Neutriinon antipodaalinen symplektinen Majorana-rakenne
Oletetaan, että sähköheikon symmetriarikon jälkeisessä neutraalissa sektorissa neutriinon vastakkaiset kiraalisuudet kuuluvat saman Φ-rakenteen antipodaalisiin haaroihin. Sauman yli yhteiseen spinorikehykseen esitettyinä ne toteuttavat tunnistuksen
\(
\nu_R(x,\Phi+\pi)
=
[\nu_L(x,\Phi)]^c,
\qquad
\psi^c=C\bar\psi^{\,T}.
\)
Antipodaalisuus sisältää tässä antilineaarisen varauskonjugaation. Oikean haaran kenttä määräytyy siten vasemmasta, ja niiden yhdistelmä on Majorana-kenttä:
\(
N=\nu_L+\nu_L^c,
\qquad
N^c=N.
\)
Symplektinen rakenne saadaan antamalla antipodaaliselle kehysparille indeksi \(A=1,2\). Merkitään spinorien varauskonjugaatiota \(\mathsf C\) ja määritellään
\(
\Gamma=P_L-P_R,
\qquad
j=\Gamma\mathsf C,
\qquad
\varepsilon=
\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{pmatrix}.
\)
Koska \(\mathsf C^2=1\) ja varauskonjugaatio vaihtaa kiraalisuuden, pätee \(\mathsf C\Gamma=-\Gamma\mathsf C\). Tästä seuraa
\(
j^2=-1,
\qquad
\mathscr R=\varepsilon j,
\qquad
\mathscr R^2=1.
\)
Symplektinen Majorana-ehto ja haarojen kiraalisuusprojektio voidaan nyt kirjoittaa yhdessä:
\(
\Psi=
\begin{pmatrix}
\nu_L\\
\nu_L^c
\end{pmatrix},
\qquad
\Psi=\mathscr R\Psi,
\qquad
P_L\Psi_1=\Psi_1,
\qquad
P_R\Psi_2=\Psi_2.
\)
Nämä ehdot jättävät yhden Weyl-spinorin verran riippumatonta kenttäsisältöä: antipodaaliset haarat ovat saman Majorana-moodin kaksi esityspuolta. Indeksi \(A\) nimeää tässä vaihehaarat, ei heikon isospinin komponentteja.
Heikon mittarirakenteen resonanssin oletetaan valitsevan aktiiviseksi tämän parin yhden kiraalisen orientaation. Sitä kutsutaan vasemmaksi, ja varattu heikko virta käyttää komponenttia \(P_LN\). Virran hermiittinen konjugaatti antaa relativistisessa rajassa oikeahelisiteettisen antineutriinokanavan. Näin antineutriino on saman Majorana-kentän antipodaalinen vuorovaikutushaara.
Vasemman ja oikean nimeäminen on orientaatiokonventio; vuorovaikutuksen tekemä kiraalinen valinta ja siihen liittyvä pariteettirikkomus ovat fysikaalisia.
Muistioskillaatioiden kuvauksessa tähän liitetään kolmen maun etenemisvaste. Tavanomaisen ainevasteen alueella yhteensopiva muoto on
\(
H_\nu(E,x)=\frac{\mathcal Q}{2E}+V(x),
\qquad
H_{\bar\nu}(E,x)=\frac{\mathcal Q^*}{2E}-V(x)^*,
\qquad
\mathcal Q^\dagger=\mathcal Q.
\)
Antipodaalinen Majorana-ehto määrittelee kentän haarojen keskinäisen tunnistuksen. Muistidynamiikan tehtäväksi jää johtaa massaneliömäinen operaattori \(\mathcal Q\) sekä mahdolliset leptonilukua rikkovat amplitudit.
Neutriinomittaus muistirakenteen äärellisenä lukutapahtumana - tarkennusta aikaisempaan
Tyhjön muistirakennemallissa neutriinon havaitseminen on neutriinokentän, tyhjön muistirakenteen ja ilmaisimen aineen paikallinen yhteistapahtuma. Ilmaisin osallistuu tähän dynamiikkaan äärellisen ajan ja tilavuuden verran. Mittauskohtaan saapuva kenttä ja siihen kytkeytyvä muistivaste sisältävät etenemishistorian aikana kertyneet suhteelliset vaiheet.
Mittauksessa muodostuvaa massatilaa voidaan tällöin kuvata vuorovaikutuksen pukemana neutriino–muisti-yhteistilana. Mittausikkunassa kertyy tämän tilan amplitudi. Massaneliösen muistivasteen ominaismuodot osallistuvat tapahtumaan eri vaiheissa, ja heikko vuorovaikutus projisoi niiden summan elektronin, myonin tai taun määrittelemään makukanavaan.
Vakion muistivasteen ja kapean energiakaistan tapauksessa tämä voidaan kirjoittaa luonnollisissa yksiköissä \(\hbar=c=1\):
\(
\mathcal A_{\beta r,\alpha}^{D}(E,L)
=
\sum_i
U_{\beta i}U_{\alpha i}^{*}
F_{\beta r,i}^{D}(E,\tau_D)
\exp\!\left(-i\frac{q_iL}{2E}\right),
\qquad
P_{\beta\leftarrow\alpha}^{D}
\propto
\sum_r
\left|\mathcal A_{\beta r,\alpha}^{D}\right|^2.
\)
Tässä \(\alpha\) on tuotantomaku, \(\beta\) havaittu makukanava, \(q_i\) massaneliömäisen muistivasteen ominaisarvoja ja \(U\) sen ominaismuotojen yhteys heikkoon makukantaan. Indeksi \(r\) erottaa ilmaisimen ortogonaaliset lopputilat.
Äärellinen osallistuminen sisältyy vastekertoimeen \(F_{\beta r,i}^{D}\). Yksinkertaisessa ajallisessa kuvauksessa
\(
F_{\beta r,i}^{D}
=
\int_{t_D}^{t_D+\tau_D}
dt\,
w_{\beta r}(t)\,a_i(L,t),
\)
missä \(a_i\) sisältää saapuvan ominaismuodon aaltopaketin ja \(w_{\beta r}\) ilmaisimen kytkennän sekä lopputilan energiavaiheen. Mittaus lukee näin äärellisen osuuden yhteisestä vaihehistoriasta. Kun sen vaste ei erottele oskilloivia ominaismuotoja, niiden interferenssi säilyy ja saadaan tavallinen oskilloiva makujakauma.
Neutriinovuolla voi samalla olla yhteinen kausaalinen eturintama nopeudella \(c\). Tämä toteutuu mallissa, jossa etenemisyhtälön derivaattaosa säilyttää nollarintaman ja muistikytkentä on paikallinen. Muistin vaste rakentuu rintaman saavuttamalla alueella; vaihe- ja ryhmäviiveet muokkaavat sen jälkeistä signaalia ja mittauksen ajallista päällekkäisyyttä.
Massaneliömäinen vaste kuuluu näin vuon ja läpäistävän muistityhjön yhteiseen dynamiikkaan. Havaittu maku syntyy, kun tämän dynamiikan säilyttämä vaihehistoria osallistuu äärelliseen heikkoon mittaustapahtumaan.
Hienorakennevakio lukuteoriana vapausasteista: (1⁰+2¹+3²+5³+1/2¹×3²/5³-(3²×5³)⁻²)⁻¹ = 137,03599921⁻¹
No niin! Nyt puretaan neutriinon massan ongelmat niin sanotusti atomeiksi, joka on pöljä sanonta tähän aiheeseen 
. Ensin pitää täsmentää edellisen viestini kompleksikonjugoinnin vs. Hermiten konjugoinnin notaatiota.
Edellisessä viestissä oli myös huojuva notaatio yläviivoissa. Ne pitäisi olla koko spinorin yli, eli \(\overline{e_R}\), eikä \(\overline e_R\), koska jälkimmäisen voi halutessaan tulkita erikoisesti. Jos notaatio olisi \(\phi\) ja \(\overline \phi_R\), niin asialla ei olisi niin suurta merkitystä.
Näillä päästään sitten käsiksi neutriinon massaan. Alkuperäisen sähköheikon teorian neutriinon R-komponentit puuttuvat, mutta ne voidaan sisällyttää teoriaan, kun samalla huomioidaan R-komponenttien kvanttiluvut.
Neutriinokentän \(\nu\) oikeakiraalinen osa ei osallistu heikkoon vuorovaikutukseen, joten heikko isospin \(T_3[\nu_R] = 0\), kuten alkuperäisessä teoriassakin. Tiedetään, että neutriinolla ei ole sähkövarausta, ja QED:n \(U(1)\)-mittainvarianssi vaatii, että L- ja R-komponenteilla on sama sähkövaraus. Tämän takia \(Q[\nu_R] = 0\).
Weinbergin kirjassa kvanttilukujen yhteys on \(Q = T_3 - Y\), joka poikkeaa kaikista muista lähteistä, mutta tästä saadaan neutriinon R-komponenteille heikko hypervaraus \(Y[\nu_R] = 0 - 0 = 0\).
Neutriinon R-komponenttien lisäämisen takia mittaryhmän \(U(1)_Y\) esitys muutetaan siten, että dupletin \((\nu, e)^T = (\nu_L^1, \nu_L^2, \nu_R^3, \nu_R^4 ,\ e_L^1, e_L^2, e_R^3, e_R^4)^T\) oikeakiraaliset \(\nu_R\)-komponentit saavat hypervarauksen \(Y = 0\)
\(y = g'\left(\frac12 \mathbb I_2 \otimes P_L + \mathbb I_2 \otimes P_R\right)\quad \longrightarrow \quad y = g'\left(\frac12 \mathbb I_2 \otimes P_L + \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \otimes P_R\right)
=
g' \begin{pmatrix}
\frac12 \mathbb I_2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac12 \mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mathbb I_2
\end{pmatrix}\)
Samalla mittaryhmän \(U(1)_{EM}\) generaattori muuttuu siten, että \(\nu_R\) saa sähkövarauksen \(Q = 0\)
\(\displaystyle q = \frac e g t_3 - \frac{e}{g'}y =
-e \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mathbb I_2
\end{pmatrix}\)
Mittaryhmään \(SU(2)_L\) kuuluva diagonaalinen \(t_3\) ei muutu. Neutriinon massaa varten kokeillaan ensin muodostaa Lorentz-invariantti massatermi
\(\mathcal L_m = -m\overline \nu \nu = -m (\overline{\nu_L}\ \nu_R + \overline{\nu_R}\ \nu_L)\)
Tuossa 4-komponenttinen spinori on \(\nu = (\nu_L^1, \nu_L^2, \nu_R^3, \nu_R^4)^T\), ja hypervarauksen generaattori esitetään 4x4-matriisina
\(y^{(\nu)} =
g' \begin{pmatrix}
\frac12 \mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}\)
Matriisin ominaisarvoista saadaan L- ja R-komponenttien hypervaraukset \(Y_L = \frac 12\), ja \(Y_R= 0\). Spinorin \(\nu\) ja adjungoidun spinorin \(\overline \nu\) äärelliset \(U(1)_Y\)-muunnokset ovat \(U = \exp(+i \beta y)\) ja \(U^\dagger = \exp(-i \beta y)\), missä \(\beta(x)\) on tietysti lokaali, mutta merkitään \(\beta\), jotta notaatio helpompi. Massatermi muuntuu seuraavasti
\(\displaystyle \mathcal L_m \to \mathcal L_m' = -m \left( e^{-i g' \beta/2}\ \overline{\nu_L}\ e^{0}\ \nu_R + e^{0}\ \overline{\nu_R}\ e^{+i g' \beta/2}\nu_L \right) = -m \left( e^{-i g' \beta/2}\ \overline{\nu_L}\ \nu_R + e^{+i g' \beta/2 }\ \overline{\nu_R}\ \nu_L \right) \neq \mathcal L_m\)
Mittainvarianssi ei toteudu, koska \(U(1)_Y\)-muunnos tuottaa molempiin termeihin paikasta riippuvat kertoimet. Neutriinolle tuo \(\mathcal L_m\) ei ole mahdollinen kuten ei ollut elektronillekaan. Jos palataan elektronin ja Higgsin kytkentään, niin se on
\(\displaystyle \mathscr L_{\phi e} = -G_e \overline{\begin{pmatrix}\nu_e \\ e \end{pmatrix}_L} \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix} e_R + h.c\)
Koska \(U(1)_Y\) on abelinen, niin mittamuunnoksen kerroin saadaan helposti myös siten, että lasketaan yhteen tekijöiden hypervaraus, ja huomioidaan, että konjugointi vaihtaa hypervarauksen etumerkin. Hypervaraukset ovat \(Y[(\overline{\nu_{eL}}, \overline{e_L})] = -\frac 12\), \(Y[\phi] = -\frac 12\) ja \(Y[e_R] = +1\). Tuo \(Y[\phi]\) saadaan laskettua edellisen viestini \(y^{(\phi)}\):n ominaisarvosta.
Näiden hypervarausten summa \(-\frac 12 - \frac 12 + 1 = 0\), joten \(\mathscr L_{\phi e}\) toteuttaa \(U(1)_Y\)-mittainvarianssin. \(SU(2)_L\)-invarianssi on hiukan työläämpi todeta, mutta sekin tässä pätee. Invarianssi oli syy sille, että elektronin massaan tarvitaan Higgsin dupletti. Seuraavaksi kokeillaan saada neutriinolle \(\nu_e\) massa samoin kuin on saatu elektronille. Neutriino kytketään Higgsin duplettiin
\(\displaystyle \mathscr L_{\phi \nu} = -G_\nu \overline{\begin{pmatrix}\nu_e \\ e \end{pmatrix}_L} \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix} \nu_{eR} + h.c\)
Mittamuunnoksessa \(Y[(\overline{\nu_{eL}}, \overline{e_L})] + Y[\phi] + Y[\nu_R] = -\frac 12 - \frac 12 + 0 = -1\), joka on nollasta poikkeava, joten mittainvarianssi ei toteudu, vaikka elektronille toteutui. Ongelmaan on olemassa ratkaisu, ja se on varauskonjugoitu Higgsin dupletti \(\tilde \phi\), joka määritellään seuraavasti
\(\tilde\phi = i\sigma_2\phi^* = i\sigma_2 \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix}\phi^{0*}\\-\phi^{+*}\end{pmatrix}\)
Dupletin \(\tilde \phi\) mittaryhmät \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) ja \(U(1)_{EM}\) saadaan generaattoreista
\(\displaystyle \vec t^{(\tilde \phi)}=\frac g 2 \vec\sigma,\quad y^{(\tilde \phi)}=+\frac{g'}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad q^{(\tilde \phi)}=-e\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Nyt voidaan kytkeä neutriino ja varauskonjugoitu Higgsin dupletti, jonka komponenttien vakuumiodotusarvot ovat \(\langle \phi^{0^*} \rangle = v \) ja \(\langle \phi^{+*} \rangle = 0\)
\(\begin{align}\displaystyle \mathscr L_{\tilde \phi \nu} &= -G_\nu \overline{\begin{pmatrix}\nu_e \\ e \end{pmatrix}_L} \begin{pmatrix} \phi^{0*} \\ -\phi^{+*}\end{pmatrix} \nu_{eR} + h.c \\
&= -G_\nu v\ \left(\overline{{\nu}_{eL}}\ \nu_{eR} + \overline{\nu_{eR}}\ \nu_{eL}\right) \\
& = -G_\nu v\ \overline \nu \nu
\end{align}\)
Lauseke on \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) -invariantti, ja näin neutriino on saanut massan \(m_\nu=G_\nu\ v\), jota kutsutaan Diracin massaksi. Näin muodostettu neutriino on kuitenkin erikoinen, koska kvanttilukujen \(T_3 = Y = Q = 0\) takia R-komponentti ei osallistu standardimallin vuorovaikutuksiin. Otusta kutsutaankin joskus nimellä 'steriili neutriino'. Se kytkeytyy tosin elektronin L-komponentteihin ja Higgsin duplettiin, mutta nämä eivät ole perusvuorovaikutuksia sanan varsinaisessa merkityksessä.
Nollaksi asettuneet kvanttiluvut \(T_3\), \(Y\) ja \(Q\) mahdollistavat kuitenkin seuraavan vaihtoehdon, joka on Majorana massatermi
\(\displaystyle \mathscr L_M = -\frac 12 M \left(\overline{\nu_R^c}\ \nu_R + h.c\right)\)
Lasketaan konkreettisesti mitä tämä tarkoittaa. Weinbergin konventioilla oikeakiraalinen neutriino on \(\nu_R = (0,0,\nu^3,\nu^4)^T\), ja \(\overline{\nu_R} = \nu_R^\dagger\ i \gamma^0 =(\nu^{3\dagger}, \nu^{4\dagger}, 0,0)\). Spinorin varauskonjugointi saadaan muun muassa laskemalla \(\nu_R^c = \gamma^2\ (\nu_R^\dagger)^T\), ja tämän avulla saadaan
\(\overline{\nu_R^c} = (\nu_R^c)^\dagger\ i \gamma^0 = \left(\gamma^2\ \nu_R^{\dagger T}\right)^\dagger \ i \gamma^0 = \left(\nu_R^T\ (\gamma^2)^\dagger\right) \ i \gamma^0 = i\ \nu_R^T \gamma^2 \gamma^0 = (0,0,-\nu^4, \nu^3)\)
Kaksi viimeistä komponenttia on vaihtanut paikkaa, ja viimeisen etumerkki vaihtunut. Käytännössä varauskonjugoitu \(\nu_R^c=(-\nu^{4\dagger}, \nu^{3\dagger}, 0,0)^T\) on vasenkiraalinen (kaksi L-komponenttia). Varauskonjugointi vaihtaa kvanttilukujen etumerkin, mutta tässä tapauksessa \(T_3 = Y = Q = 0\).
Diracin massa \(\mathscr L_{\tilde \phi \nu}\) kytkee neutriinokentän L- ja R-komponentit termillä \(\overline{\nu_R}\ \nu_L\), mutta Majorana massa \(\mathscr L_M\) kytkee neutriinokentän L-komponentit antineutriinokentän L-komponentteihin termillä \(\overline{\nu_R^c}\ \nu_R\), jos tuo \(\nu_R^c\) tulkitaan antineutriinokentäksi. Diracin massa sisältää vain neutriinon \(\nu_D = \nu_L + \nu_R\), mutta Majorana massa sisältää antineutriinon ja neutriinon, joista muodostuu Majorana neutriino \(\nu_M = \nu_R^c + \nu_R\). Tämä neutriino on itsensä antihiukkanen, joka voidaan todeta laskemalla \(\nu_M = \nu_M^c\). Majorana massa \(\mathscr L_M\) on invariantti mittamuunnoksessa \(SU(2)_L \times U(1)_Y\), ja myös Lorentz-invariantti.
Seuraavaksi lasketaan auki termi
\(\overline{\nu_R^c} \nu_R = (0,0,-\nu^4, \nu^3)\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \nu^3 \\ \nu^4 \end{pmatrix} = -\nu^4 \nu^3 + \nu^3 \nu^4\)
Komponentit toteuttavat fermionikentän anti-kommutoinnin \(\{\nu^a,\nu^b\} = \nu^a\nu^b + \nu^b\nu^a = 0\) ja vastaavan \(\{\nu^{a\dagger},\nu^{b\dagger}\} = 0\). Näiden seurauksena \(-\nu^4 \nu^3 + \nu^3 \nu^4 = 2\nu^3\nu^4\), ja koko massatermi on
\(\displaystyle \mathscr L_M = -\frac 12 M \left(\overline{\nu_R^c}\ \nu_R + h.c\right) = -\frac 12 M \left(2 \nu^3\nu^4 + (2\nu^3 \nu^4)^\dagger\right) = -M \left(\nu^3 \nu^4- \nu^{3\dagger} \nu^{4\dagger} \right)\)
Tässä nyt massa \(M \in \mathbb R\), mutta se voi olla myös kompleksiluku, jolloin termien edessä on \(M\) ja \(M^*\). Tuo \( \mathscr L_M\) on jälleen erikoinen otus, sillä termeistä seuraa, että teorian leptoniluku ei säily. Aiemmin mainittu neutriinon Diracin massa säilyttää leptoniluvun. Nämä ominaisuudet liittyvät leptoniluvun globaaliin symmetriaan, jonka jätän tässä nyt väliin.
Oikeakiraalinen \(\mathscr L_M = -\frac 12 M \left(\overline{\nu_R^c}\ \nu_R + h.c\right)\) on siis invariantti sähköheikon teorian mittamuunnoksessa, mutta uusi ongelma nousee, kun L-komponentista muodostetaan vastaava
\(\displaystyle \mathscr L_M = -\frac 12 M \left(\overline{\nu_L^c}\ \nu_L + h.c\right)\)
Hypervaraus \(Y[\overline{\nu_L^c}\ \nu_L] = \frac 12 + \frac 12 = 1\), joten mittainvarianssi ei toteudu. Itse asiassa myös \(SU(2)_L\) -invarianssi jää toteutumatta. Näitä ongelmia voi sitten ratkoa seesaw-mekanismilla tai Weinberg dimension-5 operaattorilla.
Olipas työmaa, toivottavasti ei jäänyt paljon virheitä. Dimension-5 operator vaatii lisää laskemista, mutta nyt ei energia riittänyt
. Ensin pitää täsmentää edellisen viestini kompleksikonjugoinnin vs. Hermiten konjugoinnin notaatiota. Tässä vaiheessa spinoriin sisällytetään fermionikentän operaattorit, ja siksi määrittelyjä pitää muuttaa (tai korjata, kun olisin voinut ensimmäisessä viestissä mainita). Pystyspinori on \(e=(e^1, e^2, e^3, e^4)^T\), ja vaakaspinori on Hermiten konjugaatti \(e^\dagger = (e^{1\dagger}, e^{2\dagger}, e^{3\dagger}, e^{4\dagger})\). Myös Diracin adjungaatti on vaakaspinori \(\overline e = e^\dagger\ i \gamma^0 = (e^{3\dagger}, e^{4\dagger}, e^{1\dagger}, e^{2\dagger})\), ja tässä L- ja R-komponentit vaihtavat paikkaa.QS kirjoitti: ↑18.10.2026, 10:12Spinori-sisätulon \(\overline e e\) notaatiossa \(e = ( e_L^1, e_L^2, e_R^3, e_R^4)^T\) ja \(\overline e = e^\dagger i \gamma^0 = ( {e_R^3}^*, {e_R^4}^*, {e_L^1}^*, {e_L^2}^*)\).
...
Voidaan myös kirjoittaa \(e_L = P_L\ e = (e_L^1, e_L^2, 0,0)^T\) ja \(\overline e_L = \overline e\ P_R = (0,0,{e_L^1}^*, {e_L^2}^*)\), sekä vastaavat \(e_R = P_R\ e\) ja \(\overline e_R = \overline e\ P_L\).
Edellisessä viestissä oli myös huojuva notaatio yläviivoissa. Ne pitäisi olla koko spinorin yli, eli \(\overline{e_R}\), eikä \(\overline e_R\), koska jälkimmäisen voi halutessaan tulkita erikoisesti. Jos notaatio olisi \(\phi\) ja \(\overline \phi_R\), niin asialla ei olisi niin suurta merkitystä.
Näillä päästään sitten käsiksi neutriinon massaan. Alkuperäisen sähköheikon teorian neutriinon R-komponentit puuttuvat, mutta ne voidaan sisällyttää teoriaan, kun samalla huomioidaan R-komponenttien kvanttiluvut.
Neutriinokentän \(\nu\) oikeakiraalinen osa ei osallistu heikkoon vuorovaikutukseen, joten heikko isospin \(T_3[\nu_R] = 0\), kuten alkuperäisessä teoriassakin. Tiedetään, että neutriinolla ei ole sähkövarausta, ja QED:n \(U(1)\)-mittainvarianssi vaatii, että L- ja R-komponenteilla on sama sähkövaraus. Tämän takia \(Q[\nu_R] = 0\).
Weinbergin kirjassa kvanttilukujen yhteys on \(Q = T_3 - Y\), joka poikkeaa kaikista muista lähteistä, mutta tästä saadaan neutriinon R-komponenteille heikko hypervaraus \(Y[\nu_R] = 0 - 0 = 0\).
Neutriinon R-komponenttien lisäämisen takia mittaryhmän \(U(1)_Y\) esitys muutetaan siten, että dupletin \((\nu, e)^T = (\nu_L^1, \nu_L^2, \nu_R^3, \nu_R^4 ,\ e_L^1, e_L^2, e_R^3, e_R^4)^T\) oikeakiraaliset \(\nu_R\)-komponentit saavat hypervarauksen \(Y = 0\)
\(y = g'\left(\frac12 \mathbb I_2 \otimes P_L + \mathbb I_2 \otimes P_R\right)\quad \longrightarrow \quad y = g'\left(\frac12 \mathbb I_2 \otimes P_L + \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \otimes P_R\right)
=
g' \begin{pmatrix}
\frac12 \mathbb I_2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac12 \mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mathbb I_2
\end{pmatrix}\)
Samalla mittaryhmän \(U(1)_{EM}\) generaattori muuttuu siten, että \(\nu_R\) saa sähkövarauksen \(Q = 0\)
\(\displaystyle q = \frac e g t_3 - \frac{e}{g'}y =
-e \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mathbb I_2
\end{pmatrix}\)
Mittaryhmään \(SU(2)_L\) kuuluva diagonaalinen \(t_3\) ei muutu. Neutriinon massaa varten kokeillaan ensin muodostaa Lorentz-invariantti massatermi
\(\mathcal L_m = -m\overline \nu \nu = -m (\overline{\nu_L}\ \nu_R + \overline{\nu_R}\ \nu_L)\)
Tuossa 4-komponenttinen spinori on \(\nu = (\nu_L^1, \nu_L^2, \nu_R^3, \nu_R^4)^T\), ja hypervarauksen generaattori esitetään 4x4-matriisina
\(y^{(\nu)} =
g' \begin{pmatrix}
\frac12 \mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}\)
Matriisin ominaisarvoista saadaan L- ja R-komponenttien hypervaraukset \(Y_L = \frac 12\), ja \(Y_R= 0\). Spinorin \(\nu\) ja adjungoidun spinorin \(\overline \nu\) äärelliset \(U(1)_Y\)-muunnokset ovat \(U = \exp(+i \beta y)\) ja \(U^\dagger = \exp(-i \beta y)\), missä \(\beta(x)\) on tietysti lokaali, mutta merkitään \(\beta\), jotta notaatio helpompi. Massatermi muuntuu seuraavasti
\(\displaystyle \mathcal L_m \to \mathcal L_m' = -m \left( e^{-i g' \beta/2}\ \overline{\nu_L}\ e^{0}\ \nu_R + e^{0}\ \overline{\nu_R}\ e^{+i g' \beta/2}\nu_L \right) = -m \left( e^{-i g' \beta/2}\ \overline{\nu_L}\ \nu_R + e^{+i g' \beta/2 }\ \overline{\nu_R}\ \nu_L \right) \neq \mathcal L_m\)
Mittainvarianssi ei toteudu, koska \(U(1)_Y\)-muunnos tuottaa molempiin termeihin paikasta riippuvat kertoimet. Neutriinolle tuo \(\mathcal L_m\) ei ole mahdollinen kuten ei ollut elektronillekaan. Jos palataan elektronin ja Higgsin kytkentään, niin se on
\(\displaystyle \mathscr L_{\phi e} = -G_e \overline{\begin{pmatrix}\nu_e \\ e \end{pmatrix}_L} \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix} e_R + h.c\)
Koska \(U(1)_Y\) on abelinen, niin mittamuunnoksen kerroin saadaan helposti myös siten, että lasketaan yhteen tekijöiden hypervaraus, ja huomioidaan, että konjugointi vaihtaa hypervarauksen etumerkin. Hypervaraukset ovat \(Y[(\overline{\nu_{eL}}, \overline{e_L})] = -\frac 12\), \(Y[\phi] = -\frac 12\) ja \(Y[e_R] = +1\). Tuo \(Y[\phi]\) saadaan laskettua edellisen viestini \(y^{(\phi)}\):n ominaisarvosta.
Näiden hypervarausten summa \(-\frac 12 - \frac 12 + 1 = 0\), joten \(\mathscr L_{\phi e}\) toteuttaa \(U(1)_Y\)-mittainvarianssin. \(SU(2)_L\)-invarianssi on hiukan työläämpi todeta, mutta sekin tässä pätee. Invarianssi oli syy sille, että elektronin massaan tarvitaan Higgsin dupletti. Seuraavaksi kokeillaan saada neutriinolle \(\nu_e\) massa samoin kuin on saatu elektronille. Neutriino kytketään Higgsin duplettiin
\(\displaystyle \mathscr L_{\phi \nu} = -G_\nu \overline{\begin{pmatrix}\nu_e \\ e \end{pmatrix}_L} \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix} \nu_{eR} + h.c\)
Mittamuunnoksessa \(Y[(\overline{\nu_{eL}}, \overline{e_L})] + Y[\phi] + Y[\nu_R] = -\frac 12 - \frac 12 + 0 = -1\), joka on nollasta poikkeava, joten mittainvarianssi ei toteudu, vaikka elektronille toteutui. Ongelmaan on olemassa ratkaisu, ja se on varauskonjugoitu Higgsin dupletti \(\tilde \phi\), joka määritellään seuraavasti
\(\tilde\phi = i\sigma_2\phi^* = i\sigma_2 \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix}\phi^{0*}\\-\phi^{+*}\end{pmatrix}\)
Dupletin \(\tilde \phi\) mittaryhmät \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) ja \(U(1)_{EM}\) saadaan generaattoreista
\(\displaystyle \vec t^{(\tilde \phi)}=\frac g 2 \vec\sigma,\quad y^{(\tilde \phi)}=+\frac{g'}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad q^{(\tilde \phi)}=-e\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Nyt voidaan kytkeä neutriino ja varauskonjugoitu Higgsin dupletti, jonka komponenttien vakuumiodotusarvot ovat \(\langle \phi^{0^*} \rangle = v \) ja \(\langle \phi^{+*} \rangle = 0\)
\(\begin{align}\displaystyle \mathscr L_{\tilde \phi \nu} &= -G_\nu \overline{\begin{pmatrix}\nu_e \\ e \end{pmatrix}_L} \begin{pmatrix} \phi^{0*} \\ -\phi^{+*}\end{pmatrix} \nu_{eR} + h.c \\
&= -G_\nu v\ \left(\overline{{\nu}_{eL}}\ \nu_{eR} + \overline{\nu_{eR}}\ \nu_{eL}\right) \\
& = -G_\nu v\ \overline \nu \nu
\end{align}\)
Lauseke on \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) -invariantti, ja näin neutriino on saanut massan \(m_\nu=G_\nu\ v\), jota kutsutaan Diracin massaksi. Näin muodostettu neutriino on kuitenkin erikoinen, koska kvanttilukujen \(T_3 = Y = Q = 0\) takia R-komponentti ei osallistu standardimallin vuorovaikutuksiin. Otusta kutsutaankin joskus nimellä 'steriili neutriino'. Se kytkeytyy tosin elektronin L-komponentteihin ja Higgsin duplettiin, mutta nämä eivät ole perusvuorovaikutuksia sanan varsinaisessa merkityksessä.
Nollaksi asettuneet kvanttiluvut \(T_3\), \(Y\) ja \(Q\) mahdollistavat kuitenkin seuraavan vaihtoehdon, joka on Majorana massatermi
\(\displaystyle \mathscr L_M = -\frac 12 M \left(\overline{\nu_R^c}\ \nu_R + h.c\right)\)
Lasketaan konkreettisesti mitä tämä tarkoittaa. Weinbergin konventioilla oikeakiraalinen neutriino on \(\nu_R = (0,0,\nu^3,\nu^4)^T\), ja \(\overline{\nu_R} = \nu_R^\dagger\ i \gamma^0 =(\nu^{3\dagger}, \nu^{4\dagger}, 0,0)\). Spinorin varauskonjugointi saadaan muun muassa laskemalla \(\nu_R^c = \gamma^2\ (\nu_R^\dagger)^T\), ja tämän avulla saadaan
\(\overline{\nu_R^c} = (\nu_R^c)^\dagger\ i \gamma^0 = \left(\gamma^2\ \nu_R^{\dagger T}\right)^\dagger \ i \gamma^0 = \left(\nu_R^T\ (\gamma^2)^\dagger\right) \ i \gamma^0 = i\ \nu_R^T \gamma^2 \gamma^0 = (0,0,-\nu^4, \nu^3)\)
Kaksi viimeistä komponenttia on vaihtanut paikkaa, ja viimeisen etumerkki vaihtunut. Käytännössä varauskonjugoitu \(\nu_R^c=(-\nu^{4\dagger}, \nu^{3\dagger}, 0,0)^T\) on vasenkiraalinen (kaksi L-komponenttia). Varauskonjugointi vaihtaa kvanttilukujen etumerkin, mutta tässä tapauksessa \(T_3 = Y = Q = 0\).
Diracin massa \(\mathscr L_{\tilde \phi \nu}\) kytkee neutriinokentän L- ja R-komponentit termillä \(\overline{\nu_R}\ \nu_L\), mutta Majorana massa \(\mathscr L_M\) kytkee neutriinokentän L-komponentit antineutriinokentän L-komponentteihin termillä \(\overline{\nu_R^c}\ \nu_R\), jos tuo \(\nu_R^c\) tulkitaan antineutriinokentäksi. Diracin massa sisältää vain neutriinon \(\nu_D = \nu_L + \nu_R\), mutta Majorana massa sisältää antineutriinon ja neutriinon, joista muodostuu Majorana neutriino \(\nu_M = \nu_R^c + \nu_R\). Tämä neutriino on itsensä antihiukkanen, joka voidaan todeta laskemalla \(\nu_M = \nu_M^c\). Majorana massa \(\mathscr L_M\) on invariantti mittamuunnoksessa \(SU(2)_L \times U(1)_Y\), ja myös Lorentz-invariantti.
Seuraavaksi lasketaan auki termi
\(\overline{\nu_R^c} \nu_R = (0,0,-\nu^4, \nu^3)\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \nu^3 \\ \nu^4 \end{pmatrix} = -\nu^4 \nu^3 + \nu^3 \nu^4\)
Komponentit toteuttavat fermionikentän anti-kommutoinnin \(\{\nu^a,\nu^b\} = \nu^a\nu^b + \nu^b\nu^a = 0\) ja vastaavan \(\{\nu^{a\dagger},\nu^{b\dagger}\} = 0\). Näiden seurauksena \(-\nu^4 \nu^3 + \nu^3 \nu^4 = 2\nu^3\nu^4\), ja koko massatermi on
\(\displaystyle \mathscr L_M = -\frac 12 M \left(\overline{\nu_R^c}\ \nu_R + h.c\right) = -\frac 12 M \left(2 \nu^3\nu^4 + (2\nu^3 \nu^4)^\dagger\right) = -M \left(\nu^3 \nu^4- \nu^{3\dagger} \nu^{4\dagger} \right)\)
Tässä nyt massa \(M \in \mathbb R\), mutta se voi olla myös kompleksiluku, jolloin termien edessä on \(M\) ja \(M^*\). Tuo \( \mathscr L_M\) on jälleen erikoinen otus, sillä termeistä seuraa, että teorian leptoniluku ei säily. Aiemmin mainittu neutriinon Diracin massa säilyttää leptoniluvun. Nämä ominaisuudet liittyvät leptoniluvun globaaliin symmetriaan, jonka jätän tässä nyt väliin.
Oikeakiraalinen \(\mathscr L_M = -\frac 12 M \left(\overline{\nu_R^c}\ \nu_R + h.c\right)\) on siis invariantti sähköheikon teorian mittamuunnoksessa, mutta uusi ongelma nousee, kun L-komponentista muodostetaan vastaava
\(\displaystyle \mathscr L_M = -\frac 12 M \left(\overline{\nu_L^c}\ \nu_L + h.c\right)\)
Hypervaraus \(Y[\overline{\nu_L^c}\ \nu_L] = \frac 12 + \frac 12 = 1\), joten mittainvarianssi ei toteudu. Itse asiassa myös \(SU(2)_L\) -invarianssi jää toteutumatta. Näitä ongelmia voi sitten ratkoa seesaw-mekanismilla tai Weinberg dimension-5 operaattorilla.
Olipas työmaa, toivottavasti ei jäänyt paljon virheitä. Dimension-5 operator vaatii lisää laskemista, mutta nyt ei energia riittänyt