1}{2})=\begin{bmatrix}0\\1\\0\\1 \end{bmatrix}\\ \\ v(\mathbf{0},\frac{1}{2})&=\begin{bmatrix}0\\1\\0\\-1 \end{bmatrix},v(\mathbf{0},-\frac{1}{2})=\begin{bmatrix}-1\\0\\1\\0 \end{bmatrix} \end{align*}\)

ja Diracin matriisit signatuurissa (-,+,+,+)

\(\begin{align*}
\gamma^0&=\begin{bmatrix}
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
-i & 0 & 0 & 0 \\
0 & -i & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}\\ \\
\gamma^1&=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix},
\gamma^2=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix},
\gamma^3=\begin{bmatrix}
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & 0 & 0 & i \\
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & -i & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}\\ \\
\gamma_5&=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{bmatrix}
\end{align*}\)

missä lohkodiagonaalinen \(\gamma_5=-i(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3)\). Lisäksi \((\gamma^0)^2=-1\) ja \((\gamma_5)^2=1\). Jos haluan, että \(\gamma^0\) onkin lohkodiagonaalinen (nk. Diracin esitys), niin diagonalisoin

\(\hat{\gamma}^0=\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
-i & 0 & 0 & 0 \\
0 & -i & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
\end{bmatrix}\)

Tämän jälkeen onnistuin mielestäni laskemaan (ilman etumerkkivirheitä!) unitaarisen matriisin

\(V=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{bmatrix}\)

jolle pätee \(\hat{\gamma}^\mu = V\gamma^\mu V^{-1}\) siten, että \(\{\hat{\gamma}^\mu,\hat{\gamma}^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}I_{4x4}\). Käytin matriisin V löytämiseen matriiseja \( \gamma^0\) ja \(\hat{\gamma}^0\). Tarkistin ihan laskemalla, että muutkin gammat muuntuvat oikein. Vastaavat muunnetut spinorit \(\hat{u}=Vu\) ja \(\hat{v}=Vv\) ovat

\(\begin{align*} \hat{u}(\mathbf{0},\frac{1}{2})&=\sqrt{2}\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0 \end{bmatrix}, \hat{u}(\mathbf{0},-\frac{1}{2})=\sqrt{2}\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1 \end{bmatrix}\\ \\ \hat{v}(\mathbf{0},\frac{1}{2})&=\sqrt{2}\begin{bmatrix}0\\-1\\0\\0 \end{bmatrix},\hat{v}(\mathbf{0},-\frac{1}{2})=\sqrt{2}\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0 \end{bmatrix} \end{align*}\)

missä edessä mainitsemasi vakiokerroin. Nämä spinorit ovat erilaisia kuin nk. mass basis -esityksessä. Ne toteuttavat kirjoittamasi muunnetun Diracin yhtälön, esimerkkinä vaikkapa \(\hat{v}(\mathbf{0},-\frac{1}{2})\) toteuttaa ajanhetkellä t=0 ja liikemäärällä \(p_\mu=(-m,0,0,0)\) yhtälön

\(-m(i\hat{\gamma}^0+I_{4x4})\ \hat{v}(\mathbf{0},-\frac{1}{2}) = 0\)