Fysiikan kaavalotto

[Disputator]

Lottokysymys:

Mihin liittyy kaava \(\delta W=0\) ?

Tähän voi liittyä useitakin oikeita vastauksia riippuen mistä fysiikan alasta on kysymys..

Termodynamiikan suuntaan tuo houkuttelee. Kyseessä lienee systeemin ympäristöönsä tekemä infinitesimaali työ, joka tässä nolla.

Mielestäni δ-notaatio esiintyy muissa kuin tilamuuttujissa, ja sillä tarkoitetaan suureen arvon muutosta. Esimerkiksi tuo infinitesimaali työ määriteltäisiin \(\delta W= - p dV\), missä tilamuuttujassa V normaali differentiaali.

Tosin periaatteessa notaationa kyseessä voisi olla ylipäänsä W:n variaatio.

Kyllä, termodynamiikassa esiinty juuri tuolllainen notaatio, vaikka ensisijaisesti ajattelin jotain muuta, kun sain idean tähän lottokysymykseen. Termodynamiikka on hyvä esimerkki tuosta käsitteellisestä erosta, josta alla yleisesti.

Tuossa kun sanot, että: Mielestäni δ-notaatio esiintyy muissa kuin tilamuuttujissa, ja sillä tarkoitetaan suureen arvon muutosta., niin tavallaan ei ole olemassa (yleensä) tilafunktiota W, jonka muutos \(\delta W\) olisi.

Tässä on sellainen hienovarainen pointti, että jos merkitään jonkun suureen X lisäystä/muutosta, niin yleensä kirjoitetaan \(\Delta \)X, kun on kyseessä suureen X äärellinen muutos tai dX, kun kyseessä on suureen X infinitesimaalinen muutos. Notaatio tavallaan implisiittisesti implikoi että on olemassa funktio X =X(muuttujalista), jonka muutos olisi dX, jonka tosin kyllä varmasti tiedätkin, mutta kirjoitin nyt tähän.

Kun kirjoitit, että kyseessä on W:n variaatio, sekin on oikein (fysiikan notaatioissa), esimerkiksi se Lagrangen funktion L variaatio \(\delta\)L, jossain symmetria/säilymislakitarkasteluissa, ja se ei ole mielestäni sama asia kuin dL, koska edellinen laskee funktion L muutosta kun systeemin rataa/kenttää varioidaan ja jälkimmäinen vain koordinaateista/kentistä riippuvaa funktiota.

Heh, no en tiedä. Yksi hyvä esimerkki tulee klassisesta mekaniikasta, jossa oletetaan esimerkiksi, että kpl liikkuu voimakentässä

\(\mathbf{F}=\mathbf{F}(x,y,z) =(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z)),\)

silloin infinitesimaalinen voiman tekemä työ on kpl:n siirtymässä dr=(dx, dy, dz):

\(\delta W= \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=X dx+Y dy +Z dz\).

Jos voimakenttä F on konservatiivinen, on olemassa potentiaalifunktio V, jolle pätee \(\delta\) W = -dV. Yleensä kyllä monessa esityksessä tässä pannaan mutkat suoriksi ja kirjoitetaan dW=-dV, joka siis implikoi että on olemassa funktio W, jonka differentiaali on dW. No niin onki tavallaan, W=-V, potentiaali, mutta silloin hämärtyy se potentiaalin ja työn ero.

Jos voimakenttä F ei ole konservatiivinen, niin silloin ei ole olemassa potentiaalifunktiota V ja työn lauseketta ei voi "integroida" vaan paras mitä voidaan kirjoittaa on juuri:

\(\delta W= \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=X dx+Y dy +Z dz\).

[Disputator]

\(\mu\left(\frac{a}{a_0}\right) \cdot a = \frac{GM}{r^2}\)
Laitetaas tuollainen lotto vetämään kun tästä aiheesta on ollut viime aikoina kovasti pöhinää.

Jeps, tämä liittyy vaihtoehtoisiin hypoteeseihin pimeän aineen sijasta, aikoinaan 30-luvulla jo havaittiin galaksien rotaatiokäyrissä poikkeama Newtonin mekaniikan mukaisiin käyriin.

Tuo kaava on siis modifoidun Newtonin mekaniikan (MOND) mukainen kaava, missä \(\mu(x)\) on toistaiseksi tuntematon funktio, jolle pätee:

\(\mu(x)\approx 1\) kun \(x>>1\)

ja

\(\mu(x)\approx x\) kun \(x<<1\).

Funktion \(\mu \) muuttujana on kiihtyvyyden \(a\) suhde tuntemattomaan luonnonvakioon \(a_0\), jolla myös on kiihtyvyyden yksiköt. Newtonin mekaniikka vastaa tuota ensimmäistä kaavaa, jossa kiihtyvyydet eivät ole "pieniä" ja MOND:in mukainen korjaus näkyy vain kun kiihtyvyydet ovat "pieniä" .

Henkilökohtaisesti en ole oikein vakuuttunut MOND-kehitelmistä.

Lottokysymys:

Mihin liittyy kaava \(\delta W=0\) ?

Tähän voi liittyä useitakin oikeita vastauksia riippuen mistä fysiikan alasta on kysymys..

Juu MOND se hyvinkin. Sain idean mokomaan tästä kun siitä pöhistään nyt jokapuolella:
https://iopscience.iop.org/article/10.3 ... 357/ace101

Ei vakuuta kyllä minuakaan ainakaan vielä.

Tarkoittaisiko tuo sinun kaava että tehdyn työn muutos on nolla?

Sillä on tosiaankin tekemistä työn W kanssa (voi sillä olla muitakin merkityksiä, jota en tiedä). Mitä tarkoittaa työn muutos? Onko se sama kuin melkoisen samalta näyttävä kaava \(dW=0\) ?

No juu näiden kanssa saa olla kyllä tarkkana. Se ensimmäinen lienee sopii ainakin tasapainotilanteeseen. En ole kyllä näissä hyvä.

Tämä oli oikeastaan se, mitä alunperin lottokysymykselläni tavoittelin, kyseessä on siis mekaniikassa ja erityisesti insinöörien opeissa tunnettu virtuaalisen työn periaate, jolla voidaan enemmän tai vähemmän helposti johtaa ehtoja, joilla systeemi on tasapainossa eli liikkumaton tms.

Periaatteen etu on siinä, että kun tarkastellaan mekaanisia systeemejä, joille on annettu rajoite-ehtoja ja kysytään, milloin systeemi on tasapainossa, niin Newtonin lakien mukaan niiden johtaminen käy hankalaksi, koska rajoite-ehdot tuovat mukanaan systeemiin voimia, jotka ovat monesti perus-Newtonin mekaniikan ulkopuolella. Rajoitteista johtuvat voimat ovat monesti sellaisia, että esimerkiksi voiman ja vastavoiman laki ei toteudu sellaisenaan. Virtuaalisen työn periaate \(\delta\)W=0 on sellainen, että se eliminoi nämä epä-newtoniaaliset voimat tasapainotarkastelusta ja siten saadaan setti yhtälöitä, joiden toteutuessa systemi on tasapainossa.

Virtuaalisen työn periaatteen historia on hyvin pitkä (satoja vuosia) ja sillä on yhtymäkohtia myös muihin tuohon aikaan syntyneisiin mekaniikan variaatioperaatteisiin.

[QS]

...
Tässä on sellainen hienovarainen pointti, että jos merkitään jonkun suureen X lisäystä/muutosta, niin yleensä kirjoitetaan \(\Delta \)X, kun on kyseessä suureen X äärellinen muutos tai dX, kun kyseessä on suureen X infinitesimaalinen muutos. Notaatio tavallaan implisiittisesti implikoi että on olemassa funktio X =X(muuttujalista), jonka muutos olisi dX, jonka tosin kyllä varmasti tiedätkin, mutta kirjoitin nyt tähän.

Kun kirjoitit, että kyseessä on W:n variaatio, sekin on oikein (fysiikan notaatioissa), esimerkiksi se Lagrangen funktion L variaatio \(\delta\)L, jossain symmetria/säilymislakitarkasteluissa, ja se ei ole mielestäni sama asia kuin dL, koska edellinen laskee funktion L muutosta kun systeemin rataa/kenttää varioidaan ja jälkimmäinen vain koordinaateista/kentistä riippuvaa funktiota.

Heh, no en tiedä. Yksi hyvä esimerkki tulee klassisesta mekaniikasta, jossa oletetaan esimerkiksi, että kpl liikkuu voimakentässä

\(\mathbf{F}=\mathbf{F}(x,y,z) =(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z)),\)

silloin infinitesimaalinen voiman tekemä työ on kpl:n siirtymässä dr=(dx, dy, dz):

\(\delta W= \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=X dx+Y dy +Z dz\).

Jos voimakenttä F on konservatiivinen, on olemassa potentiaalifunktio V, jolle pätee \(\delta\) W = -dV. Yleensä kyllä monessa esityksessä tässä pannaan mutkat suoriksi ja kirjoitetaan dW=-dV, joka siis implikoi että on olemassa funktio W, jonka differentiaali on dW. No niin onki tavallaan, W=-V, potentiaali, mutta silloin hämärtyy se potentiaalin ja työn ero.

Jos voimakenttä F ei ole konservatiivinen, niin silloin ei ole olemassa potentiaalifunktiota V ja työn lauseketta ei voi "integroida" vaan paras mitä voidaan kirjoittaa on juuri:

\(\delta W= \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=X dx+Y dy +Z dz\).

Totta, unohdin virtuaalisen työn. Ajattelin ensimmäisenä termodynamiikkaa. Nyt kun mekaniikan mainitsit, niin virtuaalisen työn δW notaatiokin on peräisin variaatiolaskennasta. Työ

\( W = \int_{r_0}^{r_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

voi olla polkuriippuva, missä polku pisteiden r₀ = r(t₀) ja r₁ = r(t₁) välissä vaihtelee. Sitten lausutaan variaatio δW ja laaditaan ehdot sille, että δW=0, mistä saadaan yleistetyt voimat jne.

Sivuseikkana tuli mieleeni vuosien takainen menneen tiedepalstan keskustelu kirjoittamastasi

\(\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=X dx+Y dy +Z dz\).

Tämähän tosiaan karkaa käsistä, kun esittää kuuluisan kysymyksen, että mikäs on sellainen vektoriavaruus, jossa pistetulo \(\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) on hyvin määrielty, mutta yhteenlasku \(\mathbf{F} + d\mathbf{r}\) on vailla järkeä.

Ehkä ei tähän yksityiskohtaan nyt tartuta, koska δW lienee jotain ihan muuta, jos tuohon suohon lähtisi tarpomaan.

Mutta joo, se on tosiaan δW termodynamiikassa saman kaltainen kuin mekaniikassa. Systeemin tekemä kokonaistyö

\(W = -\int_{P} pdV\),

saa eri arvoja, vaikka polun P alku- ja loppupiste olisivatkin samoja, mutta polku P näiden välillä vaihtelee.

[Disputator]

...
Tässä on sellainen hienovarainen pointti, että jos merkitään jonkun suureen X lisäystä/muutosta, niin yleensä kirjoitetaan \(\Delta \)X, kun on kyseessä suureen X äärellinen muutos tai dX, kun kyseessä on suureen X infinitesimaalinen muutos. Notaatio tavallaan implisiittisesti implikoi että on olemassa funktio X =X(muuttujalista), jonka muutos olisi dX, jonka tosin kyllä varmasti tiedätkin, mutta kirjoitin nyt tähän.

Kun kirjoitit, että kyseessä on W:n variaatio, sekin on oikein (fysiikan notaatioissa), esimerkiksi se Lagrangen funktion L variaatio \(\delta\)L, jossain symmetria/säilymislakitarkasteluissa, ja se ei ole mielestäni sama asia kuin dL, koska edellinen laskee funktion L muutosta kun systeemin rataa/kenttää varioidaan ja jälkimmäinen vain koordinaateista/kentistä riippuvaa funktiota.

Heh, no en tiedä. Yksi hyvä esimerkki tulee klassisesta mekaniikasta, jossa oletetaan esimerkiksi, että kpl liikkuu voimakentässä

\(\mathbf{F}=\mathbf{F}(x,y,z) =(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z)),\)

silloin infinitesimaalinen voiman tekemä työ on kpl:n siirtymässä dr=(dx, dy, dz):

\(\delta W= \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=X dx+Y dy +Z dz\).

Jos voimakenttä F on konservatiivinen, on olemassa potentiaalifunktio V, jolle pätee \(\delta\) W = -dV. Yleensä kyllä monessa esityksessä tässä pannaan mutkat suoriksi ja kirjoitetaan dW=-dV, joka siis implikoi että on olemassa funktio W, jonka differentiaali on dW. No niin onki tavallaan, W=-V, potentiaali, mutta silloin hämärtyy se potentiaalin ja työn ero.

Jos voimakenttä F ei ole konservatiivinen, niin silloin ei ole olemassa potentiaalifunktiota V ja työn lauseketta ei voi "integroida" vaan paras mitä voidaan kirjoittaa on juuri:

\(\delta W= \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=X dx+Y dy +Z dz\).

Totta, unohdin virtuaalisen työn. Ajattelin ensimmäisenä termodynamiikkaa. Nyt kun mekaniikan mainitsit, niin virtuaalisen työn δW notaatiokin on peräisin variaatiolaskennasta. Työ

\( W = \int_{r_0}^{r_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

voi olla polkuriippuva, missä polku pisteiden r₀ = r(t₀) ja r₁ = r(t₁) välissä vaihtelee. Sitten lausutaan variaatio δW ja laaditaan ehdot sille, että δW=0, mistä saadaan yleistetyt voimat jne.

Kyllä, tuo notaatio esiintyy variaatiolaskennassa. Olen aina tykännyt variaatiolaskennasta sovelluksineen

Sivuseikkana tuli mieleeni vuosien takainen menneen tiedepalstan keskustelu kirjoittamastasi

\(\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=X dx+Y dy +Z dz\).

Tämähän tosiaan karkaa käsistä, kun esittää kuuluisan kysymyksen, että mikäs on sellainen vektoriavaruus, jossa pistetulo \(\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) on hyvin määrielty, mutta yhteenlasku \(\mathbf{F} + d\mathbf{r}\) on vailla järkeä.

Ehkä ei tähän yksityiskohtaan nyt tartuta, koska δW lienee jotain ihan muuta, jos tuohon suohon lähtisi tarpomaan.

Muistan hämärästi, että tuosta on ollut juttua. Aihe ansaitsee oman ketjunsa ja olin nlaittamaisillani siitä sellaisen, mutta ei tänään. Kuitenkin, F on monesti kovariantti vektori, kuten myös d\(\mathbf{r}\), joten ne voidaan laskea yhteen, jos d\(\mathbf{r}\) tulkitaan 1-muodoksi, ,mutta jos se tulkitaan vektoriksi, niin sitten ei...

Mutta joo, se on tosiaan δW termodynamiikassa saman kaltainen kuin mekaniikassa. Systeemin tekemä kokonaistyö

\(W = -\int_{P} pdV\),

saa eri arvoja, vaikka polun P alku- ja loppupiste olisivatkin samoja, mutta polku P näiden välillä vaihtelee.

juu, sama idea.

Nyt tulee ultimaatti kaava, joka ei kuitenkaan ole fysiiikkaa vaan tämä tulee matematiikasta ja melkoisen korkealentoisesta sellaisesta, oletukset:

X,Y,Z ovat joukkoja ja määritellään ensin joukko:

\(X^Y \).

Kaavalottokysymys 1: mitä tuo ylläoleva tarkoittaa (tämä on ei ole se ultimaattinen kysymys ja ihan tiedettävissä jos on nähnyt erilaisia notaatioita)

Kaavalottokysymys 2, mitä ihmettä tämä allaoleva oikein yrittää selittää (ultimate challence):

\(Z^{X\times Y}=(Z^Y)^X\).

Kaava on oudolla tavalla sama kuin sopivien reaalilukujen (tai positiivisten kokonaislukujen) x,y,z potenssisääntö \(z^{xy}=(z^y)^x\).

Joo, hieman abstraktia settiä juu mutta ottaa muutaman olusen, niin kyllä se siitä..

[QS]

Nyt tulee ultimaatti kaava, joka ei kuitenkaan ole fysiiikkaa vaan tämä tulee matematiikasta ja melkoisen korkealentoisesta sellaisesta, oletukset:

X,Y,Z ovat joukkoja ja määritellään ensin joukko:

\(X^Y \).

Kaavalottokysymys 1: mitä tuo ylläoleva tarkoittaa (tämä on ei ole se ultimaattinen kysymys ja ihan tiedettävissä jos on nähnyt erilaisia notaatioita)

Kaavalottokysymys 2, mitä ihmettä tämä allaoleva oikein yrittää selittää (ultimate challence):

\(Z^{X\times Y}=(Z^Y)^X\).

Kaava on oudolla tavalla sama kuin sopivien reaalilukujen (tai positiivisten kokonaislukujen) x,y,z potenssisääntö \(z^{xy}=(z^y)^x\).

Joo, hieman abstraktia settiä juu mutta ottaa muutaman olusen, niin kyllä se siitä..

Jossain fysiikan teoksessakin olen nähnyt notaation, ainakin luulen samaksi. Tuo X^Y tarkoittaa kaikkia kuvauksia f joukosta Y joukkoon X. Tässä siis kuvaus f: Y → X.

Kun luonnolliset luvut ℕ = {0,1,2,3,...} määritellään ordinaalilukuina

0 := ∅
1 := {∅}
2 := {{∅}} = { ∅, {∅} } = {0,1}
3 := {{{∅}}} = { ∅, {∅}, {∅, {∅}} } = {0,1,2}
.... ,

niin esimerkiksi X³ tarkoittaa kaikkia kuvauksia f: 3 → X. Tässä 3 on siis joukko {0,1,2}.

Näillä kuvauksilla f saadaan joukon X kolmikot (a,b,c), missä a,b,c ∈ X.

2^X tarkoittaa kaikkia kuvauksia f: X → 2, missä X:n alkot kuvataan joukkoon {0,1}. Tässä tuo f on indikaattorifunktio (arvo on 0 tai 1), joka valitsee joukosta X ne alkiot, jotka kuuluvat X:n johonkin osajoukkoon.

Nyt kaikki mahdolliset kuvaukset f sisältävät siten kaikki mahdolliset kuvaukset, jotka tuottavat X:n osajoukot. Tämä taas tarkoittaa samaa kuin X:n potenssijoukko. Siksi potenssijoukolle käytetään joskus notaatiota 2^X.

Jälkimmäinen ultimaatti \(Z^{X\times Y}\) tarkoittaa kaikkia kuvauksia \(f: X \times Y \to Z\). Tästä en osaa antaa esimerkkiä, mutta tuollaisen määritelmän olen nähnyt. Jotenkin voidaan osoittaa, että \(Z^{X\times Y}=(Z^Y)^X\).

Saisko tästä muutaman pisteen, vaikka ei täydellinen vastaus ollut? ;D

[Disputator]

Nyt tulee ultimaatti kaava, joka ei kuitenkaan ole fysiiikkaa vaan tämä tulee matematiikasta ja melkoisen korkealentoisesta sellaisesta, oletukset:

X,Y,Z ovat joukkoja ja määritellään ensin joukko:

\(X^Y \).

Kaavalottokysymys 1: mitä tuo ylläoleva tarkoittaa (tämä on ei ole se ultimaattinen kysymys ja ihan tiedettävissä jos on nähnyt erilaisia notaatioita)

Kaavalottokysymys 2, mitä ihmettä tämä allaoleva oikein yrittää selittää (ultimate challence):

\(Z^{X\times Y}=(Z^Y)^X\).

Kaava on oudolla tavalla sama kuin sopivien reaalilukujen (tai positiivisten kokonaislukujen) x,y,z potenssisääntö \(z^{xy}=(z^y)^x\).

Joo, hieman abstraktia settiä juu mutta ottaa muutaman olusen, niin kyllä se siitä..

Jossain fysiikan teoksessakin olen nähnyt notaation, ainakin luulen samaksi. Tuo X^Y tarkoittaa kaikkia kuvauksia f joukosta Y joukkoon X. Tässä siis kuvaus f: Y → X.

Kun luonnolliset luvut ℕ = {0,1,2,3,...} määritellään ordinaalilukuina

0 := ∅
1 := {∅}
2 := {{∅}} = { ∅, {∅} } = {0,1}
3 := {{{∅}}} = { ∅, {∅}, {∅, {∅}} } = {0,1,2}
.... ,

niin esimerkiksi X³ tarkoittaa kaikkia kuvauksia f: 3 → X. Tässä 3 on siis joukko {0,1,2}.

Näillä kuvauksilla f saadaan joukon X kolmikot (a,b,c), missä a,b,c ∈ X.

2^X tarkoittaa kaikkia kuvauksia f: X → 2, missä X:n alkot kuvataan joukkoon {0,1}. Tässä tuo f on indikaattorifunktio (arvo on 0 tai 1), joka valitsee joukosta X ne alkiot, jotka kuuluvat X:n johonkin osajoukkoon.

Nyt kaikki mahdolliset kuvaukset f sisältävät siten kaikki mahdolliset kuvaukset, jotka tuottavat X:n osajoukot. Tämä taas tarkoittaa samaa kuin X:n potenssijoukko. Siksi potenssijoukolle käytetään joskus notaatiota 2^X.

Jälkimmäinen ultimaatti \(Z^{X\times Y}\) tarkoittaa kaikkia kuvauksia \(f: X \times Y \to Z\). Tästä en osaa antaa esimerkkiä, mutta tuollaisen määritelmän olen nähnyt. Jotenkin voidaan osoittaa, että \(Z^{X\times Y}=(Z^Y)^X\).

Saisko tästä muutaman pisteen, vaikka ei täydellinen vastaus ollut? ;D

Ehdottomasti hyvin päätelty! Vain kylmäkiskoinen natsiopettaja antaisi tästä vähemmän kuin 5p/6p

Mun ultimate challenge olikin siis ihan ymmärrettävissä. Tuo kaava yrittää tarkoittaa, että nuo annetut kuvausavaruudet ovat isomorfisia, jota laiskasti merkitsin yhtäsuuruusmerkillä. Tuon todistus on ihan parin rivin juttu, mutta siinä kyllä hahmotuskyky joutuu koetukselle, että mitä siinä oikein sanotaan, laitan joskus näkyviin kun sen paremmin ymmärrän. Vähän samanlaista pyöritystä kuin vektoriavaruuden V vs. duaaliavaruuden V* ja operaattorivaruuden L(V,V) keskinäisten relaatioiden selvittelyä, tyyliin L(V,V) = V\(\otimes\)V* jne.

Tuon mun challengen tausta oli esimerkiksi vektoriavaruuksien U ja V tensoritulon U\(\otimes\)V määrittelyissä (esiintyy muuallakin, ainakin esimerkiksi topologiassa)

Tensoritulo voidaan määritellä usealla ekvivalentilla tavalla: fyysikon määritelmä on konkreettisin. Tuo mun antamani kaava esiintyy tilanteessa, jossa tensoritulo määritellään upottamalla vektoriavaruudet tiettyjen tilanteesta riippuvien funktioavaruuksien esim.\( X^Y\) sisään, juuri siten miten esimerkissäsi teitkin, 3 = {0,1,2} jolloin \(X^3\) on \(\mathbb{R}^3\). Tuo reaaliluvun merkintä on aika kökkö.

Sitten on se mielestäni vaativin tapa, jossa tensoritulo määritellään tietyn massiivisen laajan vektoriavaruuden tekijäavaruutena, konstruktio joka on sitten HC-matematiikkaa, jota ei halua käydä läpi, eikä oikeastaan tarvitsekkaan

[Eusa]

O(ε² ω² |x|²)

ε on amplitudi, ω taajuus ja |x| taitettu matka.

Mitäpä koitetaan ilmoittaa?

Laitetaan vielä samaan liittyvä vihje: (c²/G8π²) ε² ω².

[Varaktori]

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} \mu^2 \phi^2
$$
Laitetaanpa tämmöinen. Tekijän tietäen taas pienellä varauksella, mutta kaipa se oikein meni.

[Kvarkkivalo]

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} \mu^2 \phi^2
$$
Laitetaanpa tämmöinen. Tekijän tietäen taas pienellä varauksella, mutta kaipa se oikein meni.

Työstetäänkö tässä Lagrangen -mekaniikkaa, tai jotain sen suuntaista?

[Varaktori]

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} \mu^2 \phi^2
$$
Laitetaanpa tämmöinen. Tekijän tietäen taas pienellä varauksella, mutta kaipa se oikein meni.

Työstetäänkö tässä Lagrangen -mekaniikkaa, tai jotain sen suuntaista?

No juu oikea on suunta. Tästä minä sen hörhötin vähän eri muotoon:
$$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + \frac{1}{2} m^2 \phi^2
$$