No joo, onpas detalji. Kun katson Peskin & Schroederistä, niin nämä määritellään kirjan alkupuolella kuten nuo kirjoittamasi jälkimmäiset. Kirja totetaa perustelematta, että 3-dimensioisten muunnosten etumerkit ovat kuitenkin toisin päin, eli - ja +.Disputator kirjoitti: ↑25.8.2026, 20:55Iltaa!
Laitan tähän vähän päivitystä, en ole unohtanut mitenkään tätä ketjua, vaan kommentoin varmasti yksityiskohtaisemmin jatkossa.
Yhden pienen detalijn laitan tähän, johon kiinnitin huomiota eli Fourier-muunnos tässä kontekstissa. Asia on harmiton, mutta ehkä huomion arvoinen. Asia koskee allaolevaa:
Fourier-muunnos ei ole yksikäsitteinen, vaan eri lähteet määrittelevät muunnoksen hieman eri tavalla, koskien \( \pi\)-kertoimien sijoittelua Tässä sun esityksessä se on implisiittisesti valittu, mutta se valinta ei ole mitenkään pakollinen. Sulla on funktion \(f\) Fourier-muunnos \(\hat{f}\) määritelty implisiittisesti kaavalla:QS kirjoitti:Tässä muodossa \(G\):n Fourier muunnos on
\(\displaystyle G(x-y)=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\ e^{-ip(x-y)}\ \tilde G(p)\)
Käyttämällä \(\delta\)-funktion määritelmää
\(\displaystyle \delta^{(4)}(x-y)=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\ e^{-ip(x-y)}\)
saa edellä mainittu epähomogeeninen KG yhtälö muodon
\(-(p^2 - m^2) \tilde G(p) = -i\)
Tuosta saadaan suoraan Greenin funktion liikemääräesitys
\(\displaystyle \tilde G(p) = \frac{i}{p^2-m^2}\)
Paikkaesitys saadaan käänteisellä Fourier-muunnoksella
\(\displaystyle G(x,y) = \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p \frac{i\ e^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2}\)
\(\displaystyle \hat{f}(p) = \int d^4 x\: e^{-ipx} f(x)\)
ja käänteismuunnos vastaavasti:
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4 p\: e^{ipx} \hat{f}(p)\)
Huomaa noi eksponenttifunktiossa olevat merkit, jotka ei vastaa sun notaatiota. Yleensä funktion \(f(x)\) Fourier-muunnoksessa on eksponenttifunktiossa miinusmerkki ja vastaavassa käänteismuunnoksessa plusmerkki, mutta mikään ei kai estä määrittelemästä Fourier-muunnosta kaavoilla, joissa miinus/plus on vaihdettu:
\(\displaystyle \hat{f}(p) = \int d^4 x\: e^{ipx} f(x)\)
ja
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4 p\: e^{-ipx} \hat{f}(p)\).
P&S:n signatuurilla (+,-,-,-) 4-dim muunnos on
\(\displaystyle \hat{f}(p) = \int d^4 x\: e^{+ipx} f(x) = \int d^4 x\: e^{+i\ p^0 t}\ e^{-i\ \mathbf p \cdot \mathbf x}\ f(x)\)
ja vastaava käänteinen, jossa -merkki edessä. Tuosta edellisestä voidaan poimia 3-dim muunnoksen etumerkki, joka on tosiaan -, eli siis
\(\displaystyle \hat{f}(\mathbf p) = \int d^3 \mathbf x\: e^{-i\ \mathbf p \cdot \mathbf x} f(\mathbf x)\)
ja vastaavassa käänteisessä 3-dim integraalissa olisi +. Käänteinen 4-dim muunnos P&S:n etumerkillä on kirjoittamasi
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4 p\: e^{-ipx} \hat{f}(p) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4 p\: e^{-i\ p^0t}\ e^{+i\ \mathbf p \cdot \mathbf x} \hat{f}(p)\)
missä kulmataajuuden eksponentti on \(-i\ p^0t\) (negatiivinen kulmataajuus, hmm). Luvussa '2 Klein-Gordon field' kirjoitetaan kentän 3-dim esitys Fourier-muunnoksena (etumerkki 3-dim tapauksessa on +, ei -) seuraavasti
\(\displaystyle \phi(\mathbf x,t) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int d^3\mathbf p\ e^{+i\ \mathbf p \cdot \mathbf x}\ \tilde \phi(\mathbf p,t)\)
mikä tarkoittaa sitä, että \(t\) on kiinnitetty, tai parametri. Tämän jälkeen P&S käsittelee KG yhtälön tuolla saadulla 3-dim esityksellä. Jos tämän kuitenkin kirjoittaisi 4-dim Fourier-muunnoksena niin se olisi
\(\displaystyle \phi(x) = \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p \ e^{-i\ px}\ \tilde\phi(p)\)
missä jälleen kulmataajuuden eksponentti on \(-i\ p^0t\) (energia on aina \(p^0>0\)). Tästä seuraa mielestäni KG yhtälö
\((p^2-m^2)\tilde \phi(p) = 0\)
ja massakuori \( p^2=m^2\). Tämä on sama kuin mulla oli aloitusviestissä, että ehkä mulla oli alussa sama Fourier-konventio kuin Peskin & Schröderissä, eli tuo kirjoittamasi jälkimmäinen?
Myöhemmin kirjoitin \(G(x-y)\):lle 4-dim Fourier muunnoksen käsittääkseni myös P&S konventiolla (viimeisin sun viestin muunnoskaavoista)
\(\displaystyle G(x-y)=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\ e^{-ip(x-y)}\ \tilde G(p)\)
Katsoin Weinbergista, ja siinä 3-dim Fourier-muunnosten etumerkit ovat samat kuin P&S:ssä, mikä on erikoista kun Weinbergin signaguuri on eri. Tämä liittyy ehkä posit/negat kulmataajuuden käsittelyyn. Hmm