Aadolf kirjoitti: ↑Tänään, 01:21
QS kirjoitti: ↑Eilen, 18:16
Aadolf kirjoitti: ↑Eilen, 09:11
QS kirjoitti: ↑26.8.2026, 16:25
Aadolf kirjoitti: ↑26.8.2026, 12:41
Vaikuttaakohan putoavan aineen liikemäärä energia-liikemäärä tensoriin?
Vaikuttaa Schwartzschildin massatermin (M) kautta. Ulkopuolelta tarkasteltuna aine jää tapahtumahorisonttiin, mutta putoavan aineen koordinaateilla läpäisee horisontin, ja voidaan laskea aika, jonka kello mittaa singulariteetin saavuttamiseen.
Onko horisontissa nolla-paksuisena pintana, vai matkalla singulariteettiin.
Yksiselitteistä vastausta ei voida helposti antaa, jonka takia useita massakäsitteitä:
https://en.wikipedia.org/wiki/Mass_in_general_relativity
Sitä liikemääräähän on sitten paljon, koska kilon massa saavuttaa liikemäärän 1 kg * 300000 km/s horisontissa, kaikkien mukaan. Ja ulkopuolelta tarkasteltuna se säilyy ikuisesti siinä horisontissa.
Tätä kysymystä itse asiassa laskettiin noin 3 vuotta sitten tällä foorumilla:
viewtopic.php?t=18
Tässä käytettiin Schwartzschildin ulkoratkaisua
\(\displaystyle ds^2 = - \left(1-\frac{2GM}{r}\right) dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2\)
missä Schwartzschildin säde \(r_s = 2GM\). Tuo metriikka kuvaa painovoimaa tapahtumahorisontin ulkopuolella. Muutaman sivun verran ihmeteltiin, jonka jälkeen saatiin mielenkiintoinen nopeusfunktio
\(\displaystyle v_H(r,r_0,v) = \sqrt{1-\frac{r_0(1-v^2)(r-r_s)}{r(r_0-r_s)}}\)
Funktiossa on kaksi havaitsijaa. Havaitsija H on tapahtumahorisontin ulkopuolella, ja keskipisteestä mitattuna vakioetäisyydellä \(r\). Mustan aukon Schwartzschildin säde on \(r_s\) (tapahtumahorisontin paikka). H on ns. 'hovering observer', ja tässä tapauksessa \(r_s \lt r\).
Vapaan pudotuksen havaitsija F pudotetaan äärelliseltä etäisyydeltä \(r_0\) kohti mustaa aukkoa, ja säteen suuntaisesti. Pudotusetäisyydelle \(r_0\) pätee \(r < r_0 < \infty\). Pudotuksen alkunopeus on \(v\), eli siis \(v > 0\) tarkoittaa sitä, että F ammutaan kohti mustaa aukkoa. Kun \(v=0\), niin kyseessä on pudotus sanan varsinaisessa merkityksessä. Alkunopeus \(v\) määritellään paikallisesti pudotuskorkeudella \(r_0\).
Funktio \(v_H\) antaa nopeuden, jolla F ohittaa leijuvan havaitsijan H, kun ne kohtaavat leijuntakorkeudella \(r\). Nopeus \(v_H\) on H:n ja myös F:n paikallisessa kehyksessä mittaama nopeus, ja kyseessä ei siis ole Schwartzschild-koordinaatiston nopeus, vaan eräällä tavalla 'aito' paikallinen nopeus.
Nopeusfunktio on määrittelemätön, kun leijuntakorkeus \(r=r_s\), tai pudotuskorkeus \(r_0 = r_s\). Nämä ovat metriikan singulaariset pisteet.
Voidaan kuitenkin laskea raja-arvo, kun H:n leijuntaetäisyys \(r\) lähestyy tapahtumahorisonttia \(r_s\)
\(\displaystyle \lim_{r \to r_s} v_H(r,r_0,v) = 1\)
Tosiaankin vapaan pudotuksen havaitsija F lähestyy valonnopeutta (\(c=1\)) horisontin lähellä. Tuo raja-arvo on lisäksi riippumaton pudotuskorkeudesta \(r_0\) ja alkunopeudesta \(v\). Kun H on tarpeeksi lähellä horisonttia (\(r \to r_s\)), niin F ohittaa sen aina lähes nopeudella \(v \to c\), vaikka pudotuskorkeus olisi H:n välittömässä läheisyydessä. Horisontin lähellä F:n koordinaatistokiihtyvyys lähestyy aina ääretöntä. Tai toisin päin: H:n leijuntakorkeudella pysymiseen tarvitaan lähes ääretön ominaiskiihtyvyys ("ääretön työntövoima raketissa").
Schwartzschildin ratkaisun problematiikka liittyy siihen, että voidaan laskea vain raja-arvoja. Horisontti \(r_s\) on
Schwartzschild-koordinaattien singulaarinen piste (tai pinta), joka jakaa aika-avaruuden kahteen osaan, ulko- ja sisäpuoleen.
Horisontti on reuna, jossa tai jonka yli kappaleen liikerata ei ole jatkuva funktio. Ei voida sanoa, että F ohittaa horisontin nopeudella \(v = c\), sillä horisontissa \(v\) on määrittelemätön.
Ongelmaa voi toki ratkoa muilla koordinaatti-järjestelmillä, kuten Kruskal–Szekeres, Eddington–Finkelstein tai vastaavat. Näissä horisontti ei ole singulaarinen, ja liikerata menee jatkuvana funktiona horisontin läpi.
Mutta eräs ongelma pysyy: Vakioetäisyyden H:ta ei ole mahdollista kiinnittää horisonttiin, jonka takia F:lle ei voida näilläkään koordinaateilla määritellä
paikallista ("oikeaa fysikaalista") horisontin ohitusnopeutta. Koordinaatistonopeuksia voidaan kyllä laskea, kuten Schwartzschild -koordinaateilla nolla (F jää horisonttiin), ja muilla koordinaateilla ties mitä erikoisia nopeuksia.
===
p.s Funktiossa \(v_h\) on tietysti etumerkkivirhe, kun sisäänpäin nopeuden tulisi olla negatiivinen, mutta tulkittakoon vaikka vauhti-funktioksi. Jos jokin on universumissa varmaa, niin se on etumerkkisotkut.
Jos kilon punnus pudotetaan kaukana horisontista, niin horisontissa sen liikemäärä on 1 kg * 300000 km/s.
Jos kilon punnus pudotetaan läheltä horisonttia, niin horisontissa sen liikemäärä on paljon pienempi kuin 1 kg * 300000 km/s. Siis vaikka nopeus onkin sama. En ole laskenut, mutta olen varma.
Jos kilon punnusta roikotetaan lähellä horisonttia, kaukaisuuteen yltävän narun varassa, ja jos aukon "surface gravity" on 10 m/s², niin kaukaisuudessa narua vetää voima 10 N, ja kun punnus irrotetaan, niin punnuksen koordinaattinopeus alkaa kasvaa kymmenellä metrilla sekunnissa sekunnissa, siis siellä kaukaisuudessa.
Voiman voisi jättää myöhemmäksi, mutta kysymys neli-liikemäärästä jakautuu kolmeen vaihtoehtoon. Tässä nyt vapaan pudotuksen punnus, massa \(m\), alkunopeus \(v=0\).
a) mikä on paikallisen koordinaatiston liikemäärä pudotuskorkeudella \(r_0\)
b) mikä on paikallisen koordinaatiston liikemäärä, kun punnus ohittaa ns. hovering observerin etäisyydellä \(r\), ja nopeudella \(v_H\)
c) mikä on kohdan a) ja b) liikemäärä Schwartzschild -koordinaateilla
Kohdassa a) on paikallinen ja hetkellinen Minkowski-kehys, joten neli-liikemäärä on
\(\displaystyle p^\mu = m(u^t,u^r) = m(\gamma, \gamma v) = (m, 0) = (E, \mathbf p)\)
missä punnuksen nelinopeus \(u^\mu = (u^t,u^r) = \gamma(1,v) = (1,0)\). Oikealla t-komponentissa on vain massaenergia \(E=m\), ja r-komponentissa 3-dim liikemäärä \(\mathbf p = 0.\) Nolla siksi, että alkunopeus \(v\) on nolla ja \(\gamma = 1\).
Kohdassa b) punnus ohittaa vakioetäisyydellä horisontin lähellä olevan havaitsijan nopeudella \(v_h\)
\(\displaystyle p^\mu = m(u^t,u^r) = (\gamma m, \gamma v_h)=(E, \mathbf p)\)
Aiempaa raja-arvoa \(v_h \to 1\) käyttämällä voidaan todeta, että \(E \to \infty\) ja \(\mathbf p \to \infty\).
Kohtaa c) varten poimin mainitusta ketjusta nelinopeuden \(u^\mu\) kaavat, ja asetin alkunopeuden nollaksi. Schwartzschild-koordinaateilla pudotuskorkeuden komponentit ovat
\(\begin{align}
u^t &= \frac{\sqrt{-g_{tt}(r_0)}}{-g_{tt}(r)} \\ \\
u^r & = \sqrt{-g_{tt}(r_0)+g_{tt}(r)}
\end{align}\)
missä merkintä \(g_{tt}(r_0)\) ja \(g_{tt}(r)\) tarkoittaa sitä, että metriikan aikakomponenttiin \(g_{tt} = -(1-r_s/R)\) sijoitetaan joko pudotusetäisyys \(R=r_0\) tai ohitusetäisyys \(R=r\).
Edellä a) kohdassa pudotus- ja ohitusetäisyys ovat samat. Sijoittamalla saadaan
\(\displaystyle p^\mu = m u^\mu = m(u^t,u^r)=m \left( \frac{\sqrt{-g_{tt}(r_0)}}{-g_{tt}(r_0)}, \sqrt{-g_{tt}(r_0)+g_{tt}(r_0)} \right) = \left(\frac{m}{\sqrt{1-r_s/r_0}}, 0 \right) = (E, p^r)\)
Tässä näkyy Swartzschild-koordinaattien ero paikallisiin koordinaatteihin. Kertoimen \(1/\sqrt{1-r_s/r_0} > 1\) seurauksena paikallaan olevan punnuksen massaenergia on Schwartzschild-koordinaateilla pienempi kuin mitä punnuksen vieressä oleva havaitsija mittaa.
Kohta b) on kiinnostavin Swartzschild-koordinaateilla. Kun nelinopeuden ja liikemäärän kaavoihin sijoitetaan \(r_0\) ja \(r\), niin saadaan
\(\displaystyle p^\mu = \left( m\frac{\sqrt{1-\frac{r_s}{r_0}}}{1-\frac{r_s}{r}}\ ,\ m \sqrt{\frac{r_s}{r}-\frac{r_s}{r_0}} \right) = (E, p^r)\)
Annetaan hovering observerin lähestyä horisonttia, eli siis \(r \to r_s\), jolloin liikemäärän raja-arvo on
\(\displaystyle \lim_{r \to r_s} p^\mu = \left(\ \infty,\ m \sqrt{1-\frac{r_s}{r_0}} \right)\)
Swartzschild-koordinaateilla energia (massaenergia + liike-energia) lähestyy ääretöntä, ja liikemäärän komponentti lähestyy äärellistä arvoa, joka riippuu vain pudotusetäisyydestä \(r_0\). Kun pudotusetäisyys \(r_0 \to \infty\), niin \(p^\mu \to (\infty, m)\), mikä on myös kohtuu erikoinen koordinaatiston liikemäärä.
Sitten kun vielä tarkastellaan äärettömyydestä pudotetun punnuksen 3-dim nopeutta, niin nopeus voidaan kirjoittaa etäisyyden \(r\) funktiona
\(\displaystyle v(r) = \left( 1- \frac{r_s}{r} \right) \sqrt{\frac{r_s}{r}}\)
Aluksi \(v(\infty) = 0\), sitten nopeus kasvaa, mutta horisontin lähellä jälleen pienenee, ja lopulta
\(\displaystyle \lim_{r \to r_s}v(r) = 0\)
Tätä kuvaillaan usein siten, että mustaan aukkoon pudotettu kappale pysähtyy tapahtumahorisonttiin. Mutta nämä ovat vain erään koordinaatiston komponentteja ja nopeuksia, joilla ei ole selkeää fysikaalista tulkintaa.
