Greenin funktio, Feynmanin propagaattori, korrelaatiofunktio ja Wightman funktio

[QS]

Iltaa!

Laitan tähän vähän päivitystä, en ole unohtanut mitenkään tätä ketjua, vaan kommentoin varmasti yksityiskohtaisemmin jatkossa.

Yhden pienen detalijn laitan tähän, johon kiinnitin huomiota eli Fourier-muunnos tässä kontekstissa. Asia on harmiton, mutta ehkä huomion arvoinen. Asia koskee allaolevaa:

Tässä muodossa \(G\):n Fourier muunnos on

\(\displaystyle G(x-y)=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\ e^{-ip(x-y)}\ \tilde G(p)\)

Käyttämällä \(\delta\)-funktion määritelmää

\(\displaystyle \delta^{(4)}(x-y)=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\ e^{-ip(x-y)}\)

saa edellä mainittu epähomogeeninen KG yhtälö muodon

\(-(p^2 - m^2) \tilde G(p) = -i\)

Tuosta saadaan suoraan Greenin funktion liikemääräesitys

\(\displaystyle \tilde G(p) = \frac{i}{p^2-m^2}\)

Paikkaesitys saadaan käänteisellä Fourier-muunnoksella

\(\displaystyle G(x,y) = \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p \frac{i\ e^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2}\)

Fourier-muunnos ei ole yksikäsitteinen, vaan eri lähteet määrittelevät muunnoksen hieman eri tavalla, koskien \( \pi\)-kertoimien sijoittelua Tässä sun esityksessä se on implisiittisesti valittu, mutta se valinta ei ole mitenkään pakollinen. Sulla on funktion \(f\) Fourier-muunnos \(\hat{f}\) määritelty implisiittisesti kaavalla:

\(\displaystyle \hat{f}(p) = \int d^4 x\: e^{-ipx} f(x)\)

ja käänteismuunnos vastaavasti:

\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4 p\: e^{ipx} \hat{f}(p)\)

Huomaa noi eksponenttifunktiossa olevat merkit, jotka ei vastaa sun notaatiota. Yleensä funktion \(f(x)\) Fourier-muunnoksessa on eksponenttifunktiossa miinusmerkki ja vastaavassa käänteismuunnoksessa plusmerkki, mutta mikään ei kai estä määrittelemästä Fourier-muunnosta kaavoilla, joissa miinus/plus on vaihdettu:

\(\displaystyle \hat{f}(p) = \int d^4 x\: e^{ipx} f(x)\)

ja

\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4 p\: e^{-ipx} \hat{f}(p)\).

No joo, onpas detalji. Kun katson Peskin & Schroederistä, niin nämä määritellään kirjan alkupuolella kuten nuo kirjoittamasi jälkimmäiset. Kirja totetaa perustelematta, että 3-dimensioisten muunnosten etumerkit ovat kuitenkin toisin päin, eli - ja +.

P&S:n signatuurilla (+,-,-,-) 4-dim muunnos on

\(\displaystyle \hat{f}(p) = \int d^4 x\: e^{+ipx} f(x) = \int d^4 x\: e^{+i\ p^0 t}\ e^{-i\ \mathbf p \cdot \mathbf x}\ f(x)\)

ja vastaava käänteinen, jossa -merkki edessä. Tuosta edellisestä voidaan poimia 3-dim muunnoksen etumerkki, joka on tosiaan -, eli siis

\(\displaystyle \hat{f}(\mathbf p) = \int d^3 \mathbf x\: e^{-i\ \mathbf p \cdot \mathbf x} f(\mathbf x)\)

ja vastaavassa käänteisessä 3-dim integraalissa olisi +. Käänteinen 4-dim muunnos P&S:n etumerkillä on kirjoittamasi

\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4 p\: e^{-ipx} \hat{f}(p) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4 p\: e^{-i\ p^0t}\ e^{+i\ \mathbf p \cdot \mathbf x} \hat{f}(p)\)

missä kulmataajuuden eksponentti on \(-i\ p^0t\) (negatiivinen kulmataajuus, hmm). Luvussa '2 Klein-Gordon field' kirjoitetaan kentän 3-dim esitys Fourier-muunnoksena (etumerkki 3-dim tapauksessa on +, ei -) seuraavasti

\(\displaystyle \phi(\mathbf x,t) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int d^3\mathbf p\ e^{+i\ \mathbf p \cdot \mathbf x}\ \tilde \phi(\mathbf p,t)\)

mikä tarkoittaa sitä, että \(t\) on kiinnitetty, tai parametri. Tämän jälkeen P&S käsittelee KG yhtälön tuolla saadulla 3-dim esityksellä. Jos tämän kuitenkin kirjoittaisi 4-dim Fourier-muunnoksena niin se olisi

\(\displaystyle \phi(x) = \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p \ e^{-i\ px}\ \tilde\phi(p)\)

missä jälleen kulmataajuuden eksponentti on \(-i\ p^0t\) (energia on aina \(p^0>0\)). Tästä seuraa mielestäni KG yhtälö

\((p^2-m^2)\tilde \phi(p) = 0\)

ja massakuori \( p^2=m^2\). Tämä on sama kuin mulla oli aloitusviestissä, että ehkä mulla oli alussa sama Fourier-konventio kuin Peskin & Schröderissä, eli tuo kirjoittamasi jälkimmäinen?

Myöhemmin kirjoitin \(G(x-y)\):lle 4-dim Fourier muunnoksen käsittääkseni myös P&S konventiolla (viimeisin sun viestin muunnoskaavoista)

\(\displaystyle G(x-y)=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\ e^{-ip(x-y)}\ \tilde G(p)\)

Katsoin Weinbergista, ja siinä 3-dim Fourier-muunnosten etumerkit ovat samat kuin P&S:ssä, mikä on erikoista kun Weinbergin signaguuri on eri. Tämä liittyy ehkä posit/negat kulmataajuuden käsittelyyn. Hmm

[Disputator]

Iltapäivää!

No joo, onpas detalji. Kun katson Peskin & Schroederistä, niin nämä määritellään kirjan alkupuolella kuten nuo kirjoittamasi jälkimmäiset. Kirja totetaa perustelematta, että 3-dimensioisten muunnosten etumerkit ovat kuitenkin toisin päin, eli - ja +.

P&S:n signatuurilla (+,-,-,-) 4-dim muunnos on

\(\displaystyle \hat{f}(p) = \int d^4 x\: e^{+ipx} f(x) = \int d^4 x\: e^{+i\ p^0 t}\ e^{-i\ \mathbf p \cdot \mathbf x}\ f(x)\)

ja vastaava käänteinen, jossa -merkki edessä. Tuosta edellisestä voidaan poimia 3-dim muunnoksen etumerkki, joka on tosiaan -, eli siis
\(\displaystyle \hat{f}(\mathbf p) = \int d^3 \mathbf x\: e^{-i\ \mathbf p \cdot \mathbf x} f(\mathbf x)\)

ja vastaavassa käänteisessä 3-dim integraalissa olisi +. Käänteinen 4-dim muunnos P&S:n etumerkillä on kirjoittamasi

\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4 p\: e^{-ipx} \hat{f}(p) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4 p\: e^{-i\ p^0t}\ e^{+i\ \mathbf p \cdot \mathbf x} \hat{f}(p)\)

missä kulmataajuuden eksponentti on \(-i\ p^0t\) (negatiivinen kulmataajuus, hmm).

Tuo eksponentin hajottaminen kahteen osaan ja siitä seuraavat antavasi kaavat ovat oikein hyviä, ihan senkin takia, että niistä näkee, että ajanlaatuisen osan merkki ja paikanlaatuisen osan merkit ovat vastakkaiset:

\(\displaystyle \hat{f}(p) = \int d^4 x\: e^{+ipx} f(x) = \int d^4 x\: e^{+i\ p^0 t}\ e^{-i\ \mathbf p \cdot \mathbf x}\ f(x)\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4 p\: e^{-ipx} \hat{f}(p) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4 p\: e^{-i\ p^0t}\ e^{+i\ \mathbf p \cdot \mathbf x} \hat{f}(p)\).

Mutta noita voidaan vielä muokata (ei noitaa roviolla..) tekemällä ensimmäiseen koordinaatistomuunnos, jossa \(t'=-t=x_0\) ja muut koordinaatit samat eli \( x'_i =x_i \)ja toiseen integraaliin vastaavasti \(p'^0=-p^0\) ja \(p'^i=p^i\), jolloin saadaan sievennyksen jälkeen, poistamalla pilkut:

\(\displaystyle \hat{f}(p) = \int d^4 x\: e^{-i\ p^0 t}\ e^{-i\ \mathbf p \cdot \mathbf x}\ f(x)\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4 p\: e^{+i\ p^0t}\ e^{+i\ \mathbf p \cdot \mathbf x} \hat{f}(p)\).

Hmm, tuohan näyttää ihan euklidiselta Fourier-muunnokselta? No, lasku olikin himpun väärin, oikeat kaavat (toivottavasti )olisivat:

\(\displaystyle \hat{f}(p) = \int d^4 x\: e^{-i\ p^0 t}\ e^{-i\ \mathbf p \cdot \mathbf x}\ f(-x_0,x_1,x_2,x_3)\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4 p\: e^{+i\ p^0t}\ e^{+i\ \mathbf p \cdot \mathbf x} \hat{f}(-p^0,p^1,p^2,p^3)\).

Nuo ovat edelleen hyvin euklidisen Fourier-muunnoksen muotoisia ja ainoa ero siihen ovat nuo miinusmerkit funktioissa \(f\) ja \(\hat{f}\) kaavan mukaisesti ja lisäksi ne eivät yhtään näytä Lorentz-invariantilta, mutta ilmeisesti ne ovat kuitenkin sitä konstruktion perusteella? Ainoa asia minkä tein oli muuttujanvaihto integraalissa.

Luvussa '2 Klein-Gordon field' kirjoitetaan kentän 3-dim esitys Fourier-muunnoksena (etumerkki 3-dim tapauksessa on +, ei -) seuraavasti

\(\displaystyle \phi(\mathbf x,t) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int d^3\mathbf p\ e^{+i\ \mathbf p \cdot \mathbf x}\ \tilde \phi(\mathbf p,t)\)

mikä tarkoittaa sitä, että \(t\) on kiinnitetty, tai parametri. Tämän jälkeen P&S käsittelee KG yhtälön tuolla saadulla 3-dim esityksellä. Jos tämän kuitenkin kirjoittaisi 4-dim Fourier-muunnoksena niin se olisi

\(\displaystyle \phi(x) = \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4p \ e^{-i\ px}\ \tilde\phi(p)\)

missä jälleen kulmataajuuden eksponentti on \(-i\ p^0t\) (energia on aina \(p^0>0\)). Tästä seuraa mielestäni KG yhtälö

\((p^2-m^2)\tilde \phi(p) = 0\)

ja massakuori \( p^2=m^2\). Tämä on sama kuin mulla oli aloitusviestissä, että ehkä mulla oli alussa sama Fourier-konventio kuin Peskin & Schröderissä, eli tuo kirjoittamasi jälkimmäinen?

Myöhemmin kirjoitin \(G(x-y)\):lle 4-dim Fourier muunnoksen käsittääkseni myös P&S konventiolla (viimeisin sun viestin muunnoskaavoista)

\(\displaystyle G(x-y)=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\ e^{-ip(x-y)}\ \tilde G(p)\)

Katsoin Weinbergista, ja siinä 3-dim Fourier-muunnosten etumerkit ovat samat kuin P&S:ssä, mikä on erikoista kun Weinbergin signaguuri on eri. Tämä liittyy ehkä posit/negat kulmataajuuden käsittelyyn. Hmm

Sun lasku KG-yhtälön Fourier muunnetulle muodolle \(-(p^2 - m^2) \tilde G(p) = -i\) on käsittääkseni oikein ja tulos on lisäksi mielestäni sama, riippumatta mitä "signatuuria" Fourier muunnoksen eksonentissa käytetään tai käytetäänkö euklidista tavallista Fourier-muunnosta. Mutta se johtuu siitä, että KG-yhtälö sisältää ainoastaan toisen kertaluvun osittaisderivaattoja ja niiden Fourier muunnokset eivät riipu plus/miinus-merkeistä eksponentissa, alla perustelua, jossa Fourier-muunnosta merkitään hatulla, hieman epätäsmällisesti:

Jos mulla on 1D-Fourier-muunnos funktiolle (miinus!) \(f\):

\(\displaystyle \widehat{f(p)} = \int d x\: e^{-ipx} f(x)\),

niin silloin funktion \(f\) derivaatan\( f'\) Fourier muunnos saadaan kaavasta:

\(\displaystyle \widehat{f'(p)}= i p \widehat{f(p)} \).

Jos taasen määrittelen Fourier-muunnoksen kaavalla (plus!):

\(\displaystyle \widehat{f(p)} = \int d x\: e^{+ipx} f(x)\),

saan derivaatalle:

\(\displaystyle \widehat{f'(p)}= -i p \widehat{f(p)} \).

Kumpaa tahansa Fourier-muunnosta käyttäen saan saman kaavan toiselle derivaatalle \(f''\):

\(\displaystyle \widehat{f''(p)}= - p^2 \widehat{f(p)} \).

Vastaava perustelu toimii osittaisderivaatoille ja KG-yhtälö sisältää vain toisen keraluvun derivaatoja, joten yhtälön Fourier-muunnos ei riipu plus/miinus-merkeistä Fourier muunnoksen eksponentissa.

Postscript:

Fourier-muunnos on siitä pahamainenen notaatioltaan, että sille ei ole olemassa yhtä parasta notaatiota, vaan kaikki notaatiot ovat sellaisia, että jossain kaavoissa ne ovat epätäsmällisiä ja jopa harhaanjohtavia, vaikka muissa toimisikin.