Tangon koordinaateilla tuo siirtymä saadaan muunnoksesta \(\Delta x'^\mu = \Lambda^\mu{_\nu}\Delta x^\nu\), missä Lorentzmuunnos \(\Lambda \in SO^ +(1,3)\). Tangon koordinaateilla aikaero on
\(\begin{align}\Delta x'^0 & = \Lambda^0{_0} \Delta x^0 + \Lambda^0{_1} \Delta x^1 + \Lambda^0{_2} \Delta x^2 + \Lambda^0{_3} \Delta x^3 \\ &= \Lambda^0{_1} \Delta x^1\end{align}\)
Tässä asetelmassa \(\Delta x^0 = \Delta x^2 = \Delta x^3 = 0\), ja \(\Delta x^1 \neq 0\). Kun \(\Lambda^0{_1}\) on nollasta poikkeava, niin \(\Delta x'^0 \neq 0\), ja tapahtumat eivät ole samanaikaiset tangon koordinaateilla. Tyypillinen esimerkki on liike x-akselin suunnassa, jolloin \(\Lambda^0{_1} = - \gamma\beta = -\gamma v\).
Samanaikaisuus toteutuu, kun liike on vain y- tai z-akselin suuntaan, jolloin \(\Lambda^0{_2}=-\gamma\beta\) tai \(\Lambda^0{_3}=-\gamma\beta\), mutta \(\Lambda^0{_1}=0\). Samanaikaisuus toteutuu myös puhtaassa rotaatiossa, ja silloin kaikki kolme komponenttia \(\Lambda^0{_i}=0\).
Yhdistetään pusku y-akselin suuntaan ja rotaatio z-akselin ympäri (xy-tason rotaatio)
\(\Lambda= B_2(\beta)R_3(\theta) = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & -\gamma\beta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\gamma\beta & 0 & \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & \boxed{-\gamma\beta\sin\theta} & -\gamma\beta\cos\theta & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ -\gamma\beta & \gamma\sin\theta & \gamma\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Tuossa \(\Lambda^0{_1} = -\gamma\beta\sin\theta\), joten samanaikaisuus ei toteudu, kun \(\beta,\theta \neq 0\). Vaikka pusku ja x-akseli ovatkin kohtisuorassa, niin \(R_3(\theta)\) pyöräyttää tangon ja nopeusvektorin siten, että nämä ja x-akseli eivät enää ole kohtisuorat. Jos rotaatio olisi x-akselin ympäri eli yz-tason rotaatio \(R_1(\theta)\), niin samanaikaisuus toteutuisi.
Tätä voi hiukan yleistää päättelemällä. Samanaikaisuus toteutuu, kun rotaatio ja pusku yhdistetään siten, että rotaatio on vain \(x\)-akselin ympäri ja puskun suunta on yz-tasossa. Tanko-talli -asetelmassa näistä muodostuu eräänlainen samanaikaisuuden toteuttava Lorentz-muunnosten osajoukko \(\Lambda = BR\) (hmm, ei kuitenkaan aliryhmä), jonka rotaatiot ovat yhden akselin ympäri, ja puskut on rajoitettu 2-dimensioiseen tasoon.
Tilanne on toinen, kun puskun ja rotaation järjestys muutetaan
\(\Lambda= R_3(\theta) B_2(\beta)= \begin{pmatrix} \gamma & \boxed 0 & -\gamma\beta & 0 \\ -\gamma\beta\sin\theta & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ -\gamma\beta\cos\theta & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Tuossa nyt \(\Lambda^0{_1}=0\), ja samanaikaisuus toteutuu. Tanko liikkuu y-akselin suuntaan, joka on kohtisuorassa x-akseliin (tallin pituusakseli) nähden. Tämän jälkeen tanko pyörähtää z-akselin ympäri, mutta nopeuden suunta ei muutu.
Nämä päättelyt eivät vielä riitä kovin pitkälle. Pitäisi löytää yleisempi ehto, joista seuraa vaadittu \(\Lambda^0{_1}=0\).
Ainakin kaikilla matriiseilla \(\Lambda \in SO^+(1,3)\) on olemassa oikea ja vasen polaarihajotelma, jotka ovat \(\Lambda = R B(\mathbf v)\) ja \(\Lambda = B(\mathbf v') R\). Matriisi \(\Lambda\) hajoaa siis puhtaan rotaation \(R \in SO(3)\) ja puhtaan puskun \(B(\mathbf v)\) tuloksi.
Ensiksi mainitun \(\Lambda = R B(\mathbf v)\) riittävä ehto on, että nopeusvektori \(\mathbf v = (v_x, v_y, v_z)\) on sellainen, että tallin pituusakselin suuntainen komponentti \(v_x = 0\). Puskun jälkeinen rotaatio \(R\) ei vaikuta nopeusvektoriin. Lorentz-ryhmän kuudesta parametrista vain yksi on rajoitettu, ja se takaa, että \(B^0{_1} = 0\).
Jälkimmäinen \(\Lambda = B(\mathbf v') R\) ei ole yhtä suoraviivainen juttu. No, pitää joskus miettiä
