Kiihtyvyyden merkitys kaksosparadoksissa

[QS]

Eri käyriä seuraavien kellojen vertailu on mahdollista vain, kun ne kohtaavat toisensa tapahtumassa A, ja myöhemmin jälleen tapahtumassa B. Laakeassa avaruudessa tämä ei ole välttämätöntä, mutta yleisessä suhteellisuusteoriassa avaruudellisesti eroteltujen kellojen vertailu ei ole mahdollista.

Vaikka suhteellisuusteoria on yli 100 vuotias, niin tänä päivänkin kiihtyvyyden merkitys ikääntymiseroon aiheuttaa keskustelua. Eräs perustelu on, että ilman kiihtyvyyttä liikkuva kello ja vertailukello eivät palaudu samaan avaruudelliseen paikkaan. Tämä ei ole kestävä perustelu, sillä kaarevassa avaruudessa palautus on mahdollinen ilman kiihtyvyyttä. Myös laakean avaruuden eräät epätriviaalit topologiat mahdollistavat palautuksen ilman kiihtyvyyttä.

En sisäistä tätä "paluuta samaan paikkaan". Mielestäni paluu samaan paikkaan on pelkkä matemaattinen konsepti, eikä se ole mahdollista missään olosuhteissa. Ei ajan lisäksi myöskään missään muissa vapausasteissa.

Käytin kahta käsitettä: paikka ja tapahtuma. Tapahtuma-käsitteeseen sisältyy aikakomponentti. Esimerkiksi kädessäni on kaksi kelloa, $K1$ ja $K2$, joista $K1$ on kädessäni pysyvä vertailukello.

Heitän kellon $K2$ ylös päin tapahtumassa $A=(t_1,x,y,z)$, ja se putoaa takaisin käteeni tapahtumassa $B=(t_2,x,y,z)$. Tämä tarkoittaa sitä, että $K1$ ja $K2$ erkanevat tapahtumassa $A$, ja kohtaavat jälleen tapahtumassa $B$. Tässä vertailukellon $K1$:n mittaama aika on $t_2-t_1$.

Yleisessä suhteellisuusteoriassa kellojen mittaamien kokonaisaikojen vertailu on mahdollista vain, kun ne kohtaavat $A$:ssa ja myöhemmin jälleen $B$:ssä. Tämä on seuraus siitä, että kaarevassa avaruudessa ei ole olemassa samanaikaisuuden tasoa kahden avaruudellisesti erotellun paikan välillä. En nyt tältä istumalta keksi miten selittäisin arkijärjen käsitteillä, mutta koetan joskus keksiä.

Paikka-käsite sisältää vain avaruudellisen paikan $(x,y,z)$. "Palauttaminen samaan paikkaan" tarkoittaa sitä, että tullaan takaisin tuohon avaruudelliseen paikkaan, joka esimerkissä oli käteni avaruudellinen paikka. Tässä siis kellot ovat vierekkäin ja siinä pysyvät. Kyse ei olisi samaan paikkaan palauttamisesta, jos K1 vain ohittaisi käteni tiistaina ja K2 ohittaisi käteni keskiviikkona.

[Eusa]

Eri käyriä seuraavien kellojen vertailu on mahdollista vain, kun ne kohtaavat toisensa tapahtumassa A, ja myöhemmin jälleen tapahtumassa B. Laakeassa avaruudessa tämä ei ole välttämätöntä, mutta yleisessä suhteellisuusteoriassa avaruudellisesti eroteltujen kellojen vertailu ei ole mahdollista.

Vaikka suhteellisuusteoria on yli 100 vuotias, niin tänä päivänkin kiihtyvyyden merkitys ikääntymiseroon aiheuttaa keskustelua. Eräs perustelu on, että ilman kiihtyvyyttä liikkuva kello ja vertailukello eivät palaudu samaan avaruudelliseen paikkaan. Tämä ei ole kestävä perustelu, sillä kaarevassa avaruudessa palautus on mahdollinen ilman kiihtyvyyttä. Myös laakean avaruuden eräät epätriviaalit topologiat mahdollistavat palautuksen ilman kiihtyvyyttä.

En sisäistä tätä "paluuta samaan paikkaan". Mielestäni paluu samaan paikkaan on pelkkä matemaattinen konsepti, eikä se ole mahdollista missään olosuhteissa. Ei ajan lisäksi myöskään missään muissa vapausasteissa.

Käytin kahta käsitettä: paikka ja tapahtuma. Tapahtuma-käsitteeseen sisältyy aikakomponentti. Esimerkiksi kädessäni on kaksi kelloa, $K1$ ja $K2$, joista $K1$ on kädessäni pysyvä vertailukello.

Heitän kellon $K2$ ylös päin tapahtumassa $A=(t_1,x,y,z)$, ja se putoaa takaisin käteeni tapahtumassa $B=(t_2,x,y,z)$. Tämä tarkoittaa sitä, että $K1$ ja $K2$ erkanevat tapahtumassa $A$, ja kohtaavat jälleen tapahtumassa $B$. Tässä vertailukellon $K1$:n mittaama aika on $t_2-t_1$.

Yleisessä suhteellisuusteoriassa kellojen mittaamien kokonaisaikojen vertailu on mahdollista vain, kun ne kohtaavat $A$:ssa ja myöhemmin jälleen $B$:ssä. Tämä on seuraus siitä, että kaarevassa avaruudessa ei ole olemassa samanaikaisuuden tasoa kahden avaruudellisesti erotellun paikan välillä. En nyt tältä istumalta keksi miten selittäisin arkijärjen käsitteillä, mutta koetan joskus keksiä.

Paikka-käsite sisältää vain avaruudellisen paikan $(x,y,z)$. "Palauttaminen samaan paikkaan" tarkoittaa sitä, että tullaan takaisin tuohon avaruudelliseen paikkaan, joka esimerkissä oli käteni avaruudellinen paikka. Tässä siis kellot ovat vierekkäin ja siinä pysyvät. Kyse ei olisi samaan paikkaan palauttamisesta, jos K1 vain ohittaisi käteni tiistaina ja K2 ohittaisi käteni keskiviikkona.

Eipä ole ei ole olemassa samanpaikkaisuuden linjaakaan kahden koordinaattiajallisesti erotellun hetken välillä.

[x Poistettu käyttäjä x]

Eri käyriä seuraavien kellojen vertailu on mahdollista vain, kun ne kohtaavat toisensa tapahtumassa A, ja myöhemmin jälleen tapahtumassa B. Laakeassa avaruudessa tämä ei ole välttämätöntä, mutta yleisessä suhteellisuusteoriassa avaruudellisesti eroteltujen kellojen vertailu ei ole mahdollista.

Vaikka suhteellisuusteoria on yli 100 vuotias, niin tänä päivänkin kiihtyvyyden merkitys ikääntymiseroon aiheuttaa keskustelua. Eräs perustelu on, että ilman kiihtyvyyttä liikkuva kello ja vertailukello eivät palaudu samaan avaruudelliseen paikkaan. Tämä ei ole kestävä perustelu, sillä kaarevassa avaruudessa palautus on mahdollinen ilman kiihtyvyyttä. Myös laakean avaruuden eräät epätriviaalit topologiat mahdollistavat palautuksen ilman kiihtyvyyttä.

En sisäistä tätä "paluuta samaan paikkaan". Mielestäni paluu samaan paikkaan on pelkkä matemaattinen konsepti, eikä se ole mahdollista missään olosuhteissa. Ei ajan lisäksi myöskään missään muissa vapausasteissa.

Käytin kahta käsitettä: paikka ja tapahtuma. Tapahtuma-käsitteeseen sisältyy aikakomponentti. Esimerkiksi kädessäni on kaksi kelloa, $K1$ ja $K2$, joista $K1$ on kädessäni pysyvä vertailukello.

Heitän kellon $K2$ ylös päin tapahtumassa $A=(t_1,x,y,z)$, ja se putoaa takaisin käteeni tapahtumassa $B=(t_2,x,y,z)$. Tämä tarkoittaa sitä, että $K1$ ja $K2$ erkanevat tapahtumassa $A$, ja kohtaavat jälleen tapahtumassa $B$. Tässä vertailukellon $K1$:n mittaama aika on $t_2-t_1$.

Yleisessä suhteellisuusteoriassa kellojen mittaamien kokonaisaikojen vertailu on mahdollista vain, kun ne kohtaavat $A$:ssa ja myöhemmin jälleen $B$:ssä. Tämä on seuraus siitä, että kaarevassa avaruudessa ei ole olemassa samanaikaisuuden tasoa kahden avaruudellisesti erotellun paikan välillä. En nyt tältä istumalta keksi miten selittäisin arkijärjen käsitteillä, mutta koetan joskus keksiä.

Paikka-käsite sisältää vain avaruudellisen paikan $(x,y,z)$. "Palauttaminen samaan paikkaan" tarkoittaa sitä, että tullaan takaisin tuohon avaruudelliseen paikkaan, joka esimerkissä oli käteni avaruudellinen paikka. Tässä siis kellot ovat vierekkäin ja siinä pysyvät. Kyse ei olisi samaan paikkaan palauttamisesta, jos K1 vain ohittaisi käteni tiistaina ja K2 ohittaisi käteni keskiviikkona.

Voit myös pyöritellä yhtälöitä jos haluat kommunikoida niin. Googletan sitten asiaa sen mukaan ja yritän tulkita. Riittää jos paiskot väliotsikoita vanhaan tyyliin mihin mikäkin yhtälö viittaa, ja mitä olet tekemässä.
Esimerkiksi tämän ketjun aloitus on ainakin ylätasolla harrastelijankin seurattavissa, kun vähän paneutuu. Ja pitäähän sitä jotain haastettakin olla ja oppia uutta.
Olen täysin tietoinen että sanallinen kuvaus ei riitä, kun tullaan tietylle rajalle tarkastelussa.

Yritän silti kuvata nopsaan sanallisesti ja ylimalkaan mistä en saa kiinni:
Aloituksessasi minua hämmenttää edelleen jotenkin käyttämäsi perustelut. Esimerkiksi lähtönopes ja origon ohitusnopeus, kun voivat olla myös seurausta kiihtyvyydestä. 
Yksityiskohta jota en sisäistä on se, että otat tavallaan hetkellisen nopeuden 'v' irti kokonaisuudesta kolmessa kohtaa, lähdössä, yläkuolokohdassa ja kun palataan origoon. Tämä on kuitenkin vain, kuten itsekin kuvaat, kiihtyvässä liikeessä olevan kappaleen matemaattinen nopeus kyseisellä ajan hetkellä. 
Tämä on mielestäni aivan oikein koordinaatiston näkökulmasta. Niin tuo valitsemasi koordinaatisto toimii. Mutta tämä ei mielestäni riitä tulkintoihin siitä, aiheuttavatko kiihtyvyyden tai nopeuden suuruudet itsessään - kellojen käyntinopeuden eroja.

Jos osaisin pyöräyttää tästä nopeasti jatkot, yrittäisin jotenkin tiputtaa nopeuden pois tarkastelusta. 
Koska periaateessa tasaista nopeutta ei tässä yhteydessä ole. On vain kiihtyvyyttä ja matemaattista keskinopeutta.
Käyttäisin pelkkää kiihtyvyyttä ja yrittäisin jotenkin keplotella tästä eteenpäin.
Esim. niin, että tarkastelisin polkuja joita ilmaan heitetty kappale käyttää. Ja tutkisin, että vaikuttaako kellojen käyntinopeuteen se, kun polulla tapahtuva nopeuden muutosvaihtelu ajan suhteen alkaa lähestyä nollaa. Eli mitä tapahtuu lähestyttäessä pistettä jossa kiihtyvyys katoaa. Pitäen siis tietysti matemaattisen keskinopeuden vakiona.    

Voi olla että aloituksessa on näin tehtykin, mutta se on teoreettisesti sitten jotenkin niin etäällä tai sellaisen nurkan takana, että en suoraan havaitse sen yhteyttä perusteluihin.

[Eusa]

Ikääntyminen erkaantuu siinä, kun kappalevalinta vaihtuu. Niin kauan kun tarkastellaan suljetun järjestelmän kappaletta, se ikääntyy muiden vastaavien suljettujen järjestelmien suhteen samantahtisesti.

[QS]

Vastaan vertauskuvilla. Kello on aika-avaruuden matkamittari, joka mittaa aika-avaruudessa kuljetun polun pituutta. Auton matkamittari tekee saman hitaiden nopeuksien ja energioiden euklidisessa avaruudessa, joskin eri mittayksiköt.

Yritän silti kuvata nopsaan sanallisesti ja ylimalkaan mistä en saa kiinni:
Aloituksessasi minua hämmenttää edelleen jotenkin käyttämäsi perustelut. Esimerkiksi lähtönopes ja origon ohitusnopeus, kun voivat olla myös seurausta kiihtyvyydestä.

Kun ajan autolla edestakaisen matkan, kertyy matkamittariin lukema. Lukema ei riipu kiihtyydestä, jonka auton on menneisyydessä kokenut. Ei siis ole merkitystä millä kiihtyvyydellä se on Toyotan tehtaan porteista tullut, tai minun pihalleni päätynyt.

Kuljettu matka riippuu vain auton nopeusfunktiosta kyseisellä edestakaisella matkalla.

Sama pätee kellolle aika-avaruudessa.

Yksityiskohta jota en sisäistä on se, että otat tavallaan hetkellisen nopeuden 'v' irti kokonaisuudesta kolmessa kohtaa, lähdössä, yläkuolokohdassa ja kun palataan origoon. Tämä on kuitenkin vain, kuten itsekin kuvaat, kiihtyvässä liikeessä olevan kappaleen matemaattinen nopeus kyseisellä ajan hetkellä.

Tämä on mielestäni aivan oikein koordinaatiston näkökulmasta. Niin tuo valitsemasi koordinaatisto toimii. Mutta tämä ei mielestäni riitä tulkintoihin siitä, aiheuttavatko kiihtyvyyden tai nopeuden suuruudet itsessään - kellojen käyntinopeuden eroja.

Jos tiedetään auton kiihtyvyys, mutta ei nopeutta, on mahdoton laskea kuljettu matka halutulla välillä. On tunnettava alkunopeus, josta voidaan laskea nopeus myöhemmillä ajanhetkillä (mahdolliseseti kiihtyvyyden funktiona), ja tästä saadaan sitten kuljettu matka.

Sama pätee kellolle aika-avaruudessa.

Jos osaisin pyöräyttää tästä nopeasti jatkot, yrittäisin jotenkin tiputtaa nopeuden pois tarkastelusta.

Nopeusfunktio on tavalla tai toisella muodostettava. Vasta sen jälkeen kellon mittaama kokonaisaika, tai auton kulkema kokonaismatka, voidaan laskea.

[Eusa]

Vastaan vertauskuvilla. Kello on aika-avaruuden matkamittari, joka mittaa aika-avaruudessa kuljetun polun pituutta. Auton matkamittari tekee saman hitaiden nopeuksien ja energioiden euklidisessa avaruudessa, joskin mittayksiköt hiukan eri.

Yritän silti kuvata nopsaan sanallisesti ja ylimalkaan mistä en saa kiinni:
Aloituksessasi minua hämmenttää edelleen jotenkin käyttämäsi perustelut. Esimerkiksi lähtönopes ja origon ohitusnopeus, kun voivat olla myös seurausta kiihtyvyydestä.

Kun ajan autolla edestakaisen matkan, niin matkamittariin kertyy lukema. Lukema ei riipu kiihtyydestä, jonka auton on joskus menneisyydessä kokenut. Ei siis ole merkitystä millä kiihtyvyydellä se on Toyotan tehtaan porteista ulos ajanut, tai minun pihalleni päätynyt.

Kuljettu matka riippuu vain tuohon matkaan käytetystä ajasta, ja auton nopeusfunktiosta kyseisellä matkalla.

Sama pätee kellolle aika-avaruudessa.

Yksityiskohta jota en sisäistä on se, että otat tavallaan hetkellisen nopeuden 'v' irti kokonaisuudesta kolmessa kohtaa, lähdössä, yläkuolokohdassa ja kun palataan origoon. Tämä on kuitenkin vain, kuten itsekin kuvaat, kiihtyvässä liikeessä olevan kappaleen matemaattinen nopeus kyseisellä ajan hetkellä.

Tämä on mielestäni aivan oikein koordinaatiston näkökulmasta. Niin tuo valitsemasi koordinaatisto toimii. Mutta tämä ei mielestäni riitä tulkintoihin siitä, aiheuttavatko kiihtyvyyden tai nopeuden suuruudet itsessään - kellojen käyntinopeuden eroja.

Jos tiedetään auton kiihtyvyys, mutta ei nopeutta, niin on mahdoton laskea kuljettu matka halutulla välillä. On tunnettava alkunopeus, josta voidaan laskea nopeus myöhemmillä ajanhetkillä (mahdolliseseti kiihtyvyyden funktiona), ja tästä saadaan sitten kuljettu matka.

Sama pätee kellolle aika-avaruudessa.

Jos osaisin pyöräyttää tästä nopeasti jatkot, yrittäisin jotenkin tiputtaa nopeuden pois tarkastelusta.

Nopeusfunktio on tavalla tai toisella muodostettava. Vasta sen jälkeen kellon mittaama kokonaisaika voidaan laskea.

Nyt kyllä tulee mieleen vanha kunnon Korant tällaisista yhteismitattomista analogioista.

Ikääntyminen tapahtuu itse kappaleessa, auton kulkema matka ei. Parempi vertauskuva olisi polttoainemittari kuin matkamittari.

Voisi vasemman ja oikean puolen renkaille olla omat moottorinsa ja polttoaineen kulutuksen seuranta jne.

[QS]

Vastaan vertauskuvilla. Kello on aika-avaruuden matkamittari, joka mittaa aika-avaruudessa kuljetun polun pituutta. Auton matkamittari tekee saman hitaiden nopeuksien ja energioiden euklidisessa avaruudessa, joskin mittayksiköt hiukan eri.

Yritän silti kuvata nopsaan sanallisesti ja ylimalkaan mistä en saa kiinni:
Aloituksessasi minua hämmenttää edelleen jotenkin käyttämäsi perustelut. Esimerkiksi lähtönopes ja origon ohitusnopeus, kun voivat olla myös seurausta kiihtyvyydestä.

Kun ajan autolla edestakaisen matkan, niin matkamittariin kertyy lukema. Lukema ei riipu kiihtyydestä, jonka auton on joskus menneisyydessä kokenut. Ei siis ole merkitystä millä kiihtyvyydellä se on Toyotan tehtaan porteista ulos ajanut, tai minun pihalleni päätynyt.

Kuljettu matka riippuu vain tuohon matkaan käytetystä ajasta, ja auton nopeusfunktiosta kyseisellä matkalla.

Sama pätee kellolle aika-avaruudessa.

Yksityiskohta jota en sisäistä on se, että otat tavallaan hetkellisen nopeuden 'v' irti kokonaisuudesta kolmessa kohtaa, lähdössä, yläkuolokohdassa ja kun palataan origoon. Tämä on kuitenkin vain, kuten itsekin kuvaat, kiihtyvässä liikeessä olevan kappaleen matemaattinen nopeus kyseisellä ajan hetkellä.

Tämä on mielestäni aivan oikein koordinaatiston näkökulmasta. Niin tuo valitsemasi koordinaatisto toimii. Mutta tämä ei mielestäni riitä tulkintoihin siitä, aiheuttavatko kiihtyvyyden tai nopeuden suuruudet itsessään - kellojen käyntinopeuden eroja.

Jos tiedetään auton kiihtyvyys, mutta ei nopeutta, niin on mahdoton laskea kuljettu matka halutulla välillä. On tunnettava alkunopeus, josta voidaan laskea nopeus myöhemmillä ajanhetkillä (mahdolliseseti kiihtyvyyden funktiona), ja tästä saadaan sitten kuljettu matka.

Sama pätee kellolle aika-avaruudessa.

Jos osaisin pyöräyttää tästä nopeasti jatkot, yrittäisin jotenkin tiputtaa nopeuden pois tarkastelusta.

Nopeusfunktio on tavalla tai toisella muodostettava. Vasta sen jälkeen kellon mittaama kokonaisaika voidaan laskea.

Nyt kyllä tulee mieleen vanha kunnon Korant tällaisista yhteismitattomista analogioista.

Ikääntyminen tapahtuu itse kappaleessa, auton kulkema matka ei. Parempi vertauskuva olisi polttoainemittari kuin matkamittari.

Voisi vasemman ja oikean puolen renkaille olla omat moottorinsa ja polttoaineen kulutuksen seuranta jne.

Niin. Kellonkin sisään voi viritellä vaihtoehtoisia kelloja ja härveleitä.

Tässä on kyse kuljetusta matkasta tai mitatusta ajasta. Molemmat ovat käyrien pituuksia. Käytetyt välineet ovat vain asian hahmottamiseen tarkoitettuja.

[Eusa]

Vastaan vertauskuvilla. Kello on aika-avaruuden matkamittari, joka mittaa aika-avaruudessa kuljetun polun pituutta. Auton matkamittari tekee saman hitaiden nopeuksien ja energioiden euklidisessa avaruudessa, joskin mittayksiköt hiukan eri.

Yritän silti kuvata nopsaan sanallisesti ja ylimalkaan mistä en saa kiinni:
Aloituksessasi minua hämmenttää edelleen jotenkin käyttämäsi perustelut. Esimerkiksi lähtönopes ja origon ohitusnopeus, kun voivat olla myös seurausta kiihtyvyydestä.

Kun ajan autolla edestakaisen matkan, niin matkamittariin kertyy lukema. Lukema ei riipu kiihtyydestä, jonka auton on joskus menneisyydessä kokenut. Ei siis ole merkitystä millä kiihtyvyydellä se on Toyotan tehtaan porteista ulos ajanut, tai minun pihalleni päätynyt.

Kuljettu matka riippuu vain tuohon matkaan käytetystä ajasta, ja auton nopeusfunktiosta kyseisellä matkalla.

Sama pätee kellolle aika-avaruudessa.

Yksityiskohta jota en sisäistä on se, että otat tavallaan hetkellisen nopeuden 'v' irti kokonaisuudesta kolmessa kohtaa, lähdössä, yläkuolokohdassa ja kun palataan origoon. Tämä on kuitenkin vain, kuten itsekin kuvaat, kiihtyvässä liikeessä olevan kappaleen matemaattinen nopeus kyseisellä ajan hetkellä.

Tämä on mielestäni aivan oikein koordinaatiston näkökulmasta. Niin tuo valitsemasi koordinaatisto toimii. Mutta tämä ei mielestäni riitä tulkintoihin siitä, aiheuttavatko kiihtyvyyden tai nopeuden suuruudet itsessään - kellojen käyntinopeuden eroja.

Jos tiedetään auton kiihtyvyys, mutta ei nopeutta, niin on mahdoton laskea kuljettu matka halutulla välillä. On tunnettava alkunopeus, josta voidaan laskea nopeus myöhemmillä ajanhetkillä (mahdolliseseti kiihtyvyyden funktiona), ja tästä saadaan sitten kuljettu matka.

Sama pätee kellolle aika-avaruudessa.

Jos osaisin pyöräyttää tästä nopeasti jatkot, yrittäisin jotenkin tiputtaa nopeuden pois tarkastelusta.

Nopeusfunktio on tavalla tai toisella muodostettava. Vasta sen jälkeen kellon mittaama kokonaisaika voidaan laskea.

Nyt kyllä tulee mieleen vanha kunnon Korant tällaisista yhteismitattomista analogioista.

Ikääntyminen tapahtuu itse kappaleessa, auton kulkema matka ei. Parempi vertauskuva olisi polttoainemittari kuin matkamittari.

Voisi vasemman ja oikean puolen renkaille olla omat moottorinsa ja polttoaineen kulutuksen seuranta jne.

Niin. Kellonkin sisään voi viritellä vaihtoehtoisia kelloja ja härveleitä.

Tässä on kyse kuljetusta matkasta tai mitatusta ajasta. Molemmat ovat käyrien pituuksia. Käytetyt välineet ovat vain asian hahmottamiseen tarkoitettuja.

Tuijotat toteumaa ja sen laskutapaa; seurausta, et syytä.

[QS]

Vastaan vertauskuvilla. Kello on aika-avaruuden matkamittari, joka mittaa aika-avaruudessa kuljetun polun pituutta. Auton matkamittari tekee saman hitaiden nopeuksien ja energioiden euklidisessa avaruudessa, joskin mittayksiköt hiukan eri.

Yritän silti kuvata nopsaan sanallisesti ja ylimalkaan mistä en saa kiinni:
Aloituksessasi minua hämmenttää edelleen jotenkin käyttämäsi perustelut. Esimerkiksi lähtönopes ja origon ohitusnopeus, kun voivat olla myös seurausta kiihtyvyydestä.

Kun ajan autolla edestakaisen matkan, niin matkamittariin kertyy lukema. Lukema ei riipu kiihtyydestä, jonka auton on joskus menneisyydessä kokenut. Ei siis ole merkitystä millä kiihtyvyydellä se on Toyotan tehtaan porteista ulos ajanut, tai minun pihalleni päätynyt.

Kuljettu matka riippuu vain tuohon matkaan käytetystä ajasta, ja auton nopeusfunktiosta kyseisellä matkalla.

Sama pätee kellolle aika-avaruudessa.

Yksityiskohta jota en sisäistä on se, että otat tavallaan hetkellisen nopeuden 'v' irti kokonaisuudesta kolmessa kohtaa, lähdössä, yläkuolokohdassa ja kun palataan origoon. Tämä on kuitenkin vain, kuten itsekin kuvaat, kiihtyvässä liikeessä olevan kappaleen matemaattinen nopeus kyseisellä ajan hetkellä.

Tämä on mielestäni aivan oikein koordinaatiston näkökulmasta. Niin tuo valitsemasi koordinaatisto toimii. Mutta tämä ei mielestäni riitä tulkintoihin siitä, aiheuttavatko kiihtyvyyden tai nopeuden suuruudet itsessään - kellojen käyntinopeuden eroja.

Jos tiedetään auton kiihtyvyys, mutta ei nopeutta, niin on mahdoton laskea kuljettu matka halutulla välillä. On tunnettava alkunopeus, josta voidaan laskea nopeus myöhemmillä ajanhetkillä (mahdolliseseti kiihtyvyyden funktiona), ja tästä saadaan sitten kuljettu matka.

Sama pätee kellolle aika-avaruudessa.

Jos osaisin pyöräyttää tästä nopeasti jatkot, yrittäisin jotenkin tiputtaa nopeuden pois tarkastelusta.

Nopeusfunktio on tavalla tai toisella muodostettava. Vasta sen jälkeen kellon mittaama kokonaisaika voidaan laskea.

Nyt kyllä tulee mieleen vanha kunnon Korant tällaisista yhteismitattomista analogioista.

Ikääntyminen tapahtuu itse kappaleessa, auton kulkema matka ei. Parempi vertauskuva olisi polttoainemittari kuin matkamittari.

Voisi vasemman ja oikean puolen renkaille olla omat moottorinsa ja polttoaineen kulutuksen seuranta jne.

Niin. Kellonkin sisään voi viritellä vaihtoehtoisia kelloja ja härveleitä.

Tässä on kyse kuljetusta matkasta tai mitatusta ajasta. Molemmat ovat käyrien pituuksia. Käytetyt välineet ovat vain asian hahmottamiseen tarkoitettuja.

Tuijotat toteumaa ja sen laskutapaa; seurausta, et syytä.

Mielestäni sanoin selkeästi, että nopeus on tunnettava, jotta kuljettu matka voidaan yksikäsitteisesti määritellä.

Syy on se, että vain kiihtyvyyttä käyttämällä saadaan käyräparvi, jossa on ääretön määrä käyriä ja niillä ääretön määrä pituuksia.

[x Poistettu käyttäjä x]

Vastaan vertauskuvilla. Kello on aika-avaruuden matkamittari, joka mittaa aika-avaruudessa kuljetun polun pituutta. Auton matkamittari tekee saman hitaiden nopeuksien ja energioiden euklidisessa avaruudessa, joskin eri mittayksiköt.

Yritän silti kuvata nopsaan sanallisesti ja ylimalkaan mistä en saa kiinni:
Aloituksessasi minua hämmenttää edelleen jotenkin käyttämäsi perustelut. Esimerkiksi lähtönopes ja origon ohitusnopeus, kun voivat olla myös seurausta kiihtyvyydestä.

Kun ajan autolla edestakaisen matkan, kertyy matkamittariin lukema. Lukema ei riipu kiihtyydestä, jonka auton on menneisyydessä kokenut. Ei siis ole merkitystä millä kiihtyvyydellä se on Toyotan tehtaan porteista tullut, tai minun pihalleni päätynyt.

Kuljettu matka riippuu vain auton nopeusfunktiosta kyseisellä edestakaisella matkalla.

Sama pätee kellolle aika-avaruudessa.

Yksityiskohta jota en sisäistä on se, että otat tavallaan hetkellisen nopeuden 'v' irti kokonaisuudesta kolmessa kohtaa, lähdössä, yläkuolokohdassa ja kun palataan origoon. Tämä on kuitenkin vain, kuten itsekin kuvaat, kiihtyvässä liikeessä olevan kappaleen matemaattinen nopeus kyseisellä ajan hetkellä.

Tämä on mielestäni aivan oikein koordinaatiston näkökulmasta. Niin tuo valitsemasi koordinaatisto toimii. Mutta tämä ei mielestäni riitä tulkintoihin siitä, aiheuttavatko kiihtyvyyden tai nopeuden suuruudet itsessään - kellojen käyntinopeuden eroja.

Jos tiedetään auton kiihtyvyys, mutta ei nopeutta, on mahdoton laskea kuljettu matka halutulla välillä. On tunnettava alkunopeus, josta voidaan laskea nopeus myöhemmillä ajanhetkillä (mahdolliseseti kiihtyvyyden funktiona), ja tästä saadaan sitten kuljettu matka.

Sama pätee kellolle aika-avaruudessa.

Jos osaisin pyöräyttää tästä nopeasti jatkot, yrittäisin jotenkin tiputtaa nopeuden pois tarkastelusta.

Nopeusfunktio on tavalla tai toisella muodostettava. Vasta sen jälkeen kellon mittaama kokonaisaika, tai auton kulkema kokonaismatka, voidaan laskea.

Täytyy kyllä myöntää että en saa ihan kiinni.
Meille riittää tieto kappaleen kiihtyvyydestä kullakin ajan hetkellä ja voimme laskea siitä kaiken. Ajan, matkan, ja erilaisia matemaattisia keksinopeuksia haluamillemme aika- tai matka -väleille.
Yksikään Tojota ei aja elinkaarensa aikana hetkeäkään nopeudella 'v', vaan nopeus on pelkkä differentiaali-laskennan konsepti. Tojota on aina vain kiihtyvässä liikkeessä.
Siksi minusta pelkästään matemaattisesti määritellyn nopeuden käyttö todistelussa tässä kohtaa ei toimi. Siis jos pohditaan kiinteän massallisen kappaleen kokemaa ajan kulkua.

Ymmärrän kyllä, jos haluat vertailla kahden samalla matemaattisella keskinopeudella, mutta erilaisilla kiihtyvyyksillä saman reitin kulkeneiden kappaleiden kokemaa aikaa.
Mutta tässäkään mielestäni nopeudella ei ole muuta tekemistä todellisuuden kanssa, kuin matemaattisesti todentaa kiihtyvyyksistä muodostunutta etenemää, jotta laskelmat voidaan ylipäätään suorittaa. Kyseisellä nopeudella liikkumista ei kuitenkaan koskaan ole edes tapahtunut. 

Ainoa vakionopeus joka meillä on, on valonnopeus. Kaikki massalliset kappaleet (Tojotat mukaan lukien), ovat kiihtyvässä liikkeessä inertiaalikoordinaatistonsa sisällä.
Erilaiset koordinaatistotyökalut kuitenkin oikaisevat ja olettavat tasaisen nopeuden myös massallisille kappaleille tämän suljetun koordinaatistosysteemin puitteissa. Jotta niillä voidaan tehdä edes jonkinlaisia paikallisia laskutoimituksia, jotka ottavat huomioon ajan suhteellisuuden.