Kommentoin tota sun viimeistä kirjoitusta myöhemmin, mutta minä olen kämmeltänyt niin paljon tämän akt/pas-asian kanssa, että ihan hävettää
. Asia on kuitenkin tärkeä, koska sama ajattelu esiintyy erilaisissa symmetria-asioissa, kuten vanhalla palstalla oli puhetta.Tehdään aktiivinen muunnos allaolevalla matriisilla:
\(\Lambda(\psi) = \begin{bmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi\\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\)
joka kohdistuu vektoriin:
\(X= x^0\hat{e_0}+x^1 \hat{e_1}\)
Silloin saadaan:
\(
\begin{align*}
\Lambda(\psi) X &= \begin{bmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi\\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^0\\x^1\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix} \cosh\psi\: x^0 + \sinh\psi\: x^1 \\ \sinh\psi\: x^0 +\cosh\psi\: x^1 \end{bmatrix}
&=x^0\begin{bmatrix} \cosh\psi\\ \sinh\psi\end{bmatrix}+x^1\begin{bmatrix} \sinh\psi\\ \cosh\psi\end{bmatrix}
\end{align*}
\)
Jos määritellään uudet kantavektorit (nämä käsittääkseni samat kuin Tungilla):
\(
\begin{align*}
\hat{e}_0'&=\begin{bmatrix} \cosh\psi\\ \sinh\psi\end{bmatrix}\\
\hat{e}_1'&=\begin{bmatrix} \sinh\psi\\ \cosh\psi\end{bmatrix}
\end{align*}
\)
saadaan:
\(
\Lambda(\psi) X = x^0\hat{e}_0'+x^1 \hat{e}_1'
\).
Okei, mitä nyt oikein saatiin aikaan. Vektoria X muutettiin aktiivisesti vektoriksi \(\Lambda(\psi) X\), jolloin sen komponentit vanhassa (kiertämättömässä) kannassa oli
\(\begin{bmatrix} \cosh\psi\: x^0 + \sinh\psi\: x^1 \\ \sinh\psi\: x^0 +\cosh\psi\: x^1 \end{bmatrix}\)
Jos tämä esitetään aktiivisesti kierretyssä kannassa tulos on ylläolevan mukaan:
\(x^0\hat{e}_0'+x^1 \hat{e}_1'\)
Tuolla on samat komponentit kuin alkuperäisellä kiertämättömällä vektorilla vanhassa kannassa.
Toi sama pitäisi mennä läpi sopivin muutoksin ihan tason rotaatioidenkin SO(2) kanssa.