Totta puhut, \(\text{nul} (-\alpha)\) on käänteisalkio. En itse tätä tajunnut, ja sillä on tosiaan samat ominaisvektorit. Kokeilin, jotta uskon, ja näin on.Disputator kirjoitti: ↑05 Kesä 2024, 10:25Aamupäivää! Tuo lainaustoiminto ei anna kirjoittaa mitään lainauksen yläpuolelle suoraan, se pitää tehdä ilmeisesti ennen lainausta.
Tässä on ollut kiireitä ja tuo ylläoleva jäi kommentoimatta, mikä olikin tavallaan hyvä, koska huomasin tänään jotain tärkeää asiaan liittyen, mistä alla tarkemmin.
Sitten itse asiaan:
Vaikuttaisi hyvinkin oikealta päättelyltä, neliöjuuri neliöstä, siis \(\sqrt{\alpha^2}\) on aina sellainen murheenkryyni. Lopputulos on ainakin oikein, sillä mun lähteeni esitteli nuo null-rotaation matriisit ehdolla \(\alpha>0\).
Nuo null-rotaatiot hämmentävät kuitenkin edelleen mieltäni.
Kopsaan edellisestä viestistäni tuon null-rotaation ja annan sille uuden nimen, varsin oletettavalla tavalla, käytin tätä nimeä koneella laskiessani:
$$
nul(\alpha)=\begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & 2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & 2\alpha & 0\\
2\alpha & -2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
Jos sallitaan tuossa ylläolevassa \(\alpha\in\mathbf{R}\), niin silloin pätee \(\forall\:\alpha_1,\alpha_2\in\mathbf{R}\):
\(nul(\alpha_1+\alpha_2)=nul(\alpha_1)nul(\alpha_2)\)
Noin määriteltynä "null-rotaatiot" muodostavat 1-parametrisen SO(1,3) aliryhmän Nul tms.Yksikkömatriisi ei ole tietenkään null-rotaatio, mutta näin saadaan ryhmärakenne noille matriiseille.
Laitoin tuon null-rotaation lainausmerkkeihin, jos siis parametrin arvolla \(\alpha<0 \) määritellyt rotaatiot \(nul(\alpha)\) eivät ole oikeasti null-rotaatioita (lähteeni ja laskusi vaativat \(\alpha>0\)). Käytän nyt jatkossa nimeä null-rotaatio ilman lainausmerkkejä.
Tuosta ylläolevasta kaavasta näkyy, että \(nul(-\alpha)\):n käänteisalkio on \(nul(-alpha)\), joka on matriisina:
$$
nul(-\alpha)=\begin{bmatrix}
1+2\alpha^2 & -2\alpha^2 & -2\alpha & 0 \\
2\alpha^2 & 1-2\alpha^2 & -2\alpha & 0\\
-2\alpha & 2\alpha & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
Tuon matriisin ainoa valonlaatuinen ominaisvektori on edelleen (1,1,0,0) ja toinen on paikanlaatuinen (0,0,0,1)
JUURI NYT!! käänsin lähteeni sivua ja siellä sanotaan, että nuo matriisit muodostavat null-rotaatiot, kun \(\alpha\neq 0\) eli ehtoa \(\alpha>0\) ei tarvita. Siis ihan oikeasti huomasin tuon juuri äsken.
Tuo oli hyvin esitetty ja erittäin ymmärrettävää, että kyseessä on aliryhmä, kun sen Lien algebran kautta osoittaa.Disputator kirjoitti: ↑05 Kesä 2024, 10:25
Ihmeellistä kyllä, sama lähteeni ensin määrittelee parametrin \(\alpha\) s.e. \(\alpha>0\) ja sitten ilman eri mainintaa (tai en löytänyt) kaikki arvot käyvät.
Kaavan \(nul(\alpha_1+\alpha_2)=nul(\alpha_1)nul(\alpha_2)\) voi perustella suoralla laskulla (koneella) tai sitten käyttää Lie algebra-teoriaa seuraavasti, määritellään Lie-algebran matriisi \(A\in so(1,3)\) seuraavasti (aikaisempi viestini):
$$A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0\\
2 & -2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
Laskemalla saadaan:
\(nul(\alpha) = exp(\alpha A)\)
Koska kyseessä on 1-parametrinen Lien aliryhmä,saadaan :
\(nul(\alpha_1+\alpha_2) = exp((\alpha_1+\alpha_2) A)= exp(\alpha_1 A+\alpha_2 A)=
exp(\alpha_1 A) exp(\alpha_2 A)= nul(\alpha_1)nul(\alpha_2)
\)
Sorry tosiaan tuosta virheellisestä vaatimuksesta \(\alpha>0\)..
Ja matriisieksponettikin antaa oikean matriisin, kun lasketaan \(\text{nul} (-\alpha)=\exp(-\alpha A)\), mikä on toki selvää muutoinkin.
Kun itse aiemmin sain rajoituksen \(\alpha>0\), niin oletin (en tiedä miksi), että matriisit B ja R parametrisoidaan \(\alpha\):lla. Jos olisin sijoittanut \(-\alpha\), niin matriisitulo BR olisi ehkä ollut \(\text{nul} (-\alpha)\).
En tosin luota arvailuuni, pitäisi laskea. Voihan olla, että tulo muodostuukin \(B(-\alpha)R(\alpha)=\text{nul} (-\alpha)\) tai vastaavaa. Nyt ei ole energiaa laskea, mutta selvitän tuon joku päivä.