Kiihtyvyyden merkitys kaksosparadoksissa

[Eusa]

Pikainen kommentti tähän. Aiemmin viittasin siihen, että mielestäni kaarevuuden ero tulisi sitoa mieluummin seuraavaan heikentyvän suunnan käänteeseen, kentän dominanttien väliseen tasapainoviivaan kuin kaarevuuden voimistuvan suunnan keskiöetäisyyteen kuten yleisen suhteellisuusteorian formulaatiossa esiintyy ja Schwartschildin ratkaisussa erityisesti säteen R merkitys korostuu. Eli kaksosparadoksiin viitaten, asettaisin inertiaalimajakkaa imitoivan nollasäteilijän tuollaiselle nollapinnalle. Siihen verrattaisiin sitten taajuussiirtymiä. Kaarevuuden tuottama ja sen kanssa vaikuttava muu itseiskiihtyvyys voitaisiin hallita päivittyvänä ikääntymisskenaariona valittua nollapintaa syvemmässä kentässä.

Kuten huomataan, idea on skaalariippuva ja aina seuraavassa mittakaavassa on löydettävä alin nollapintansa, esim galaksimittakaavassa tai klusteriskaalassa tai suurjoukoissa...

Tätä en ymmärtänyt, mutta täsmennän hiukan aiempaa kirjoittamaani

...ortogonaaliset \(\{e_\phi, e_\theta\}\)

jotta ei tarvitse näitä kantavektoreita eksplisiittisesti lausua, niin mielummin kirjoittaisin: ortogonaaliset derivaattaoperaattorit \(\{\hat{e}_\phi, \hat{e}_\theta\}\)

Kyllä. Voisi myös kirjoittaa yksinkertaisesti \(\partial_\phi​\) ja \(\partial_\theta\)​ viitaten kasuaalisti sovellettaviin suuntaderivaattoihin, jotka vastaavat muutosnopeutta \(\phi\) ja \(\theta\) -suunnissa. Näillä voidaan toimia vektorikentän komponenttien kanssa ilman, että tarvitsisi eksplisiittisesti käyttää kantavektoreita ja jos derivaattaoperaattoreillekaan ei ole ehdotonta tarvetta.

Uhkaako aihe lipsua notaatiolillukoihin? Haluatko ymmärtää edellisen pikakommentin ajatteluani vai ohitetaanko?

[QS]

Kun pallo, joka ei välttämättä vakiosäteinen, kuvataan koordinaatistoon

\(\begin{align*}
x&=r\sin\theta\cos\phi\\
y&=r\sin\theta\sin\phi\\
z&=r\cos\theta
\end{align*}\)

niin tangenttiavaruuden kanta voidaan kirjoittaa

\(\begin{align*}
\partial_r&=\sin\theta\cos\phi\ \partial_x+\sin\theta\sin\phi\ \partial_y+\cos\theta\ \partial_z\\
\partial_\theta&=r\cos\theta\cos\phi\ \partial_x+r\cos\theta\sin\phi\ \partial_y-r\sin\theta\ \partial_z\\
\partial_\phi&=-r\sin\theta\sin\phi\ \partial_x+r\sin\theta\cos\phi\ \partial_y
\end{align*}\)

tai pallokoordinaateilla

\((\partial_r\,,\ \frac{1}{r}\partial_\theta\,,\ \frac{1}{r\sin\theta}\partial_\phi)\)

Haluatko ymmärtää edellisen pikakommentin ajatteluani vai ohitetaanko?

En ymmärtänyt siitä viestistä oikeastaan sanaakaan.

[Eusa]

Kun pallo, joka ei välttämättä vakiosäteinen, kuvataan koordinaatistoon

\(\begin{align*}
x&=r\sin\theta\cos\phi\\
y&=r\sin\theta\sin\phi\\
z&=r\cos\theta
\end{align*}\)

niin tangenttiavaruuden kanta voidaan kirjoittaa

\(\begin{align*}
\partial_r&=\sin\theta\cos\phi\ \partial_x+\sin\theta\sin\phi\ \partial_y+\cos\theta\ \partial_z\\
\partial_\theta&=r\cos\theta\cos\phi\ \partial_x+r\cos\theta\sin\phi\ \partial_y-r\sin\theta\ \partial_z\\
\partial_\phi&=-r\sin\theta\sin\phi\ \partial_x+r\sin\theta\cos\phi\ \partial_y
\end{align*}\)

tai pallokoordinaateilla

\((\partial_r\,,\ \frac{1}{r}\partial_\theta\,,\ \frac{1}{r\sin\theta}\partial_\phi)\)

Haluatko ymmärtää edellisen pikakommentin ajatteluani vai ohitetaanko?

En ymmärtänyt siitä viestistä oikeastaan sanaakaan.

Tuo ei vastaa suoraan kysymykseen, mutta tulkitsen, ettet kaipaa lisäselvityksiä.

Kuinkahan pallotilan geometria liittyy kaksosparadoksin fysiikkaan, se kyllä kiinnostaa minua - kerro lisää...

[QS]

Kuinkahan pallotilan geometria liittyy kaksosparadoksin fysiikkaan, se kyllä kiinnostaa minua - kerro lisää...

Se oli esimerkki nopeuden määrittelystä, joka on suureena erittäinkin fundamentaali suhteellisuusteorian näkökulmasta. Kiihtyvyyttäkään ei suureena ole olemassa ilman nopeutta, jonka muutosta kiihtyvyys kuvaa.

[Eusa]

Kuinkahan pallotilan geometria liittyy kaksosparadoksin fysiikkaan, se kyllä kiinnostaa minua - kerro lisää...

Se oli esimerkki nopeuden määrittelystä, joka on suureena erittäinkin fundamentaali suhteellisuusteorian näkökulmasta. Kiihtyvyyttäkään ei suureena ole olemassa ilman nopeutta, jonka muutosta kiihtyvyys kuvaa.

Kinasteluahan voimme niin halutessamme kiihdyttää . Nopeutta ei ole ilman ainetta ja niistä muodostuneita kappaleita. Aine puolestaan on pohjimmiltaan fluktuaatioita eli kiihtyvyyttä. Samoin yleisen suhteellisuusteorian aika-avaruus on kiihtyvyyskenttä.

Tietystikin fysikaaliset juurisyyt ovat vuorovaikutuksissa, joista kiihtyvyydet ovat invarianssimitta.

Vielä syvällisemmäksi voidaan mennä Higgsin mekanismia tarkasteltaessa, jossa vuorovaikutus kentän kanssa nostaa taajuutta eli kiihtyvyystiheyttä ja klassisesti tunnetaan massana, paikallistuneena energialisänä, hitautena. Hitaus puolestaan antaa inertiaaliset nopeudet jne.

[Disputator]

Hyvä avaus. Mun täytyy tutustua tarkemmin tähän kun muilta kiireiltä kerkeän, mutta muutama kommentti nyt tähän. Mulla on se sun tangenttiavaruusjuttu vielä käymättä läpi, mutta aikanaan sekin sitten.

Kuten sanoitkin, kiihtyvyys ei ole aina se primääri syy kaksosparadoksin kaltaisessa set-upissa. Kaksi veljestä, jotka aloittavat matkan samasta aika-avaruuden pisteestä P pitkin eri ajanlaatuisia geodeeseja ja kuitenkin lopulta päätyvät toiseen aika-avaruuden pisteeseen Q. Se että kaksi nämä eri geodeesia lopulta kohtaavat on erittäin rajoittava ehto, mutta lienee mahdollinen.

Veljekset voivat siis paiskata kättä ja verrata samalla rannekellojensa näyttämää aikaa. Koska geodeesit kohtaavat pisteessä Q on mielestäni välttämättä tilanne se, että veljekset fyysisesti kohtaavat. Kuitenkin veljesten rannekellojen mittaamat itseisajat voivat olla eri, joten silloin on luotu kaksosparadoksin kaltainen tilanne ilman kiihtyvyyksiä.

Tässä on jännä ero tavallisen Riemann-geometrian ja suhtiksen semi-Riemann-geometrian (tai jotain vastaavaa, tämäkin nimi on nähty). Riemann-geometriassa geodeesit voivat leikata pisteessä Q, mutta veljesten saapumisaika voi olla eri, esimerkkinä se, jossa veljekset lähtevät eri suuntiin kävelemään Pohjoisnavalta tasaisella kävelyvauhdilla. Jos meriä ei ole ja Maa tasainen pallo, kumankin veljeksen kävelyn polku on geodeesi, mutta he voivat saapua eri aikaan Etelänavalle, riippuen kummankin veljeksen (vakio)kävelyn vauhdista. Suhtiksen geodeesien kohtaaminen taasen merkitsee fyysistä kohtaamista, vaikka rannekellojen ominaisajat olisivat eri lukemissa.

[QS]

Hyvä avaus. Mun täytyy tutustua tarkemmin tähän kun muilta kiireiltä kerkeän, mutta muutama kommentti nyt tähän. Mulla on se sun tangenttiavaruusjuttu vielä käymättä läpi, mutta aikanaan sekin sitten.

Tangenttiavaruudet ovat niin tuskaisia, vaikka arkijärjellä helposti ymmärrettäviä.

Kuten sanoitkin, kiihtyvyys ei ole aina se primääri syy kaksosparadoksin kaltaisessa set-upissa. Kaksi veljestä, jotka aloittavat matkan samasta aika-avaruuden pisteestä P pitkin eri ajanlaatuisia geodeeseja ja kuitenkin lopulta päätyvät toiseen aika-avaruuden pisteeseen Q. Se että kaksi nämä eri geodeesia lopulta kohtaavat on erittäin rajoittava ehto, mutta lienee mahdollinen.

Veljekset voivat siis paiskata kättä ja verrata samalla rannekellojensa näyttämää aikaa. Koska geodeesit kohtaavat pisteessä Q on mielestäni välttämättä tilanne se, että veljekset fyysisesti kohtaavat. Kuitenkin veljesten rannekellojen mittaamat itseisajat voivat olla eri, joten silloin on luotu kaksosparadoksin kaltainen tilanne ilman kiihtyvyyksiä.

Joo, P:n ja Q:n yhdistävä geodeesi ei aina ole yksikäsitteinen.

Gravitaatiossa tämän voi järjestellä kohtuu helpostikin. Ajatellaan havaitsija A, joka on kiertää pallosymmetristä massaa geodeettisella ympyräradalla. Havaitsijan B geodeettinen liikerata vastaa tilannetta, jossa säteen suunnassa heitetään ylös päin kappale, joka putoaa aikanaan jälleen alas.

Nyt tarvitaan vain setuppi, jossa A ja B kohtaavat tapahtumassa P (esim pohjoisnavan yläpuolella), missä B on matkalla ylös päin. Kellot synkronoidaan P:ssä.

Sitten A etenee täyden kierroksen, ja on jälleen pohjoisnavalla, mutta nyt tapahtumassa Q. Samalla B on myös Q:ssa, mutta tällä kertaa putoamassa alas. Kellot voidaan verrata.

Tämän setupin laskut olen jossain artikkelissa nähnyt, mutta hukannut artikkelin. Osoittautuu, että kiertoradalla ollut A mittaa lyhyemmän ajan kuin B.

Tässä ominaiskiihtyvyys ei ole ikääntymiseron määräävä tekijä, sillä A:n ja B:n kiihtyvyysmittarit ovat koko ajan nollassa.

Vuosia sitten luin sellaisenkin artikkelin, jossa rullattiin laakea Minkowskiavaruus eräänlaiseksi sylinteripinnaksi, joka on laakea avaruus sekin. Tässä topologiassa kappaleet voivat kiertää pintaa vakionopeudella ja kohdata toisensa uudestaan ilman kiihtyvyyksiä. Kellot näyttävät eri aikaa. Tuollainen himmeli ei tosin ole fysikaalisesti kovin realistinen aika-avaruus, mutta teoreettisesti mahdollinen.

Kinasteluahan voimme niin halutessamme kiihdyttää . Nopeutta ei ole ilman ainetta ja niistä muodostuneita kappaleita. Aine puolestaan on pohjimmiltaan fluktuaatioita eli kiihtyvyyttä. Samoin yleisen suhteellisuusteorian aika-avaruus on kiihtyvyyskenttä.

Newtonin painovoimassa on kyllä kiihtyvyysvektorikenttä, mutta GR:ssä olisin varovainen tulkitsemaan gravitaation kiihtyvyyskentäksi.

[Eusa]

Newtonin painovoimassa on kyllä kiihtyvyysvektorikenttä, mutta GR:ssä olisin varovainen tulkitsemaan gravitaation kiihtyvyyskentäksi.

https://ar5iv.labs.arxiv.org/html/1108.5486

Löysinpä asiaa noista tidal-jännitteiden tuottamista itseiskiihtyvyyksistä. Tuossa on päästy samaan suuntaan kuin omissa löydöissäni. Tidal-kiihtyvyyskenttäkin mainittu. Kip näyttää olleen mukana ja hieman oudohkosti artikkelin loppu valuu gravitaatioaaltojen pariin.

Tiedän, että kiihtyvyyskenttäteemassa päästään kyllä vielä kovastikin syvemmälle...

[Eusa]

Tarkastellaan kappaletta kiertoradalla. Unohdetaan, että nopeudella voisi selittää ohiputoamisena. Integroidaan vuorovesikiihtyvyyttä aika-avaruuden muuttuvista geodeeseista paikallisfysiikaksi. Huomataan, että saadaan ulospäin "pintakiihtyvyys", joka vaikutusvoimakkuudeltaan vastaa kaarevuuden aiheuttamaa paikan 2. derivaattaa kentän dominanttikeskiön suhteen. Ilmankos kappale säilyttää keskimääräisen etäisyytensä keskiöön.

Sovelletaan tidal-jännityksistä kertyvää pintakiihtyvyyttä kentän dominanttikappaleeseen. Huomataan, että kappaleen pinnalle saadaan oikea pintakiihtyvyys sen omien geodeesien perusteella.

Näin käsitellään fysikaalisia tapahtumia ilman inertiaalikoordinaatistovalintoja eli nopeuksia ja löydetään vuorovaikutuskiihtyvyydet myös yleisen suhteellisuusteorian vapaan putoamisen poluilta.

[QS]

Newtonin painovoimassa on kyllä kiihtyvyysvektorikenttä, mutta GR:ssä olisin varovainen tulkitsemaan gravitaation kiihtyvyyskentäksi.

https://ar5iv.labs.arxiv.org/html/1108.5486

Löysinpä asiaa noista tidal-jännitteiden tuottamista itseiskiihtyvyyksistä.

Mielestäni artikkelissa tarkastellaan kahden testikappaleen välistä suhteellista kiihtyvyyttä. Testikappaleet etenevät geodeesia, joten niiden itseiskiihtyvyydet ovat nolla.