Neutriinon antipodaalinen symplektinen Majorana-rakenne
Oletetaan, että sähköheikon symmetriarikon jälkeisessä neutraalissa sektorissa neutriinon vastakkaiset kiraalisuudet kuuluvat saman Φ-rakenteen antipodaalisiin haaroihin. Sauman yli yhteiseen spinorikehykseen esitettyinä ne toteuttavat tunnistuksen
\(
\nu_R(x,\Phi+\pi)
=
[\nu_L(x,\Phi)]^c,
\qquad
\psi^c=C\bar\psi^{\,T}.
\)
Antipodaalisuus sisältää tässä antilineaarisen varauskonjugaation. Oikean haaran kenttä määräytyy siten vasemmasta, ja niiden yhdistelmä on Majorana-kenttä:
\(
N=\nu_L+\nu_L^c,
\qquad
N^c=N.
\)
Symplektinen rakenne saadaan antamalla antipodaaliselle kehysparille indeksi \(A=1,2\). Merkitään spinorien varauskonjugaatiota \(\mathsf C\) ja määritellään
\(
\Gamma=P_L-P_R,
\qquad
j=\Gamma\mathsf C,
\qquad
\varepsilon=
\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{pmatrix}.
\)
Koska \(\mathsf C^2=1\) ja varauskonjugaatio vaihtaa kiraalisuuden, pätee \(\mathsf C\Gamma=-\Gamma\mathsf C\). Tästä seuraa
\(
j^2=-1,
\qquad
\mathscr R=\varepsilon j,
\qquad
\mathscr R^2=1.
\)
Symplektinen Majorana-ehto ja haarojen kiraalisuusprojektio voidaan nyt kirjoittaa yhdessä:
\(
\Psi=
\begin{pmatrix}
\nu_L\\
\nu_L^c
\end{pmatrix},
\qquad
\Psi=\mathscr R\Psi,
\qquad
P_L\Psi_1=\Psi_1,
\qquad
P_R\Psi_2=\Psi_2.
\)
Nämä ehdot jättävät yhden Weyl-spinorin verran riippumatonta kenttäsisältöä: antipodaaliset haarat ovat saman Majorana-moodin kaksi esityspuolta. Indeksi \(A\) nimeää tässä vaihehaarat, ei heikon isospinin komponentteja.
Heikon mittarirakenteen resonanssin oletetaan valitsevan aktiiviseksi tämän parin yhden kiraalisen orientaation. Sitä kutsutaan vasemmaksi, ja varattu heikko virta käyttää komponenttia \(P_LN\). Virran hermiittinen konjugaatti antaa relativistisessa rajassa oikeahelisiteettisen antineutriinokanavan. Näin antineutriino on saman Majorana-kentän antipodaalinen vuorovaikutushaara.
Vasemman ja oikean nimeäminen on orientaatiokonventio; vuorovaikutuksen tekemä kiraalinen valinta ja siihen liittyvä pariteettirikkomus ovat fysikaalisia.
Muistioskillaatioiden kuvauksessa tähän liitetään kolmen maun etenemisvaste. Tavanomaisen ainevasteen alueella yhteensopiva muoto on
\(
H_\nu(E,x)=\frac{\mathcal Q}{2E}+V(x),
\qquad
H_{\bar\nu}(E,x)=\frac{\mathcal Q^*}{2E}-V(x)^*,
\qquad
\mathcal Q^\dagger=\mathcal Q.
\)
Antipodaalinen Majorana-ehto määrittelee kentän haarojen keskinäisen tunnistuksen. Muistidynamiikan tehtäväksi jää johtaa massaneliömäinen operaattori \(\mathcal Q\) sekä mahdolliset leptonilukua rikkovat amplitudit.
Neutriinomittaus muistirakenteen äärellisenä lukutapahtumana - tarkennusta aikaisempaan
Tyhjön muistirakennemallissa neutriinon havaitseminen on neutriinokentän, tyhjön muistirakenteen ja ilmaisimen aineen paikallinen yhteistapahtuma. Ilmaisin osallistuu tähän dynamiikkaan äärellisen ajan ja tilavuuden verran. Mittauskohtaan saapuva kenttä ja siihen kytkeytyvä muistivaste sisältävät etenemishistorian aikana kertyneet suhteelliset vaiheet.
Mittauksessa muodostuvaa massatilaa voidaan tällöin kuvata vuorovaikutuksen pukemana neutriino–muisti-yhteistilana. Mittausikkunassa kertyy tämän tilan amplitudi. Massaneliösen muistivasteen ominaismuodot osallistuvat tapahtumaan eri vaiheissa, ja heikko vuorovaikutus projisoi niiden summan elektronin, myonin tai taun määrittelemään makukanavaan.
Vakion muistivasteen ja kapean energiakaistan tapauksessa tämä voidaan kirjoittaa luonnollisissa yksiköissä \(\hbar=c=1\):
\(
\mathcal A_{\beta r,\alpha}^{D}(E,L)
=
\sum_i
U_{\beta i}U_{\alpha i}^{*}
F_{\beta r,i}^{D}(E,\tau_D)
\exp\!\left(-i\frac{q_iL}{2E}\right),
\qquad
P_{\beta\leftarrow\alpha}^{D}
\propto
\sum_r
\left|\mathcal A_{\beta r,\alpha}^{D}\right|^2.
\)
Tässä \(\alpha\) on tuotantomaku, \(\beta\) havaittu makukanava, \(q_i\) massaneliömäisen muistivasteen ominaisarvoja ja \(U\) sen ominaismuotojen yhteys heikkoon makukantaan. Indeksi \(r\) erottaa ilmaisimen ortogonaaliset lopputilat.
Äärellinen osallistuminen sisältyy vastekertoimeen \(F_{\beta r,i}^{D}\). Yksinkertaisessa ajallisessa kuvauksessa
\(
F_{\beta r,i}^{D}
=
\int_{t_D}^{t_D+\tau_D}
dt\,
w_{\beta r}(t)\,a_i(L,t),
\)
missä \(a_i\) sisältää saapuvan ominaismuodon aaltopaketin ja \(w_{\beta r}\) ilmaisimen kytkennän sekä lopputilan energiavaiheen. Mittaus lukee näin äärellisen osuuden yhteisestä vaihehistoriasta. Kun sen vaste ei erottele oskilloivia ominaismuotoja, niiden interferenssi säilyy ja saadaan tavallinen oskilloiva makujakauma.
Neutriinovuolla voi samalla olla yhteinen kausaalinen eturintama nopeudella \(c\). Tämä toteutuu mallissa, jossa etenemisyhtälön derivaattaosa säilyttää nollarintaman ja muistikytkentä on paikallinen. Muistin vaste rakentuu rintaman saavuttamalla alueella; vaihe- ja ryhmäviiveet muokkaavat sen jälkeistä signaalia ja mittauksen ajallista päällekkäisyyttä.
Massaneliömäinen vaste kuuluu näin vuon ja läpäistävän muistityhjön yhteiseen dynamiikkaan. Havaittu maku syntyy, kun tämän dynamiikan säilyttämä vaihehistoria osallistuu äärelliseen heikkoon mittaustapahtumaan.
Hienorakennevakio lukuteoriana vapausasteista: (1⁰+2¹+3²+5³+1/2¹×3²/5³-(3²×5³)⁻²)⁻¹ = 137,03599921⁻¹
No niin! Nyt puretaan neutriinon massan ongelmat niin sanotusti atomeiksi, joka on pöljä sanonta tähän aiheeseen 
. Ensin pitää täsmentää edellisen viestini kompleksikonjugoinnin vs. Hermiten konjugoinnin notaatiota.
Edellisessä viestissä oli myös huojuva notaatio yläviivoissa. Ne pitäisi olla koko spinorin yli, eli \(\overline{e_R}\), eikä \(\overline e_R\), koska jälkimmäisen voi halutessaan tulkita erikoisesti. Jos notaatio olisi \(\phi\) ja \(\overline \phi_R\), niin asialla ei olisi niin suurta merkitystä.
Näillä päästään sitten käsiksi neutriinon massaan. Alkuperäisen sähköheikon teorian neutriinon R-komponentit puuttuvat, mutta ne voidaan sisällyttää teoriaan, kun samalla huomioidaan R-komponenttien kvanttiluvut.
Neutriinokentän \(\nu\) oikeakiraalinen osa ei osallistu heikkoon vuorovaikutukseen, joten heikko isospin \(T_3[\nu_R] = 0\), kuten alkuperäisessä teoriassakin. Tiedetään, että neutriinolla ei ole sähkövarausta, ja QED:n \(U(1)\)-mittainvarianssi vaatii, että L- ja R-komponenteilla on sama sähkövaraus. Tämän takia \(Q[\nu_R] = 0\).
Weinbergin kirjassa kvanttilukujen yhteys on \(Q = T_3 - Y\), joka poikkeaa kaikista muista lähteistä, mutta tästä saadaan neutriinon R-komponenteille heikko hypervaraus \(Y[\nu_R] = 0 - 0 = 0\).
Neutriinon R-komponenttien lisäämisen takia mittaryhmän \(U(1)_Y\) esitys muutetaan siten, että dupletin \((\nu, e)^T = (\nu_L^1, \nu_L^2, \nu_R^3, \nu_R^4 ,\ e_L^1, e_L^2, e_R^3, e_R^4)^T\) oikeakiraaliset \(\nu_R\)-komponentit saavat hypervarauksen \(Y = 0\)
\(y = g'\left(\frac12 \mathbb I_2 \otimes P_L + \mathbb I_2 \otimes P_R\right)\quad \longrightarrow \quad y = g'\left(\frac12 \mathbb I_2 \otimes P_L + \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \otimes P_R\right)
=
g' \begin{pmatrix}
\frac12 \mathbb I_2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac12 \mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mathbb I_2
\end{pmatrix}\)
Samalla mittaryhmän \(U(1)_{EM}\) generaattori muuttuu siten, että \(\nu_R\) saa sähkövarauksen \(Q = 0\)
\(\displaystyle q = \frac e g t_3 - \frac{e}{g'}y =
-e \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mathbb I_2
\end{pmatrix}\)
Mittaryhmään \(SU(2)_L\) kuuluva diagonaalinen \(t_3\) ei muutu. Neutriinon massaa varten kokeillaan ensin muodostaa Lorentz-invariantti massatermi
\(\mathcal L_m = -m\overline \nu \nu = -m (\overline{\nu_L}\ \nu_R + \overline{\nu_R}\ \nu_L)\)
Tuossa 4-komponenttinen spinori on \(\nu = (\nu_L^1, \nu_L^2, \nu_R^3, \nu_R^4)^T\), ja hypervarauksen generaattori esitetään 4x4-matriisina
\(y^{(\nu)} =
g' \begin{pmatrix}
\frac12 \mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}\)
Matriisin ominaisarvoista saadaan L- ja R-komponenttien hypervaraukset \(Y_L = \frac 12\), ja \(Y_R= 0\). Spinorin \(\nu\) ja adjungoidun spinorin \(\overline \nu\) äärelliset \(U(1)_Y\)-muunnokset ovat \(U = \exp(+i \beta y)\) ja \(U^\dagger = \exp(-i \beta y)\), missä \(\beta(x)\) on tietysti lokaali, mutta merkitään \(\beta\), jotta notaatio helpompi. Massatermi muuntuu seuraavasti
\(\displaystyle \mathcal L_m \to \mathcal L_m' = -m \left( e^{-i g' \beta/2}\ \overline{\nu_L}\ e^{0}\ \nu_R + e^{0}\ \overline{\nu_R}\ e^{+i g' \beta/2}\nu_L \right) = -m \left( e^{-i g' \beta/2}\ \overline{\nu_L}\ \nu_R + e^{+i g' \beta/2 }\ \overline{\nu_R}\ \nu_L \right) \neq \mathcal L_m\)
Mittainvarianssi ei toteudu, koska \(U(1)_Y\)-muunnos tuottaa molempiin termeihin paikasta riippuvat kertoimet. Neutriinolle tuo \(\mathcal L_m\) ei ole mahdollinen kuten ei ollut elektronillekaan. Jos palataan elektronin ja Higgsin kytkentään, niin se on
\(\displaystyle \mathscr L_{\phi e} = -G_e \overline{\begin{pmatrix}\nu_e \\ e \end{pmatrix}_L} \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix} e_R + h.c\)
Koska \(U(1)_Y\) on abelinen, niin mittamuunnoksen kerroin saadaan helposti myös siten, että lasketaan yhteen tekijöiden hypervaraus, ja huomioidaan, että konjugointi vaihtaa hypervarauksen etumerkin. Hypervaraukset ovat \(Y[(\overline{\nu_{eL}}, \overline{e_L})] = -\frac 12\), \(Y[\phi] = -\frac 12\) ja \(Y[e_R] = +1\). Tuo \(Y[\phi]\) saadaan laskettua edellisen viestini \(y^{(\phi)}\):n ominaisarvosta.
Näiden hypervarausten summa \(-\frac 12 - \frac 12 + 1 = 0\), joten \(\mathscr L_{\phi e}\) toteuttaa \(U(1)_Y\)-mittainvarianssin. \(SU(2)_L\)-invarianssi on hiukan työläämpi todeta, mutta sekin tässä pätee. Invarianssi oli syy sille, että elektronin massaan tarvitaan Higgsin dupletti. Seuraavaksi kokeillaan saada neutriinolle \(\nu_e\) massa samoin kuin on saatu elektronille. Neutriino kytketään Higgsin duplettiin
\(\displaystyle \mathscr L_{\phi \nu} = -G_\nu \overline{\begin{pmatrix}\nu_e \\ e \end{pmatrix}_L} \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix} \nu_{eR} + h.c\)
Mittamuunnoksessa \(Y[(\overline{\nu_{eL}}, \overline{e_L})] + Y[\phi] + Y[\nu_R] = -\frac 12 - \frac 12 + 0 = -1\), joka on nollasta poikkeava, joten mittainvarianssi ei toteudu, vaikka elektronille toteutui. Ongelmaan on olemassa ratkaisu, ja se on varauskonjugoitu Higgsin dupletti \(\tilde \phi\), joka määritellään seuraavasti
\(\tilde\phi = i\sigma_2\phi^* = i\sigma_2 \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix}\phi^{0*}\\-\phi^{+*}\end{pmatrix}\)
Dupletin \(\tilde \phi\) mittaryhmät \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) ja \(U(1)_{EM}\) saadaan generaattoreista
\(\displaystyle \vec t^{(\tilde \phi)}=\frac g 2 \vec\sigma,\quad y^{(\tilde \phi)}=+\frac{g'}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad q^{(\tilde \phi)}=-e\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Nyt voidaan kytkeä neutriino ja varauskonjugoitu Higgsin dupletti, jonka komponenttien vakuumiodotusarvot ovat \(\langle \phi^{0^*} \rangle = v \) ja \(\langle \phi^{+*} \rangle = 0\)
\(\begin{align}\displaystyle \mathscr L_{\tilde \phi \nu} &= -G_\nu \overline{\begin{pmatrix}\nu_e \\ e \end{pmatrix}_L} \begin{pmatrix} \phi^{0*} \\ -\phi^{+*}\end{pmatrix} \nu_{eR} + h.c \\
&= -G_\nu v\ \left(\overline{{\nu}_{eL}}\ \nu_{eR} + \overline{\nu_{eR}}\ \nu_{eL}\right) \\
& = -G_\nu v\ \overline \nu \nu
\end{align}\)
Lauseke on \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) -invariantti, ja näin neutriino on saanut massan \(m_\nu=G_\nu\ v\), jota kutsutaan Diracin massaksi. Näin muodostettu neutriino on kuitenkin erikoinen, koska kvanttilukujen \(T_3 = Y = Q = 0\) takia R-komponentti ei osallistu standardimallin vuorovaikutuksiin. Otusta kutsutaankin joskus nimellä 'steriili neutriino'. Se kytkeytyy tosin elektronin L-komponentteihin ja Higgsin duplettiin, mutta nämä eivät ole perusvuorovaikutuksia sanan varsinaisessa merkityksessä.
Nollaksi asettuneet kvanttiluvut \(T_3\), \(Y\) ja \(Q\) mahdollistavat kuitenkin seuraavan vaihtoehdon, joka on Majorana massatermi
\(\displaystyle \mathscr L_M = -\frac 12 M \left(\overline{\nu_R^c}\ \nu_R + h.c\right)\)
Lasketaan mitä tämä tarkoittaa konkreettisesti. Weinbergin konventioilla oikeakiraalinen neutriino on \(\nu_R = (0,0,\nu^3,\nu^4)^T\), ja \(\overline{\nu_R} = \nu_R^\dagger\ i \gamma^0 =(\nu^{3\dagger}, \nu^{4\dagger}, 0,0)\). Spinorin varauskonjugointi saadaan muun muassa laskemalla \(\nu_R^c = \gamma^2\ (\nu_R^\dagger)^T\), ja tämän avulla saadaan
\(\overline{\nu_R^c} = (\nu_R^c)^\dagger\ i \gamma^0 = \left(\gamma^2\ \nu_R^{\dagger T}\right)^\dagger \ i \gamma^0 = \left(\nu_R^T\ (\gamma^2)^\dagger\right) \ i \gamma^0 = i\ \nu_R^T \gamma^2 \gamma^0 = (0,0,-\nu^4, \nu^3)\)
Kaksi viimeistä komponenttia on vaihtanut paikkaa, ja viimeisen etumerkki vaihtunut. Käytännössä varauskonjugoitu \(\nu_R^c=(-\nu^{4\dagger}, \nu^{3\dagger}, 0,0)^T\) on vasenkiraalinen (kaksi L-komponenttia). Lisäksi varauskonjugointi vaihtaa kvanttilukujen etumerkin, mutta tässä tapauksessa \(T_3 = Y = Q = 0\).
Diracin massa \(\mathscr L_{\tilde \phi \nu}\) kytkee neutriinokentän L- ja R-komponentit termillä \(\overline{\nu_R}\ \nu_L\), mutta Majorana massa \(\mathscr L_M\) kytkee neutriinokentän L-komponentit antineutriinokentän L-komponentteihin termillä \(\overline{\nu_R^c}\ \nu_R\), jos tuo \(\nu_R^c\) tulkitaan antineutriinokentäksi. Diracin massa sisältää vain neutriinon \(\nu_D = \nu_L + \nu_R\), mutta Majorana massa sisältää antineutriinon ja neutriinon, joista muodostuu Majorana neutriino \(\nu_M = \nu_R^c + \nu_R\). Tämä neutriino on itsensä antihiukkanen, joka voidaan todeta laskemalla \(\nu_M = \nu_M^c\). Majorana massa \(\mathscr L_M\) on invariantti mittamuunnoksessa \(SU(2)_L \times U(1)_Y\), ja myös Lorentz-invariantti.
Seuraavaksi lasketaan auki termi
\(\overline{\nu_R^c} \nu_R = (0,0,-\nu^4, \nu^3)\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \nu^3 \\ \nu^4 \end{pmatrix} = -\nu^4 \nu^3 + \nu^3 \nu^4\)
Komponentit toteuttavat fermionikentän anti-kommutoinnin \(\{\nu^a,\nu^b\} = \nu^a\nu^b + \nu^b\nu^a = 0\) ja vastaavan \(\{\nu^{a\dagger},\nu^{b\dagger}\} = 0\). Näiden seurauksena \(-\nu^4 \nu^3 + \nu^3 \nu^4 = 2\nu^3\nu^4\), ja koko massatermi on
\(\displaystyle \mathscr L_M = -\frac 12 M \left(\overline{\nu_R^c}\ \nu_R + h.c\right) = -\frac 12 M \left(2 \nu^3\nu^4 + (2\nu^3 \nu^4)^\dagger\right) = -M \left(\nu^3 \nu^4- \nu^{3\dagger} \nu^{4\dagger} \right)\)
Tässä nyt massa \(M \in \mathbb R\), mutta se voi olla myös kompleksiluku, jolloin termien edessä on \(M\) ja \(M^*\). Tuo \( \mathscr L_M\) on jälleen erikoinen otus, sillä termeistä seuraa, että teorian leptoniluku ei säily. Aiemmin mainittu neutriinon Diracin massa säilyttää leptoniluvun. Nämä ominaisuudet liittyvät leptoniluvun globaaliin symmetriaan, jonka jätän tässä nyt väliin.
Oikeakiraalinen \(\mathscr L_M = -\frac 12 M \left(\overline{\nu_R^c}\ \nu_R + h.c\right)\) on siis invariantti sähköheikon teorian mittamuunnoksessa, mutta uusi ongelma nousee, kun L-komponentista muodostetaan vastaava
\(\displaystyle \mathscr L_M = -\frac 12 M \left(\overline{\nu_L^c}\ \nu_L + h.c\right)\)
Hypervaraus \(Y[\overline{\nu_L^c}\ \nu_L] = \frac 12 + \frac 12 = 1\), joten mittainvarianssi ei toteudu. Itse asiassa myös \(SU(2)_L\) -invarianssi jää toteutumatta. Näitä ongelmia voi sitten ratkoa seesaw-mekanismilla tai Weinberg dimension-5 operaattorilla.
Olipas työmaa, toivottavasti ei jäänyt paljon virheitä. Dimension-5 operator vaatii lisää laskemista, mutta nyt ei energia riittänyt
. Ensin pitää täsmentää edellisen viestini kompleksikonjugoinnin vs. Hermiten konjugoinnin notaatiota. Tässä vaiheessa spinoriin sisällytetään fermionikentän operaattorit, ja siksi määrittelyjä pitää muuttaa (tai korjata, kun olisin voinut ensimmäisessä viestissä mainita). Pystyspinori on \(e=(e^1, e^2, e^3, e^4)^T\), ja vaakaspinori on Hermiten konjugaatti \(e^\dagger = (e^{1\dagger}, e^{2\dagger}, e^{3\dagger}, e^{4\dagger})\). Myös Diracin adjungaatti on vaakaspinori \(\overline e = e^\dagger\ i \gamma^0 = (e^{3\dagger}, e^{4\dagger}, e^{1\dagger}, e^{2\dagger})\), ja tässä L- ja R-komponentit vaihtavat paikkaa.QS kirjoitti: ↑18.10.2026, 10:12Spinori-sisätulon \(\overline e e\) notaatiossa \(e = ( e_L^1, e_L^2, e_R^3, e_R^4)^T\) ja \(\overline e = e^\dagger i \gamma^0 = ( {e_R^3}^*, {e_R^4}^*, {e_L^1}^*, {e_L^2}^*)\).
...
Voidaan myös kirjoittaa \(e_L = P_L\ e = (e_L^1, e_L^2, 0,0)^T\) ja \(\overline e_L = \overline e\ P_R = (0,0,{e_L^1}^*, {e_L^2}^*)\), sekä vastaavat \(e_R = P_R\ e\) ja \(\overline e_R = \overline e\ P_L\).
Edellisessä viestissä oli myös huojuva notaatio yläviivoissa. Ne pitäisi olla koko spinorin yli, eli \(\overline{e_R}\), eikä \(\overline e_R\), koska jälkimmäisen voi halutessaan tulkita erikoisesti. Jos notaatio olisi \(\phi\) ja \(\overline \phi_R\), niin asialla ei olisi niin suurta merkitystä.
Näillä päästään sitten käsiksi neutriinon massaan. Alkuperäisen sähköheikon teorian neutriinon R-komponentit puuttuvat, mutta ne voidaan sisällyttää teoriaan, kun samalla huomioidaan R-komponenttien kvanttiluvut.
Neutriinokentän \(\nu\) oikeakiraalinen osa ei osallistu heikkoon vuorovaikutukseen, joten heikko isospin \(T_3[\nu_R] = 0\), kuten alkuperäisessä teoriassakin. Tiedetään, että neutriinolla ei ole sähkövarausta, ja QED:n \(U(1)\)-mittainvarianssi vaatii, että L- ja R-komponenteilla on sama sähkövaraus. Tämän takia \(Q[\nu_R] = 0\).
Weinbergin kirjassa kvanttilukujen yhteys on \(Q = T_3 - Y\), joka poikkeaa kaikista muista lähteistä, mutta tästä saadaan neutriinon R-komponenteille heikko hypervaraus \(Y[\nu_R] = 0 - 0 = 0\).
Neutriinon R-komponenttien lisäämisen takia mittaryhmän \(U(1)_Y\) esitys muutetaan siten, että dupletin \((\nu, e)^T = (\nu_L^1, \nu_L^2, \nu_R^3, \nu_R^4 ,\ e_L^1, e_L^2, e_R^3, e_R^4)^T\) oikeakiraaliset \(\nu_R\)-komponentit saavat hypervarauksen \(Y = 0\)
\(y = g'\left(\frac12 \mathbb I_2 \otimes P_L + \mathbb I_2 \otimes P_R\right)\quad \longrightarrow \quad y = g'\left(\frac12 \mathbb I_2 \otimes P_L + \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \otimes P_R\right)
=
g' \begin{pmatrix}
\frac12 \mathbb I_2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac12 \mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mathbb I_2
\end{pmatrix}\)
Samalla mittaryhmän \(U(1)_{EM}\) generaattori muuttuu siten, että \(\nu_R\) saa sähkövarauksen \(Q = 0\)
\(\displaystyle q = \frac e g t_3 - \frac{e}{g'}y =
-e \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mathbb I_2
\end{pmatrix}\)
Mittaryhmään \(SU(2)_L\) kuuluva diagonaalinen \(t_3\) ei muutu. Neutriinon massaa varten kokeillaan ensin muodostaa Lorentz-invariantti massatermi
\(\mathcal L_m = -m\overline \nu \nu = -m (\overline{\nu_L}\ \nu_R + \overline{\nu_R}\ \nu_L)\)
Tuossa 4-komponenttinen spinori on \(\nu = (\nu_L^1, \nu_L^2, \nu_R^3, \nu_R^4)^T\), ja hypervarauksen generaattori esitetään 4x4-matriisina
\(y^{(\nu)} =
g' \begin{pmatrix}
\frac12 \mathbb I_2 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}\)
Matriisin ominaisarvoista saadaan L- ja R-komponenttien hypervaraukset \(Y_L = \frac 12\), ja \(Y_R= 0\). Spinorin \(\nu\) ja adjungoidun spinorin \(\overline \nu\) äärelliset \(U(1)_Y\)-muunnokset ovat \(U = \exp(+i \beta y)\) ja \(U^\dagger = \exp(-i \beta y)\), missä \(\beta(x)\) on tietysti lokaali, mutta merkitään \(\beta\), jotta notaatio helpompi. Massatermi muuntuu seuraavasti
\(\displaystyle \mathcal L_m \to \mathcal L_m' = -m \left( e^{-i g' \beta/2}\ \overline{\nu_L}\ e^{0}\ \nu_R + e^{0}\ \overline{\nu_R}\ e^{+i g' \beta/2}\nu_L \right) = -m \left( e^{-i g' \beta/2}\ \overline{\nu_L}\ \nu_R + e^{+i g' \beta/2 }\ \overline{\nu_R}\ \nu_L \right) \neq \mathcal L_m\)
Mittainvarianssi ei toteudu, koska \(U(1)_Y\)-muunnos tuottaa molempiin termeihin paikasta riippuvat kertoimet. Neutriinolle tuo \(\mathcal L_m\) ei ole mahdollinen kuten ei ollut elektronillekaan. Jos palataan elektronin ja Higgsin kytkentään, niin se on
\(\displaystyle \mathscr L_{\phi e} = -G_e \overline{\begin{pmatrix}\nu_e \\ e \end{pmatrix}_L} \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix} e_R + h.c\)
Koska \(U(1)_Y\) on abelinen, niin mittamuunnoksen kerroin saadaan helposti myös siten, että lasketaan yhteen tekijöiden hypervaraus, ja huomioidaan, että konjugointi vaihtaa hypervarauksen etumerkin. Hypervaraukset ovat \(Y[(\overline{\nu_{eL}}, \overline{e_L})] = -\frac 12\), \(Y[\phi] = -\frac 12\) ja \(Y[e_R] = +1\). Tuo \(Y[\phi]\) saadaan laskettua edellisen viestini \(y^{(\phi)}\):n ominaisarvosta.
Näiden hypervarausten summa \(-\frac 12 - \frac 12 + 1 = 0\), joten \(\mathscr L_{\phi e}\) toteuttaa \(U(1)_Y\)-mittainvarianssin. \(SU(2)_L\)-invarianssi on hiukan työläämpi todeta, mutta sekin tässä pätee. Invarianssi oli syy sille, että elektronin massaan tarvitaan Higgsin dupletti. Seuraavaksi kokeillaan saada neutriinolle \(\nu_e\) massa samoin kuin on saatu elektronille. Neutriino kytketään Higgsin duplettiin
\(\displaystyle \mathscr L_{\phi \nu} = -G_\nu \overline{\begin{pmatrix}\nu_e \\ e \end{pmatrix}_L} \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix} \nu_{eR} + h.c\)
Mittamuunnoksessa \(Y[(\overline{\nu_{eL}}, \overline{e_L})] + Y[\phi] + Y[\nu_R] = -\frac 12 - \frac 12 + 0 = -1\), joka on nollasta poikkeava, joten mittainvarianssi ei toteudu, vaikka elektronille toteutui. Ongelmaan on olemassa ratkaisu, ja se on varauskonjugoitu Higgsin dupletti \(\tilde \phi\), joka määritellään seuraavasti
\(\tilde\phi = i\sigma_2\phi^* = i\sigma_2 \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix}\phi^{0*}\\-\phi^{+*}\end{pmatrix}\)
Dupletin \(\tilde \phi\) mittaryhmät \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) ja \(U(1)_{EM}\) saadaan generaattoreista
\(\displaystyle \vec t^{(\tilde \phi)}=\frac g 2 \vec\sigma,\quad y^{(\tilde \phi)}=+\frac{g'}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad q^{(\tilde \phi)}=-e\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Nyt voidaan kytkeä neutriino ja varauskonjugoitu Higgsin dupletti, jonka komponenttien vakuumiodotusarvot ovat \(\langle \phi^{0^*} \rangle = v \) ja \(\langle \phi^{+*} \rangle = 0\)
\(\begin{align}\displaystyle \mathscr L_{\tilde \phi \nu} &= -G_\nu \overline{\begin{pmatrix}\nu_e \\ e \end{pmatrix}_L} \begin{pmatrix} \phi^{0*} \\ -\phi^{+*}\end{pmatrix} \nu_{eR} + h.c \\
&= -G_\nu v\ \left(\overline{{\nu}_{eL}}\ \nu_{eR} + \overline{\nu_{eR}}\ \nu_{eL}\right) \\
& = -G_\nu v\ \overline \nu \nu
\end{align}\)
Lauseke on \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) -invariantti, ja näin neutriino on saanut massan \(m_\nu=G_\nu\ v\), jota kutsutaan Diracin massaksi. Näin muodostettu neutriino on kuitenkin erikoinen, koska kvanttilukujen \(T_3 = Y = Q = 0\) takia R-komponentti ei osallistu standardimallin vuorovaikutuksiin. Otusta kutsutaankin joskus nimellä 'steriili neutriino'. Se kytkeytyy tosin elektronin L-komponentteihin ja Higgsin duplettiin, mutta nämä eivät ole perusvuorovaikutuksia sanan varsinaisessa merkityksessä.
Nollaksi asettuneet kvanttiluvut \(T_3\), \(Y\) ja \(Q\) mahdollistavat kuitenkin seuraavan vaihtoehdon, joka on Majorana massatermi
\(\displaystyle \mathscr L_M = -\frac 12 M \left(\overline{\nu_R^c}\ \nu_R + h.c\right)\)
Lasketaan mitä tämä tarkoittaa konkreettisesti. Weinbergin konventioilla oikeakiraalinen neutriino on \(\nu_R = (0,0,\nu^3,\nu^4)^T\), ja \(\overline{\nu_R} = \nu_R^\dagger\ i \gamma^0 =(\nu^{3\dagger}, \nu^{4\dagger}, 0,0)\). Spinorin varauskonjugointi saadaan muun muassa laskemalla \(\nu_R^c = \gamma^2\ (\nu_R^\dagger)^T\), ja tämän avulla saadaan
\(\overline{\nu_R^c} = (\nu_R^c)^\dagger\ i \gamma^0 = \left(\gamma^2\ \nu_R^{\dagger T}\right)^\dagger \ i \gamma^0 = \left(\nu_R^T\ (\gamma^2)^\dagger\right) \ i \gamma^0 = i\ \nu_R^T \gamma^2 \gamma^0 = (0,0,-\nu^4, \nu^3)\)
Kaksi viimeistä komponenttia on vaihtanut paikkaa, ja viimeisen etumerkki vaihtunut. Käytännössä varauskonjugoitu \(\nu_R^c=(-\nu^{4\dagger}, \nu^{3\dagger}, 0,0)^T\) on vasenkiraalinen (kaksi L-komponenttia). Lisäksi varauskonjugointi vaihtaa kvanttilukujen etumerkin, mutta tässä tapauksessa \(T_3 = Y = Q = 0\).
Diracin massa \(\mathscr L_{\tilde \phi \nu}\) kytkee neutriinokentän L- ja R-komponentit termillä \(\overline{\nu_R}\ \nu_L\), mutta Majorana massa \(\mathscr L_M\) kytkee neutriinokentän L-komponentit antineutriinokentän L-komponentteihin termillä \(\overline{\nu_R^c}\ \nu_R\), jos tuo \(\nu_R^c\) tulkitaan antineutriinokentäksi. Diracin massa sisältää vain neutriinon \(\nu_D = \nu_L + \nu_R\), mutta Majorana massa sisältää antineutriinon ja neutriinon, joista muodostuu Majorana neutriino \(\nu_M = \nu_R^c + \nu_R\). Tämä neutriino on itsensä antihiukkanen, joka voidaan todeta laskemalla \(\nu_M = \nu_M^c\). Majorana massa \(\mathscr L_M\) on invariantti mittamuunnoksessa \(SU(2)_L \times U(1)_Y\), ja myös Lorentz-invariantti.
Seuraavaksi lasketaan auki termi
\(\overline{\nu_R^c} \nu_R = (0,0,-\nu^4, \nu^3)\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \nu^3 \\ \nu^4 \end{pmatrix} = -\nu^4 \nu^3 + \nu^3 \nu^4\)
Komponentit toteuttavat fermionikentän anti-kommutoinnin \(\{\nu^a,\nu^b\} = \nu^a\nu^b + \nu^b\nu^a = 0\) ja vastaavan \(\{\nu^{a\dagger},\nu^{b\dagger}\} = 0\). Näiden seurauksena \(-\nu^4 \nu^3 + \nu^3 \nu^4 = 2\nu^3\nu^4\), ja koko massatermi on
\(\displaystyle \mathscr L_M = -\frac 12 M \left(\overline{\nu_R^c}\ \nu_R + h.c\right) = -\frac 12 M \left(2 \nu^3\nu^4 + (2\nu^3 \nu^4)^\dagger\right) = -M \left(\nu^3 \nu^4- \nu^{3\dagger} \nu^{4\dagger} \right)\)
Tässä nyt massa \(M \in \mathbb R\), mutta se voi olla myös kompleksiluku, jolloin termien edessä on \(M\) ja \(M^*\). Tuo \( \mathscr L_M\) on jälleen erikoinen otus, sillä termeistä seuraa, että teorian leptoniluku ei säily. Aiemmin mainittu neutriinon Diracin massa säilyttää leptoniluvun. Nämä ominaisuudet liittyvät leptoniluvun globaaliin symmetriaan, jonka jätän tässä nyt väliin.
Oikeakiraalinen \(\mathscr L_M = -\frac 12 M \left(\overline{\nu_R^c}\ \nu_R + h.c\right)\) on siis invariantti sähköheikon teorian mittamuunnoksessa, mutta uusi ongelma nousee, kun L-komponentista muodostetaan vastaava
\(\displaystyle \mathscr L_M = -\frac 12 M \left(\overline{\nu_L^c}\ \nu_L + h.c\right)\)
Hypervaraus \(Y[\overline{\nu_L^c}\ \nu_L] = \frac 12 + \frac 12 = 1\), joten mittainvarianssi ei toteudu. Itse asiassa myös \(SU(2)_L\) -invarianssi jää toteutumatta. Näitä ongelmia voi sitten ratkoa seesaw-mekanismilla tai Weinberg dimension-5 operaattorilla.
Olipas työmaa, toivottavasti ei jäänyt paljon virheitä. Dimension-5 operator vaatii lisää laskemista, mutta nyt ei energia riittänyt
Kun aihe sattuu olemaan Neutriino niin heitetään linkki neutriinokosmologiaan
https://pdg.lbl.gov/2024/reviews/rpp202 ... mology.pdf
Pitkä on sepustus ja minulle hieman outoa.
Neutriinotaustassa voi olla myös ei-relativistisia nopeuksia niillä neutriinoilla joilla on massa.
En jaksanut lukea tuota linkkaamaani, mutta ihmettelen kuinka makujen oskillaation silloin käy?
edit: ups, sehän on jokin massatilojen superpositio, kuten täällä on ansiokkaasti selitetty, nopeus ei tietenkään vaikuta
https://pdg.lbl.gov/2024/reviews/rpp202 ... mology.pdf
Pitkä on sepustus ja minulle hieman outoa.
Neutriinotaustassa voi olla myös ei-relativistisia nopeuksia niillä neutriinoilla joilla on massa.
En jaksanut lukea tuota linkkaamaani, mutta ihmettelen kuinka makujen oskillaation silloin käy?
edit: ups, sehän on jokin massatilojen superpositio, kuten täällä on ansiokkaasti selitetty, nopeus ei tietenkään vaikuta
Neutriino-oskillaatiosta oli minulla väärä kuva, asioiden popularisointi harhauttaa.Stalker kirjoitti: ↑26.10.2026, 20:18Kun aihe sattuu olemaan Neutriino niin heitetään linkki neutriinokosmologiaan
https://pdg.lbl.gov/2024/reviews/rpp202 ... mology.pdf
Pitkä on sepustus ja minulle hieman outoa.
Neutriinotaustassa voi olla myös ei-relativistisia nopeuksia niillä neutriinoilla joilla on massa.
En jaksanut lukea tuota linkkaamaani, mutta ihmettelen kuinka makujen oskillaation silloin käy?
edit: ups, sehän on jokin massatilojen superpositio, kuten täällä on ansiokkaasti selitetty, nopeus ei tietenkään vaikuta
Eihän superpositiossa makua ole olemassa ennen havaintoa, jos siis havaitaan myonin neutriino, se ei ole ollut sellainen hetkeä ennen, vaan superpositiossa. Jää tässä silti pohdittavaa
Joo, neutriino-oskillaatiosta on hankala luoda mielikuvaa. Tuo on totta mitä sanoit, että mitattava neutriino on lajin ominaistila. Neutriinon massatiloja ei voida käytännön mittauksella erotella, vaikka voidaankin mitata mikä laji (esim elektronin neutriino) osallistui heikkoon vuorovaikutukseen. Laji ja energia saadaan selville syntyneistä muista hiukkasista. Mutta jää selvittämättä, että minkä verran kolme massaa olivat "edustettuna neutriinon aaltopaketissa" ennen vuorovaikutusta tai sen hetkellä.Stalker kirjoitti: ↑27.10.2026, 13:09Neutriino-oskillaatiosta oli minulla väärä kuva, asioiden popularisointi harhauttaa.Stalker kirjoitti: ↑26.10.2026, 20:18Kun aihe sattuu olemaan Neutriino niin heitetään linkki neutriinokosmologiaan
https://pdg.lbl.gov/2024/reviews/rpp202 ... mology.pdf
Pitkä on sepustus ja minulle hieman outoa.
Neutriinotaustassa voi olla myös ei-relativistisia nopeuksia niillä neutriinoilla joilla on massa.
En jaksanut lukea tuota linkkaamaani, mutta ihmettelen kuinka makujen oskillaation silloin käy?
edit: ups, sehän on jokin massatilojen superpositio, kuten täällä on ansiokkaasti selitetty, nopeus ei tietenkään vaikuta
Eihän superpositiossa makua ole olemassa ennen havaintoa, jos siis havaitaan myonin neutriino, se ei ole ollut sellainen hetkeä ennen, vaan superpositiossa. Jää tässä silti pohdittavaa
Massan ominaistilat etenevät teoriassa eri nopeudella etäisyyksien yli, mutta mikään ihmisen mittausmenetelmä ei tietääkseni pysty selvittämään näitä eroja ennen heikkoa vuorovaikutusta, jossa neutriino katoaa (esim käänteinen beta-hajoaminen).
Erot olisivat paremmin havaittavissa matalan energian neutriinoista, mutta näiden ja aineen vuorovaikutusta ei tapahdu juuri lainkaan.
Luonto pottuilee elollisille olennoille, kun piilottaa neutriinon ominaisuudet lähes mahdottomiksi mitata.
Päivää! Seikkailu jatkuu, vuorossa 'Weinberg dimension-5 operator'.Abezethibou kirjoitti: ↑7.10.2026, 12:32Olikohan se niin, että pitää mennä 1970-luvulle kun kuvaan tulee Weinbergin operaattori (dimension-5 operator), kai sille jokin suomennoskin on vaikka viisiulotteinen Weinberg operaattori. No yhtä kaikki siitä sitten saadaan neutriinoille massa. Mä en osaa sitä kirjoittaa auki mutta sä ehkä osaat.Abezethibou kirjoitti: ↑6.10.2026, 17:32Joo nopea Googletus toi esiin Bruno Pontecorvon joka jo 50-luvulla vissiin esitti neutriinoille massaa ja oskillaatiota. Palaa ihmeessä aiheeseen, tykkään lukea vaikka en isosti osaa osallistua.QS kirjoitti: ↑6.10.2026, 17:22Mun mielestä jo 1950- tai 1960-luvuilla pääteltiin neutriinoilla olevan massa.
Viittasin edellä Weinbergin kirjaan The Quantum Theory of Field Vol 2 (alunperin julkaistu v. 1995), jossa esitellään muun muassa sähköheikko teoria ja neutriinot, ja käsitellään myös teoreettisesti niiden massa. Tarina on tietysti jonkin verran erilainen kuin standardimallin perusteoksissa, ja siksi mietin että tähän voisin joskus palata. Weinberg sai aikanaan Nobelin panostuksestaan sähköheikon yhtenäisteorian kehittämisessä. Voi jopa sanoa, että Weinberg oli eräs neutriinojen merkkihenkilöistä.
Alkulämmittelynä luonnolliset yksiköt ja kenttäteorian dimensiot. Kun valitaan dimensiottomat \(c=\hbar=1\), niin energia, massa, etäisyys ja aika saavat dimensiot, joille pätee \([E]=[M]=[L]^{-1}=[T]^{-1}\). Massan ja energian dimensiot ovat samat \([M] = [E]\). Kvanttikenttäteoriassa käytetään usein dimensiota \([M]\).
Pari helppoa epärelativistista johdannaisdimensiota ovat nopeus \([v] = [L]/[T] = [M]^0 = 1\) (dimensioton) ja liikemäärä \([p] = [m][v] = [M] [L]/[T] = [M]\). Liike-energialle \([E_{kin}] = [m][v]^2 = [M]\ 1^2 = [M]\), ja tämä on sama kuin liikemäärän dimensio.
Koordinaatit ja niiden differentiaalit saavat dimension \([x^\mu]=[dx^\mu] = [M]^{-1}\), ja osittaisderivaatta käänteisen \([\partial_\mu] = [M]\).
Dimensiot ovat muotoa \([M]^d\), missä \(d\) on massadimensio (kokonais-, rationaali- tai jopa irrationaaliluku, kun kyse kvanttikenttäteoriasta). Merkitään tästä eteenpäin dimension sijaan suureen \(Q\) massadimensio \([Q]=d\). Suure on dimensioton (\(M^0 = 1\)), kun \([Q] = 0\). Esimerkiksi derivaatalle \([\partial_\mu] = 1\), ja se ei ole dimensioton.
Vaikutusfunktionaali on
\(\displaystyle S=\int d^4x\ \mathcal L(t, \mathbf x)\)
missä \(\mathcal L\) on Lagrangen tiheys. Minkowskin avaruudessa integraalin mitta saa massadimension \([d^4x] = [dt\ dx\ dy\ dz] = -1-1-1-1 = -4\). Vaikutusfunktionaalille on oltava voimassa \(\left[S\right]=0\) muun muassa siksi, että se on eräiden kertoimien eksponentissa \(\exp(iS)\). Eksponentin, trigonometrisen funktion tai logaritmin sisällä ei voi olla dimensiota. Ehto \(\left[S\right]=0\) johtaa siihen, että Lagrangen tiheyden massadimensio \( [\mathcal L] = 0-[d^4x] = 4\).
Esimerkkinä vapaa Diracin kenttä (Weinbergin konventioilla)
\(\displaystyle \mathcal L = -\bar \psi(\partial\!\!\!/ + m)\psi = -\bar \psi \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \bar\psi \psi\)
Gamma-matriisin \([\gamma^\mu]=0\). Adjungoitu spinori on \(\bar \psi = \psi^\dagger\ i\gamma^0\), josta voidaan päätellä, että \([\bar \psi] = [\psi]\). Ensimmäiselle termille \([\bar \psi \gamma^\mu \partial_\mu \psi] = 1+[\psi]+[\bar \psi] = 4\), ja tästä saadaan spinorin massadimensio \([\psi] = \frac 3 2\). Toiselle termille \([m \bar\psi \psi] =1+\frac 3 2+\frac 3 2=4\), ja \([\mathcal L]=4\) kuten pitääkin.
Muita vastaavia ovat vektorikentän \([A^\mu] = 1\) ja skalaarikentän \([\phi]=1\). Kvanttikentät sisältävät poisto- ja luontioperaattorit, joten niitä ei tarvitse erikseen huomioida.
Vielä johdatuksena skalaariteoria, joka sisältää korkeamman potenssin termejä
\(\mathcal L = \dots + g \phi^3 + h \phi^4 + k \phi^5\)
Termien massadimensioksi saadaan 4, kun valitaan sopivat dimensiot vakioille. Tässä tapauksessa ne ovat \([g]=1\), \([h]=0\), ja \([k]=-1\). Asia voidaan yleistää. Vakion massadimensio määritellään
\(\Delta = 4 - d\)
missä \(d\) on operaattorien tulon massadimensio. Weinbergin kirja (Volume 1, luku 21.1 - 12.3) analysoi tarkasti vuorovaikutusten propagaattorit sekä silmukkaintegraalit, ja lopulta luokittelee kytkentävakiot seuraavasti (esimerkit vedin hatusta)
\(\Delta > 0\), super-renormalizable. Esimeriksi skalaarikentän termi \(\lambda \phi^2\), missä \(d = 2\) ja \([\lambda]=\Delta = 4-2 = 2\). Usein merkitään \(\lambda = M^2\), missä M on massa.
\(\Delta = 0\), strictly renormalizable. Esimerkiksi \(\lambda \phi^4\), missä \(d=4\) ja \( [\lambda] = \Delta =4-4 = 0\).
\(\Delta < 0\), non-renormalizable. Esimerkiksi \(\lambda \phi^6\), missä \(d=6\) ja \([\lambda] = \Delta =4-6= -2\).
Viimeksi mainittu tapaus \(\Delta < 0\) kirjoitetaan siten, että vakio on dimensioton \([\lambda] = 0\), ja nimittäjään asetetaan parametri \(M^{-\Delta}=M^{d-4}\). Tuo \(M\) on massaskaala, joka useissa lähteissä merkitään energiaskaalana \(\Lambda\). Muodostettu uusi vakio nimetään \(g\), ja sen avulla saadaan tarvittava negatiivinen massadimensio
\(\displaystyle g = \lambda\ M^\Delta = \frac{\lambda}{M^{-\Delta}} = \frac{\lambda}{M^{d-4}}\)
Jos oletetaan, että \(\lambda \sim 1\), niin kytkentävakion suuruusluokka on \(g \approx M^{4-d}\). Kun lasketaan matalalla liikemäärällä \(k \ll M\), niin laskun tuloksessa on efektiivinen kytkentävakio, joka on dimensioton
\(\displaystyle g(k) \sim k^{d-4}\ \left(\frac{\lambda}{M^{d-4}} \right) = \lambda \left(\frac k M \right)^{d-4} \ll 1\)
Voidaan todeta, että \(g(k)\) on hyvin pieni, kun \(k \ll M\) ja vakio \(\lambda\) on pieni. Parametrin \(M\) suuruus ja vakion \(\lambda\) pienuus pitäisi toki perustella, mutta se on eri tarina. Lähtökohtaisesti tapaus \(\Delta < 0\) ei siis ole renormalisoituva, mutta matalalla energialla nuo termit ovat hyvin pieniä. Ne voivat kuitenkin aiheuttaa ilmiön, joka on havaittavissa myös matalalla energialla. Tähän viimeksi mainittuun oleelliseen seikkaan perustuu Weinberg dimension-5 operaattori (Volume 2, luku 21.3)
\(\displaystyle \mathcal L_{W} = \sum_{ij}\ f_{ij}\left( \overline{\ell_{Li}^c}\ \phi^+\ -\ \overline{v_i^c}\ \phi^0 \right)\left(\ell_{Lj}\ \phi^+\ -\ v_j\ \phi^0\right)\)
Matriisi \(f_{ij}\) edustaa kytkentävakioita, ja leptonilajit \(i,j \in \{e,\mu,\tau\}\) summataan. Leptonin \(i\) vasenkiraalinen dupletti on \(L = (\nu_i, \ell_{Li})^T\), missä \(\ell_{L}\) ja \(\nu\) ovat vasenkiraaliset spinorit. Higgsin dupletti on skalaari \(\phi = (\phi^+, \phi^0)^T\). Operaattorien tulon ensimmäisessä termissä on varauskonjugoidun leptonin adjungaatti \(\overline{\ell_{Li}^c}\), ja varauskonjugoidun neutriinon adjungaatti \(\overline{v_i^c}\). Tulon toisessa termissä nämä ovat ilman varauskonjugointia, ja ilman adjungointia. Laskin termit auki
\(\displaystyle \mathcal L_{W} = \sum_{ij}\ f_{ij}\left[ \overline{\ell_{Li}^c}\ell_{Lj}\phi^+\phi^+ -
\overline{\ell_{Li}^c}\nu_{Lj}\phi^+\phi^0 - \overline{\nu_{Li}^c}\ell_{Lj}\phi^+\phi^0 + \overline{\nu_{Li}^c}\nu_{Lj}\phi^0\phi^0
\right]\)
Massadimensio ilman vakioita (3x3-matriisi \(f\)) on nimensä mukaisesti \([\mathcal L_{W}]=\frac 32 + \frac 32 +1 + 1 = 5\), ja kytkentä \(f_{ij}\) kuuluu luokkaan \(\Delta = -1\), joten \(\mathcal L_{W}\) ei ole renormalisoituva. Sähköheikon symmetriarikon jälkeen Higgsin vakuumiodotusarvot ovat \(\langle \phi^+ \rangle = 0\) ja \(\langle \phi^0 \rangle = v\), joten jäljelle jää termit
\(\displaystyle \mathcal L_{W} = \sum_{ij}\ f_{ij}\ \overline{\nu_i^c}\nu_j \langle \phi^0 \rangle^2 = \sum_{ij}\ v^2 f_{ij}\ \overline{\nu_i^c}\nu_j\)
Vakioiden suuruusluokka on \(f_{ij} \approx 1/M\). Tuo \(\mathcal L_{W}\) toteuttaa \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) -symmetrian, ja se muistuttaa Majorana massaa sillä erolla, että matriisi \(f\) kytkee eri neutriinolajit. Tästä matriisista voidaan erinäisten vaiheiden jälkeen johtaa neutriino-oskillaatio ja PMNS-matriisi.
Dimension-5 operaattorista voidaan myös arvioida neutriinon massa \(m_\nu \sim v^2/M\).
Vaikka \(\mathcal L_{W}\) ei ole renormalisoituva, ja vaikka se on merkitsevä vasta hyvin suurella energialla \(M\), niin se aiheuttaa matalalla energialla havaittavan neutriinon massan. Samalla \(\mathcal L_{W}\):n suuri energiaskaala antaa erään selityksen neutriinon massan pienuudelle.
Mistä tuo \(i\) tuohon tulee \(\bar \psi = \psi^\dagger\ i\gamma^0\) ? Ainakin wikipediassa se määritellään ilman sitä.QS kirjoitti: ↑30.10.2026, 18:58Päivää! Seikkailu jatkuu, vuorossa 'Weinberg dimension-5 operator'.Abezethibou kirjoitti: ↑7.10.2026, 12:32Olikohan se niin, että pitää mennä 1970-luvulle kun kuvaan tulee Weinbergin operaattori (dimension-5 operator), kai sille jokin suomennoskin on vaikka viisiulotteinen Weinberg operaattori. No yhtä kaikki siitä sitten saadaan neutriinoille massa. Mä en osaa sitä kirjoittaa auki mutta sä ehkä osaat.Abezethibou kirjoitti: ↑6.10.2026, 17:32Joo nopea Googletus toi esiin Bruno Pontecorvon joka jo 50-luvulla vissiin esitti neutriinoille massaa ja oskillaatiota. Palaa ihmeessä aiheeseen, tykkään lukea vaikka en isosti osaa osallistua.QS kirjoitti: ↑6.10.2026, 17:22Mun mielestä jo 1950- tai 1960-luvuilla pääteltiin neutriinoilla olevan massa.
Viittasin edellä Weinbergin kirjaan The Quantum Theory of Field Vol 2 (alunperin julkaistu v. 1995), jossa esitellään muun muassa sähköheikko teoria ja neutriinot, ja käsitellään myös teoreettisesti niiden massa. Tarina on tietysti jonkin verran erilainen kuin standardimallin perusteoksissa, ja siksi mietin että tähän voisin joskus palata. Weinberg sai aikanaan Nobelin panostuksestaan sähköheikon yhtenäisteorian kehittämisessä. Voi jopa sanoa, että Weinberg oli eräs neutriinojen merkkihenkilöistä.
Alkulämmittelynä luonnolliset yksiköt ja kenttäteorian dimensiot. Kun valitaan dimensiottomat \(c=\hbar=1\), niin energia, massa, etäisyys ja aika saavat dimensiot, joille pätee \([E]=[M]=[L]^{-1}=[T]^{-1}\). Massan ja energian dimensiot ovat samat \([M] = [E]\). Kvanttikenttäteoriassa käytetään usein dimensiota \([M]\).
Pari helppoa epärelativistista johdannaisdimensiota ovat nopeus \([v] = [L]/[T] = [M]^0 = 1\) (dimensioton) ja liikemäärä \([p] = [m][v] = [M] [L]/[T] = [M]\). Liike-energialle \([E_{kin}] = [m][v]^2 = [M]\ 1^2 = [M]\), ja tämä on sama kuin liikemäärän dimensio.
Koordinaatit ja niiden differentiaalit saavat dimension \([x^\mu]=[dx^\mu] = [M]^{-1}\), ja osittaisderivaatta käänteisen \([\partial_\mu] = [M]\).
Dimensiot ovat muotoa \([M]^d\), missä \(d\) on massadimensio (kokonais-, rationaali- tai jopa irrationaaliluku, kun kyse kvanttikenttäteoriasta). Merkitään tästä eteenpäin dimension sijaan suureen \(Q\) massadimensio \([Q]=d\). Suure on dimensioton (\(M^0 = 1\)), kun \([Q] = 0\). Esimerkiksi derivaatalle \([\partial_\mu] = 1\), ja se ei ole dimensioton.
Vaikutusfunktionaali on
\(\displaystyle S=\int d^4x\ \mathcal L(t, \mathbf x)\)
missä \(\mathcal L\) on Lagrangen tiheys. Minkowskin avaruudessa integraalin mitta saa massadimension \([d^4x] = [dt\ dx\ dy\ dz] = -1-1-1-1 = -4\). Vaikutusfunktionaalille on oltava voimassa \(\left[S\right]=0\) muun muassa siksi, että se on eräiden kertoimien eksponentissa \(\exp(iS)\). Eksponentin, trigonometrisen funktion tai logaritmin sisällä ei voi olla dimensiota. Ehto \(\left[S\right]=0\) johtaa siihen, että Lagrangen tiheyden massadimensio \( [\mathcal L] = 0-[d^4x] = 4\).
Esimerkkinä vapaa Diracin kenttä (Weinbergin konventioilla)
\(\displaystyle \mathcal L = -\bar \psi(\partial\!\!\!/ + m)\psi = -\bar \psi \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \bar\psi \psi\)
Gamma-matriisin \([\gamma^\mu]=0\). Adjungoitu spinori on \(\bar \psi = \psi^\dagger\ i\gamma^0\), josta voidaan päätellä, että \([\bar \psi] = [\psi]\). Ensimmäiselle termille \([\bar \psi \gamma^\mu \partial_\mu \psi] = 1+[\psi]+[\bar \psi] = 4\), ja tästä saadaan spinorin massadimensio \([\psi] = \frac 3 2\). Toiselle termille \([m \bar\psi \psi] =1+\frac 3 2+\frac 3 2=4\), ja \([\mathcal L]=4\) kuten pitääkin.
Muita vastaavia ovat vektorikentän \([A^\mu] = 1\) ja skalaarikentän \([\phi]=1\). Kvanttikentät sisältävät poisto- ja luontioperaattorit, joten niitä ei tarvitse erikseen huomioida.
Vielä johdatuksena skalaariteoria, joka sisältää korkeamman potenssin termejä
\(\mathcal L = \dots + g \phi^3 + h \phi^4 + k \phi^5\)
Termien massadimensioksi saadaan 4, kun valitaan sopivat dimensiot vakioille. Tässä tapauksessa ne ovat \([g]=1\), \([h]=0\), ja \([k]=-1\). Asia voidaan yleistää. Vakion massadimensio määritellään
\(\Delta = 4 - d\)
missä \(d\) on operaattorien tulon massadimensio. Weinbergin kirja (Volume 1, luku 21.1 - 12.3) analysoi tarkasti vuorovaikutusten propagaattorit sekä silmukkaintegraalit, ja lopulta luokittelee kytkentävakiot seuraavasti (esimerkit vedin hatusta)
\(\Delta > 0\), super-renormalizable. Esimeriksi skalaarikentän termi \(\lambda \phi^2\), missä \(d = 2\) ja \([\lambda]=\Delta = 4-2 = 2\). Usein merkitään \(\lambda = M^2\), missä M on massa.
\(\Delta = 0\), strictly renormalizable. Esimerkiksi \(\lambda \phi^4\), missä \(d=4\) ja \( [\lambda] = \Delta =4-4 = 0\).
\(\Delta < 0\), non-renormalizable. Esimerkiksi \(\lambda \phi^6\), missä \(d=6\) ja \([\lambda] = \Delta =4-6= -2\).
Viimeksi mainittu tapaus \(\Delta < 0\) kirjoitetaan siten, että vakio on dimensioton \([\lambda] = 0\), ja nimittäjään asetetaan parametri \(M^{-\Delta}=M^{d-4}\). Tuo \(M\) on massaskaala, joka useissa lähteissä merkitään energiaskaalana \(\Lambda\). Muodostettu uusi vakio nimetään \(g\), ja sen avulla saadaan tarvittava negatiivinen massadimensio
\(\displaystyle g = \lambda\ M^\Delta = \frac{\lambda}{M^{-\Delta}} = \frac{\lambda}{M^{d-4}}\)
Jos oletetaan, että \(\lambda \sim 1\), niin kytkentävakion suuruusluokka on \(g \approx M^{4-d}\). Kun lasketaan matalalla liikemäärällä \(k \ll M\), niin laskun tuloksessa on efektiivinen kytkentävakio, joka on dimensioton
\(\displaystyle g(k) \sim k^{d-4}\ \left(\frac{\lambda}{M^{d-4}} \right) = \lambda \left(\frac k M \right)^{d-4} \ll 1\)
Voidaan todeta, että \(g(k)\) on hyvin pieni, kun \(k \ll M\) ja vakio \(\lambda\) on pieni. Parametrin \(M\) suuruus ja vakion \(\lambda\) pienuus pitäisi toki perustella, mutta se on eri tarina. Lähtökohtaisesti tapaus \(\Delta < 0\) ei siis ole renormalisoituva, mutta matalalla energialla nuo termit ovat hyvin pieniä. Ne voivat kuitenkin aiheuttaa ilmiön, joka on havaittavissa myös matalalla energialla. Tähän viimeksi mainittuun oleelliseen seikkaan perustuu Weinberg dimension-5 operaattori (Volume 2, luku 21.3)
\(\displaystyle \mathcal L_{W} = \sum_{ij}\ f_{ij}\left( \overline{\ell_{Li}^c}\ \phi^+\ -\ \overline{v_i^c}\ \phi^0 \right)\left(\ell_{Lj}\ \phi^+\ -\ v_j\ \phi^0\right)\)
Matriisi \(f_{ij}\) edustaa kytkentävakioita, ja leptonilajit \(i,j \in \{e,\mu,\tau\}\) summataan. Leptonin \(i\) vasenkiraalinen dupletti on \(L = (\nu_i, \ell_{Li})^T\), missä \(\ell_{L}\) ja \(\nu\) ovat vasenkiraaliset spinorit. Higgsin dupletti on skalaari \(\phi = (\phi^+, \phi^0)^T\). Operaattorien tulon ensimmäisessä termissä on varauskonjugoidun leptonin adjungaatti \(\overline{\ell_{Li}^c}\), ja varauskonjugoidun neutriinon adjungaatti \(\overline{v_i^c}\). Tulon toisessa termissä nämä ovat ilman varauskonjugointia, ja ilman adjungointia. Laskin termit auki
\(\displaystyle \mathcal L_{W} = \sum_{ij}\ f_{ij}\left[ \overline{\ell_{Li}^c}\ell_{Lj}\phi^+\phi^+ -
\overline{\ell_{Li}^c}\nu_{Lj}\phi^+\phi^0 - \overline{\nu_{Li}^c}\ell_{Lj}\phi^+\phi^0 + \overline{\nu_{Li}^c}\nu_{Lj}\phi^0\phi^0
\right]\)
Massadimensio ilman vakioita (3x3-matriisi \(f\)) on nimensä mukaisesti \([\mathcal L_{W}]=\frac 32 + \frac 32 +1 + 1 = 5\), ja kytkentä \(f_{ij}\) kuuluu luokkaan \(\Delta = -1\), joten \(\mathcal L_{W}\) ei ole renormalisoituva. Sähköheikon symmetriarikon jälkeen Higgsin vakuumiodotusarvot ovat \(\langle \phi^+ \rangle = 0\) ja \(\langle \phi^0 \rangle = v\), joten jäljelle jää termit
\(\displaystyle \mathcal L_{W} = \sum_{ij}\ f_{ij}\ \overline{\nu_i^c}\nu_j \langle \phi^0 \rangle^2 = \sum_{ij}\ v^2 f_{ij}\ \overline{\nu_i^c}\nu_j\)
Vakioiden suuruusluokka on \(f_{ij} \approx 1/M\). Tuo \(\mathcal L_{W}\) toteuttaa \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) -symmetrian, ja se muistuttaa Majorana massaa sillä erolla, että matriisi \(f\) kytkee eri neutriinolajit. Tästä matriisista voidaan erinäisten vaiheiden jälkeen johtaa neutriino-oskillaatio ja PMNS-matriisi.
Dimension-5 operaattorista voidaan myös arvioida neutriinon massa \(m_\nu \sim v^2/M\).
Vaikka \(\mathcal L_{W}\) ei ole renormalisoituva, ja vaikka se on merkitsevä vasta hyvin suurella energialla \(M\), niin se aiheuttaa matalalla energialla havaittavan neutriinon massan. Samalla \(\mathcal L_{W}\):n suuri energiaskaala antaa erään selityksen neutriinon massan pienuudelle.
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_adjoint
Abezethibou·daemon unimanus et unialis·abyssorum legatus·cuius nomen terram scindit. In tenebris lucet·in luce obscuratur. Per fractas alas suadet·per manum perditam ligat.
Per sigillum Beelzebub·Abezethibou inferorum·per sanguinem et ignem·responde mihi!
Per sigillum Beelzebub·Abezethibou inferorum·per sanguinem et ignem·responde mihi!
Joo, se on seuraus Weinbergin kirjan gamma-matriiseistaAbezethibou kirjoitti: ↑31.10.2026, 08:54Mistä tuo \(i\) tuohon tulee \(\bar \psi = \psi^\dagger\ i\gamma^0\) ? Ainakin wikipediassa se määritellään ilman sitä.
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_adjoint
\(\gamma^0=-i\begin{bmatrix} 0 & \mathbb I_2 \\ \mathbb I_2 & 0 \end{bmatrix}, \quad \gamma^i=-i\begin{bmatrix} 0 & \sigma_i \\ -\sigma_i & 0 \end{bmatrix}\)
joiden avulla \(\beta = i\gamma^0\), ja spinorin adjungointi on \(\overline u = u^\dagger \beta = u^\dagger i \gamma^0\). Tämä poikkeaa standardikonventiosta, jonka takia ylimääräiseltä näyttävä \(i\).
Kuitenkin kirjan määritelyillä \(\beta = \begin{pmatrix} 0 & \mathbb I_2 \\ \mathbb I_2 & 0 \end{pmatrix}\), ja se vaihtaa L- ja R-komponenttien paikkaa, mikä on tarkoituskin.
Weinbergin matriisit ovat lähes samat kuin Weyl chiral basis (alternate form), mutta edessä \(i\). En tiedä onko tällä erityistä nimeä, mutta ainakin Diracin spinorin L- ja R-komponentit ovat järjestyksessä \(L^1,L^2,R^1,R^2\), joka on ehkä kätevää.
Kantavalinnan johdannaisvaikutuksista eräs on se, että kirjan lukija joutuu taistelemaan valitsemallaan tiellä, kun muut kartat ja reittioppaat eivät toimi
Ne nuo tyypin 1-3 Seesaw mekanismit on kyllä mielenkiintoinen viritys. LHC:lla kovasti yritetään etsiä raskaita triplettejä mutta eipä mitään ole löytynyt. Olisiko LHC run 4 sitten näiden löytymisen aika. No mä koitan tuota sun isompaa postausta vielä lukea jos vaikka jotain siitä ymmärtäisin. Tämä vastaus mun kysymykseen ehkä tuli ymmärretyksi.QS kirjoitti: ↑31.10.2026, 09:43Joo, se on seuraus Weinbergin kirjan gamma-matriiseistaAbezethibou kirjoitti: ↑31.10.2026, 08:54Mistä tuo \(i\) tuohon tulee \(\bar \psi = \psi^\dagger\ i\gamma^0\) ? Ainakin wikipediassa se määritellään ilman sitä.
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_adjoint
\(\gamma^0=-i\begin{bmatrix} 0 & \mathbb I_2 \\ \mathbb I_2 & 0 \end{bmatrix}, \quad \gamma^i=-i\begin{bmatrix} 0 & \sigma_i \\ -\sigma_i & 0 \end{bmatrix}\)
joiden avulla \(\beta = i\gamma^0\), ja spinorin adjungointi on \(\overline u = u^\dagger \beta = u^\dagger i \gamma^0\). Tämä poikkeaa standardikonventiosta, jonka takia ylimääräiseltä näyttävä \(i\).
Kuitenkin kirjan määritelyillä \(\beta = \begin{pmatrix} 0 & \mathbb I_2 \\ \mathbb I_2 & 0 \end{pmatrix}\), ja se vaihtaa L- ja R-komponenttien paikkaa, mikä on tarkoituskin.
Weinbergin matriisit ovat lähes samat kuin Weyl chiral basis (alternate form), mutta edessä \(i\). En tiedä onko tällä erityistä nimeä, mutta ainakin Diracin spinorin L- ja R-komponentit ovat järjestyksessä \(L^1,L^2,R^1,R^2\), joka on ehkä kätevää.
Kantavalinnan johdannaisvaikutuksista eräs on se, että kirjan lukija joutuu taistelemaan valitsemallaan tiellä, kun muut kartat ja reittioppaat eivät toimi
Abezethibou·daemon unimanus et unialis·abyssorum legatus·cuius nomen terram scindit. In tenebris lucet·in luce obscuratur. Per fractas alas suadet·per manum perditam ligat.
Per sigillum Beelzebub·Abezethibou inferorum·per sanguinem et ignem·responde mihi!
Per sigillum Beelzebub·Abezethibou inferorum·per sanguinem et ignem·responde mihi!
Kyllä, viritys on osuva kuvaus. Koetan tässä alla kuvailla Type I seesaw-mekanismin, vaikkakin mukana on varmasti etumerkki- ja konventiovirheitä, kun poimin useista lähteistä, ja yritän yhdistää Weinbergin konventioihin.Abezethibou kirjoitti: ↑31.10.2026, 11:40Ne nuo tyypin 1-3 Seesaw mekanismit on kyllä mielenkiintoinen viritys.
Aiemmin todettiin sähköheikon teorian renormalisoituvista termeistä seuraavat erkoisuudet:
- neutriinon massa ei voi olla QED:n mukainen 'bare mass', koska \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) -symmetria ei toteudu
- jos teoriaan lisätään oikeakiraalinen kenttä (\(\nu_R\)), niin varauskonjgoitu Higgs antaa neutriinolle Diracin massan
- jos teoriaan lisätään oikeakiraalinen kenttä (\(\nu_R\)), niin sen Majorana massa on mahdollinen, kun hyväksytään, että leptoniluku ei säily
- vasenkiraalisen kentän (\(\nu_L\)) Majorana massa ei ole mahdollinen, sillä \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) -symmetria ei toteudu
Type-I seesaw pyrkii yhdistämään Diracin ja Majoranan massat siten, että Lagrangen tiheyden massatermi toteuttaa Lorentz- ja mittainvarianssin. Tätä varten lisätään neutriinon oikeakiraalinen \(N_R\), ja sallitaan tämän kytkeytyä vasenkiraaliseen osaan \(\nu_L\).
L- ja R-komponenteista muodostetaan neutriino \(\nu = (\nu_L, N_R)^T\), joka voidaan ajatella lisäyksenä sähköheikon teorian duplettiin \((\nu, e)^T\) siten, että \(\nu\) sisältää nyt myös R-komponentit. Alkuperäisessä teoriassa neutriinolla on vain L-komponentit. Kvanttiluvut \(N_R\)-komponenteille ovat \(Y=T_3=Q=0\).
Lyhennetään Weinbergin notaatio vastaamaan muiden lähteiden notaatiota. Sähköheikko dupletti merkitään \(L \equiv (\nu, \ell)^T\), Higgsin dupletti \(H \equiv (\phi^+, \phi^0)^T\), ja varauskonjugoitu Higgs \(\tilde H \equiv \tilde \phi\). Symmetriarikon jälkeen jäljelle jää neutriinon Diracin massa
\(\begin{align}
\displaystyle \mathscr L_D = -G_\nu\ \overline L\ \tilde H\ N_R + h.c. \quad \longrightarrow \mathscr L_D &= -G_\nu v\ \left(\overline{\nu_L}\ N_R + \overline{N_R}\ \nu_L\right)\\ &= -\overline{\nu_L}\ m_d\ N_R - \overline{N_R}\ (m_d)^\dagger\ \nu_L
\end{align}\)
Tuossa on implisiittisesti mukana kaikki neutriinolajit \(\nu_e\), \(\nu_\mu\) ja \(\nu_\tau\), ja Diracin massa \(m_d\) on 3x3-matriisi, jossa voi olla myös kompleksilukuja. Matriisi ei ole diagonaalinen, vaan kytkee neutriinolajeja toisiinsa.
Oikeakiraalisen osan Majorana massa on
\(\displaystyle \mathscr L_M = -\frac 12 \left(\overline{N_R^c}\ M_R\ N_R + h.c.\right)\)
missä mukana kolmen neutriinon R-komponentit, ja Majorana massa \(M_R\) on 3x3-matriisi. Matriisi on lisäksi symmetrinen. Nuo kaksi termiä \(\mathscr L_D\) (Diracin massa) ja \(\mathscr L_M\) (Majorana massa) voidaan yhdistää seuraavasti
\(\begin{align}
\displaystyle \mathscr L_\text{mass} &= -\frac 12 \begin{pmatrix} \overline{\nu_L} & \overline{N_R^c} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & m_d \\ m_d^T & M_R \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \nu_L^c \\ N_R
\end{pmatrix} + h.c \\ & = -\frac 12\ \overline {\psi}_L\ \mathcal M\ \psi_L^c + h.c.
\end{align}\)
Matriisi \(\mathcal M\) kohdistuu periaatteessa 'pystyvektoriin' \(\psi_L = (\nu_L, N_R^c)^T\), jonka kaikki komponentit ovat vasenkiraalisia, koska varauskonjugointi \(N_R^c\) sisältää vain L-komponentit. Oikealla on varauskonjugoitu \(\psi_L^c = (\nu_L^c, N_R)^T\), joka sisältää R-komponentit.
Tuo \(\mathcal M\) muodostuu siis lohkoista, jotka ovat 3x3-matriiseja. Vasen yläkulma on nolla, koska \(\nu_L\) ei voi saada Majorana massaa. Oikean alakulman \(M_R\) antaa Majorana massan R-komponenteille \(N_R\). Matriisi \(\mathcal M\) on symmetrinen (\(\mathcal M^T = \mathcal M\)), mutta ei diagonaalinen, joten se kytkee neutriinolajit \(i,j = \{e, \mu, \tau\}\), ja myös niiden L- ja R-komponentit toisiinsa arvoilla \(\mathcal M_{ij}\).
Kuitenkin Diracin yhtälö \((i\gamma^\mu\partial_\mu-m_i)\psi_i=0\) vaatii, että \(\psi_i\) on massan \(m_i\) ominaistila, ja myös sähköheikon teorian dupletissa \((\nu_\ell, \ell)^T\) on yksi neutriinolaji kerrallaan. Tämän takia massamatriisi tulisi saada muotoon, jolla voidaan kuvata massan ominaistilat.
Kun oletetaan, että \(M_R \gg m_d\), ja käytetään sopivasti valittua unitaarista muunnosta \(U\), niin \(\mathcal M\) on mahdollista saattaa lohkodiagonaaliseen muotoon
\(\displaystyle \hat{\mathcal M} = U^T \mathcal M U = \begin{pmatrix} m_\nu & 0 \\ 0 & M_N \end{pmatrix}\)
Lohko \(m_\nu\) on 3x3-matriisi, joka antaa Majorana massan L-komponenteille, ja \(M_N\) on 3x3-matriisi, joka antaa Majorana massan R-komponenteille. Lohkot ovat
\(m_\nu \approx -m_d\ M_R^{-1}\ m_d^T \\\\
M_N \approx M_R\)
Lohkodiagonaalinen \(\hat{\mathcal M}\) jakaa massatermin kahteen osaan, jotka ovat L- ja R-komponenttien massat
\(\displaystyle \mathscr L_\text{mass} = -\frac 12 \left(\overline{\nu_L}\ m_\nu\ \nu_L^c\ +\ \overline{N_R^c}\ M_N\ N_R \right) + h.c.\)
Tämän hahmottaa helpommin, kun valitaan vain yksi neutriinolaji, joka muodostuu kahdesta Weylin spinorista \((\nu_L, N_R^c)^T\). Massa on 2x2-matriisi
\(\displaystyle \hat{\mathcal M} = \begin{pmatrix} m_\nu & 0 \\ 0 & M_N \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -\dfrac{(m_d)^2}{M_R} & 0 \\ 0 & M_R \end{pmatrix}\)
Tuohon 2x2-matriisin liittyy ehto, joka saadaan alkuperäisen matriisin determinantista \(\det(\mathcal M) = -(m_d)^2\). Vaikka \(m_\nu\) ja \(M_N\) ovatkin likiarvoja, niin ehto on voimassa myös matriisille \(\hat{\mathcal M}\)
\(|m_\nu| |M_N| = (m_d)^2\).
Laitoin vasemmalle itseisarvot, kun etumerkeissä on vaihtelua lähteestä riippuen, ja itseisarvo poistaa ongelman
Determinantti on se kuuluisa keinulauta: Kun \(M_N\) (R-komponentin raskas Majorana massa) suurenee, niin \(m_\nu\) (L-komponentin Majorana massa) pienenee. Higgsin mekanismista saatu Diracin massa \(m_d\) pidetään vakiona, ja neutriinon massa on siis
\(\displaystyle m_\nu \approx \frac{(m_d)^2}{M_N}\)
Lukuarvoilla \(m_\nu \approx 0.1\ \mathrm{eV}\) ja \(m_d \approx 100\ \mathrm{GeV}\) saadaan raskaan neutriinon massa \(M_N \approx 10^{14}\ \mathrm{GeV}\), joka on erittäin suuri.
Nyt tuo lohkodiagonaalinen \(\hat{\mathcal M}\) ei vielä anna massan ominaistiloja. Tämän saavuttamiseksi \(\hat{\mathcal M}\) diagonalisoidaan muotoon \(\hat{\mathcal M}_\text{diag}=\text{diag}(m_1,m_2,m_3,M_1,M_2,M_3)\). Tuo diagonalisointi onnistuu erikseen lohkoille \(m_\nu\) ja \(M_N\), mutta menetelmä jääköön väliin, kun on hiukan työläs.
Diagonaalinen \(\hat{\mathcal M}_\text{diag}\) antaa kolme kevyttä massatilaa \(\nu_1,\nu_2,\nu_3\) sekä kolme raskasta massatilaa \(N_1, N_2, N_3\). Kolme kevyttä ovat mukana neutriino-oskillaatiossa, ja lajien \(\nu_e,\nu_\mu, \nu_\tau\) massa saadaan sitten neutriino-oskillaation PMNS-matriisilla.
Tämä keinulauta on tosiaan melkoinen viritys, mutta virityksellä on teoreettinen yhteys Weinberg dimension-5 operaattoriin, joka tukee vahvasti seesaw-mekanismia.
Yhteyden voi aavistaakin, kun termissä \(\mathscr L_\text{mass}\) on erittäin suuren massaskaalan kytkentävakio \(g \approx 1/M_N \sim 1/(10^{14}\ \mathrm{GeV})\), ja matriisi \(\hat{\mathcal M}\) muistuttaa dimension-5 operaattorin kytkentävakioita \(f_{ij}\). Vaikka yheys dimension-5 operaattoriin on olemassa, niin termin \(\mathscr L_\text{mass}\) massadimensio on 4, ja se on renormalisoituva!
No, tätä voi sitten ihmetellä.